河北省唐山市高三三模数学试题

唐山市2023年普通高等学校招生统一考试第三次模拟演练

数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,

用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷

上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1,已知集合∕={x∣x<T或x>D,5={X∣-3<X<2}J则/∏8=()

A.(1,2)B.(-3,-1)C.(-3,1)D.(-3,-l)U(l,2)

【答案】D

【解析】

【分析】根据集合的交集运算可得答案.

【详解】因为集合Z={x∣x<T或x>l},B={x∖-3<x<2},

所以∕∏8=(-3,-l)U(l,2),

故选：D

2.已知i为虚数单位，复数Z=I—JJi,则9=()

Z

A.l-√3iB.l+√3∕C.-l-√3iD.-l+√3i

【答案】B

【解析】

【分析】根据复数的除法运算可得答案.

_444(l+√3i)4+4√5ir.

【详解】复数Z=I-Gi，则-=7=7=7-----ET-----LX=-：——=1+vɜɪ.

Z1-√3ι(l-√3ijp+√3iJ1+3

故选：B.

3.二项式(4-^)6的展开式中的常数项为

X

A.-15B.20C.15D.-20

【答案】C

【解析】

【分析】根据二项式定理写出二项展开式通项，令X基指数为零，可求得r=2,代入展开式通项可求得常

数项.

【详解】二项式（五一4）展开式通项为：（T=c；.=（TyCrWL

6-3尸ɔ

令一y—=0得：r=2，常数项为：（一1）2。；=15

本题正确选项：C

【点睛】本题考查利用二项式定理求解指定项的系数的问题，关键是能够熟练掌握二项展开式的通项公式.

4,正方形力BCZ）边长为4,“为中点，点N在/。上，两.丽=20，则I丽卜（）

A.√5B.2√5C.5D.10

【答案】C

【解析】

【分析】设丽=ZlN万，以诙,胫为基向量表示出的,而，然后由两.丽=20求出4的值可得答

案.

【详解】设前=4%万，

因为萧=就+由=前+；0，BN=BA+AN=BA+λBC>

因为正方形力8C。边长为4，BA-BC=O^

所以两.丽=（交+；0）（0+/1前）=16/1+8=20,解得；［=:，

所以I丽∣=J16+9=5,

故选：C

5.把边长为板的正方形ZBCD沿对角线AC折成直二面角D-AC-B,则三棱锥D-ABC的外接球的

球心到平面38的距离为（）

A,3B.显C如D1

3232

【答案】A

【解析】

【分析】由图形的几何性质得球心位置，利用等体积转化求点面距离即可.

【详解】

由图所示，易知三棱锥0-48C的外接球球心为NC的中点。，易得OB=OC=OD=I,且OCLO8,Oo，面

OBC,

计算可得BC=CD=BD=√2，设球心到平面BCD的距离为d,

n，XIXLXIXI=LdX

则VD-OBC=%-BCDnd=叵

323f×H3

故选：A

2

6.已知椭圆U5+∕=ι的两个焦点分别为片,工，点〃为C上异于长轴端点的任意一点，/片出的角

IMF2I

平分线交线段耳工于点N,则匕弓=()

1r√Γor√2

A.-t>.-----X-.------------D.√2

552

【答案】D

【解析】

MF.F.N

【分析】根据三角形平分线性质求得起=益,利用定义及比例即可求解.

【详解】因为N片的角平分线交线段月月于点N,

所以NFIMN=/NMF?,

MF.FNMFFN

所以由正弦定理得嬴乐122

sinHMNsinAMNF2sinZF2MN

又因为

SinNMNK=SinNMAB,sinZFtMN=sinAF2MN,

所以篝=篝，即篝=落，不妨设〃，如图:

F,I=X,∣QV|=

111

FiNF2NMF2F2N'

,2a-xc-nEga(c-∖-n)

则rl------=——，解得X=L——L,

Xc+nc

a(c+n)

所以IMKLXC_a.ɑ

122

IgMc+nc+nc√a-b

由题意α=J^^,b=1,所以>J='

故选：D

7,假设有两箱零件，第一箱内装有5件，其中有2件次品；第二箱内装有10件，其中有3件次品.现从两

箱中随机挑选1箱，然后从该箱中随机取1个零件，若取到的是次品，则这件次品是从第一箱中取出的概

率为（）

1374

A.-B.-C.—D.-

37207

【答案】D

【解析】

【分析】根据条件概率的计算公式可算出答案.

【详解】设事件A表示从第一箱中取一个零件,事件8表示取出的零件是次品,

12

4

则叩⑻=篇=I在37

\/-X-H—×

25210

故选：D

Sinm

8.已知3"'=e且α=cos"[,b=∖--m2c=----e是自然对数的底数，则（）

2m

A.a>b>cB.c>a>b

C.c>b>aD.b>a>c

【答案】B

【解析】

【分析】首先证明常用不等式：Sin(X)<x<tan(x),xe(θ,]J,故当x∈(0,l)时，sinx<x<tanx.由

ISInf∏ɪ

条件得加=---∈(0,1),a.b,c>O,由------=tan∕%>机可得c>Q,由。-b=cosm—1+—,令

In3cosm2

/(x)=cosx-l+∣x2,x∈(0,l),利用/(X)单调性可得α>b,从而得出答案.

【详解】首先证明常用不等式：Sin(X)<x<tan(x),xe

设〃(X)=Sinx—x,x∈fθ,ɪj,贝∣Jp'(X)=COSX-1<0,所以P(X)在x∈(θ,∣∙)上单调递减，所以当

X∈[0,万>寸,P(X)<sinO-O=O,即SinX<x；

设乡(x)=tanx—X,x∈∣0,y∣,则/(X)=G——1>0,所以q(x)在XWl0,口上单调递增，所以当

∖,NJCoSX\乙)

x∈(θ,ɪjnʧ,q(X)>tanO-O=O,即tanx>x.

所以，当XW0，T时,sinx<x<tanx.

故当x∈(0,1)时，sinX<X<tan%.

∙.∙3zw=e,ʌIn3w=Incʌwɪɪe(θ,l),Λa,b,c>O,

In3v7

sinmSin加

tanm>m..)---->cosm,即C>Q,

cosmm

712

Va-b=cos∕n-1l÷-m,

2

令∕^(x)=CoSX-I+QX∖X∈(0,1),

/r(x)=-sinx÷x>0,/(x)单调递增，.∙./(x)>/(O)=O,

1ʌ

则。一6=COSM—1+一加>O,即α>b,

2

综上，c>a>b.

故选：B.

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，有选错的得O分，部分选对的得2分.

9.为了得到函数y=cos（2x-∕J的图象，只需把余弦曲线V=Cosx上所有的点（）

IJT

A.横坐标缩短到原来的;倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移一

23

B.横坐标缩短到原来的I;倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移VTT

26

TTI

C.向右平移上，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的;倍，纵坐标不变

32

D.向右平移再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的g倍，纵坐标不变

【答案】BC

【解析】

【分析】根据三角函数图象的伸缩平移变换即可得出结果.

TTJT

【详解】函数y=COSX的图象向右平移§个长度单位，得y=cos（x-］）,

再将横坐标缩短为原来的g倍（纵坐标不变），得y=cos-g）

函数y=cosX图象将横坐标缩短为原来的g倍（纵坐标不变），得y=cos2x,

再向右平移四个长度单位，得y=cos2X--,即y=cos（2x+工）.

6Lvð/j3

故选：BC

10.已知加，〃为异面直线，加，平面。，〃，平面夕，/是空间任意一条直线，以下说法正确的有（）

A.平面α与β必相交

B.若/_1_，则///ɑ

C.若/与〃所成的角为30。，则/与平面夕所成的角为60。

D.若加与〃所成的角为30。，则平面α与夕的夹角为60。

【答案】AC

【解析】

【分析】反证法可判断A,列举特殊情况判断B,由线面角定义判断C,求二面角的平面角判断D.

【详解】对A,若平面α与月平行，则"，夕，又“，户，

则加〃〃，与加，〃为异面直线矛盾，故平面α与夕必相交，故A正确；

对B,Ilm,/可能在平面α内，所以///α不正确，故B错误;

对C,过〃上一点尸作∕'〃/,交6于A,则直线ZB为/'在平面月上的射影，如图,

所以/'与平面"所成的角为/P45，由题意知4P8=30°,所以NPNB=60°,

由/'〃/可知，/与平面户所成的角为60°,故C正确；

对D,平移机,〃过点O,分别与α,夕交于C,。，平面OCD与棱E/交于0,连接C。,。。，如图,

由加，〃分别垂直两平面，易知棱ER与平面OeQ垂直，可得CQ,。。与EE垂直，

故NCQD为二面角的平面角，由根与〃所成的角为30。，可知NCQ0=15O°,

所以平面α与夕的夹角为180。-150。=30°,故D错误.

故选：AC.

11.函数/(X)及其导函数/'(X)的定义域均为R,若〃X)为奇函数，且/(x+2)=∕(x),则()

A./'(X)为偶函数

B.∕,(0)=0

C./(χ)的图象关于(1,0)对称

D.若尸(x)=∕(x)+4'(x),则尸(X)为奇函数

【答案】AC

【解析】

【分析】根据简单复合函数的求导法则及奇偶性的定义判断A、D,利用特殊值判断B,根据周期性及奇偶

性判断函数的对称性，即可判断C

【详解】因为/(x)为奇函数且在定义域R上可导，即/(-x)=-∕(x),

所以两边对X取导可得(_xyf(-x)=-T(X)，即/'(-χ)=f(χ)，

所以/'(X)为偶函数,故A正确;

2JT

对于B：令/(x)=sin(πx),显然/(x)为奇函数，且最小正周期T=——=2,

π

即满足/(x+2)=∕(x),则/'(x)=πcos(πx),则/'⑼=兀,故B错误；

对于C：因为/(x+2)=∕(x)且/(x)为R上的奇函数,所以/(r)="√(x),

即“x+2)=-∕∙(r),所以∕∙(xT+2)=∕(x+l)=-∕∙(lr),即“x+l)+∕(IT)=0,

所以/(χ)的图象关于(LO)对称，故C正确；

对于D:因为77(X)=/(x)+M'(x),则∕7(-x)=f(-x)-V,(-x)=-ʃ(ɪ)-√,(x)=-∕7(x),

即∕7(x)为奇函数，由A可知/'(x)为偶函数，故D错误；

故选：AC

12.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中提到底面为长方形的屋状的楔体(图示的五面体

小一/8。。).底面长方形488中8。=3,/8=4,上棱长EF=2,且EF//平面4BCD,高(即

E尸到平面力BeD的距离)为1，。是底面的中心，则()

A.EO〃平面BC/

B.五面体S-48CZ)的体积为5

C.四边形/8PE与四边形CDEF的面积和为定值3√B

D.VZz)E与48CE的面积和的最小值为3亚

【答案】ABD

【解析】

【分析】取BC的中点G,可得四边形EFG。为平行四边形，则E。〃FG,从而£。〃平面8CF,即可判断

A；利用分割的方法，把几何体分割成三部分，可得一个三棱柱和两个四棱锥，再由已知求解即可判断B；

'设NH=a,则M"=3-α,利用梯形面积公式计算四边形48所与四边形CQER的面积和，即可判断

CiBN=X,则工。=了，且x+y=2,x>0,ʃ≥0,则E与ABC尸的面积和为

222

S2=∣(√i7√+λ∕l+γ),利用不等式：当a≥0,6≥0时，y∣a+h≥^(a+b^求解最小值即可判

断D.

`:EF//OG,EF=OG,，四边形EFGo为平行四边形，.∙.EO〃/G,

VfOc25Fffi-BCF,尸GU平面BCr,.∙.EO〃平面BCE故A正确；

过厂作FH，平面月88,垂足为H,过〃作BC的平行线MM交.AB于N,交CD于M,

：W=平面/Bm：.FHlMN,

又ABLMN,FHCMN=H,MN,Fl尸平面FMN,平面FMN,

过E作EPHFM,交.CD于P,作EQ"FN,交于°,连接尸。，

`:EP//FM,EpB平面FMN,RMU平面FwM,EP〃平面RWN,

同理E。〃平面FMV,又EPCEQ=E,EP,E0z平面EP。，平面E尸0〃平面FMM

如图，五面体EF-ABCD包含一个三棱柱EPQ-FMN和两个的四棱锥E—ADPQ,F-BCMN,

；•五面体EF—ABCD的体积：V=VEPQ-FMN+VETDPQ+VF-BeMN

=SdFMNXQN+—SADPQXFH+~SSCMN×FH

=^×MN×FH×QN+^AQ×PQ×FH+^BC×BN×FH

=；XBCXFHXEF+∣(AQ+BN)xBC×FH

=Lχ3χlχ2+Lχ2χ3χl=5,故B正确；

23

设NH=a,则M∕=3-α,

222222

FN=y∣FH+NH=√l+α-FM=y∣FH+MH=A∕1+(3-^)«

四边形ABFE与四边形CDEF的面积和为S∣=；X(ER+/8)XEN+gx(EE+CD)χFM

222

=ɪ×6×√l+a+→6×λ∕l+(3-a)=3pl+a+^1+(ɜ-ɑŋ,不是定值，故C错误;

过，作垂足为R,连接FR,

：在4，平面488,平面ZBCZ),；.FH工BC,

又FHCHR=H,FH,HRU平面FHR,；.BC工平面FHR,

；FRU平面FHR,.'.FR1.BC,

设BN=x,则/。=),且x+y=2,x≥O,y≥O,

△8CF的面积为］3CxER=∣∙JiK78,同理，△/£>E的面积为了，

22

则4NOE与ABCF的面积和为S2=j(√l+x+y∣∖+y),

当α20,620时，2(/+/)26+62+246=(4+6)2,即/+〃≥,

Λ√7+P^≥^(α+⅛).当且仅当α=6等号成立，

7

52=∣(√i77+√l+∕)>∣字(l+x)+∕(l+y)=3也,当且仅当x=y=l等号成立,

则△/£>E与ABCF的面积和的最小值为3JI，故D正确.

故选：ABD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.设S“为等比数列｛《,｝的前〃项和，％=；,尺=&,则Sj=.

7

【答案】一

8

【解析】

【分析】设公比为/由尺=4可解得q=q=—，代入求和公式即可得出结果.

【详解】设等比数列｛4｝的公比为必

由Q；=4，得(。闯2)=%q'，则q=q=5,

7

故答案为：一.

8

14.已知抛物线C:_/=4x的焦点为b,过产且斜率为6的直线/与C交于48两点，则-08的面积

为.

【答案】t

33

【解析】

【分析】根据抛物线方程可确定口坐标，从而得到直线/方程；将/方程与抛物线方程联立，由抛物线焦点

弦长公式和韦达定理的结论可求得»耳，利用点到直线距离公式可求得d,代入三角形面积公式即可.

【详解】由抛物线方程知：E（l,0）,则直线/i=JJ（x-l）,即小一y-Ji=O:

由22=f°T）得:3X2-10X+3=0.

Iy=4χ

设Z（XI,必）,8（%2，%），则+%2=H，「•=X]+%2+2=5，

又坐标原点。到直线/的距离d=-^==—,

√3+l2

.0_l∣jn∣1166_46

∙∙S"OB=5网."=5Xy×^y=-

故答案为：速.

3

15.已知曲线N=InX与^=4/（。＞0）有公共切线，则实数“的取值范围为.

【答案】—,+∞I

[2eJ

【解析】

【分析】设公切线与曲线的切点为（％,lnxj,卜2,谒），利用导数的几何意义分别求N=InX和歹=谓上

的切线方程，由所得切线方程的相关系数相等列方程求参数关系，进而构造函数并利用导数研究单调性求

参数范围.

【详解】设公切线与曲线V=InX和歹="2的切点分别为（石,inxj,（x2,^）1其中占›0,

1]X

对于N=InX有了=一，则y=lnx上的切线方程为y—lnx∣=—（x—玉），即丁=一+（InXl-1）,

XX1X1

对于V=OX2有y=2aχ,则y=aχ2上的切线方程为y-qx；=2aχ2（x-》2），即y=2心》一ax；，

1C

—=Iax11

所以《2

X],有一~2=InXl—1,即——=x1-X1InX1(X]>0),

Inx1-1=-axl

令g(x)=-—X2Inx,g,(x)=x-2xInx=x(1-2Inx),

令g'(x)=O,得X=/'

当xe[θ,e?时，g'(x)>O,g(x)单调递增，

/ɪ、

当Xee2,+∞时，g,(x)<O,g(x)单调递减，

\/

,n1111

所以g(x)=gɑ2=-e,故0<—≤-e,即—.

'小ʌJ24«22e

正实数。的取值范围是'~,+s].

2e)

故答案为：——5+∞j.

L2eJ

16.数字波是由0和1组成的脉冲信号序列，某类信号序列包含有〃个数字0和〃个数字1,且每个数字0

之前1的个数多于0的个数.当〃等于3时，这样的信号序列有种；当〃等于5时.，这样的信号

序列有种.

【答案】①.5②.42

【解析】

【分析】利用计数原理、插空法和列举法即可得出答案.

【详解】当〃=1时，只有：10—种；

当〃=2时，有IOI0、IlOo两种；

当〃=3时，说明有3个1、3个0,

且最后一位只能是0,即0,

可得IOlOl0、101100.llθlθθʌ110010>UlOOO五种;

当〃=5时，根据卡特兰数的模型可得，

总排法为C：o,不符合题意的排法为C：o,

符合题意的排法C；o—C：o=42,

所以〃=5时，共有42种.

故答案为：5；42

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.设S“为数列｛4｝的前“项和，an>Q,a>2an+l=4Sn.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

（2）求数列《（-1）"一一》的前〃项和7?

IIaM,JJ

【答案】（1）an=2n-∖

（2）^=-ι+（-ιr-i-

2/7+1

【解析】

【分析】（1）利用S"与al,的关系计算求通项；

（2）结合（1）的结论，利用裂项相消法计算即可.

【小问1详解】

己知a：+2a_+l=4S@

当〃=1时，q=1.

当〃≥2时，a：」+2a〃_[+1=4S“_i②

①-②得：a；+2an-a^i-2%T=4an,

即(％+LJ2)=0.

又4,,>0,所以4“+4_尸0,怎一α,τ=2.

所以数列｛4｝是以I为首项，2为公差的等差数列.

所以a”=2rt-l.

【小问2详解】

4〃4«

设a=(T)"-ɪ=(-ιr

、anan+∖，(2n-l)(2n+l)

11

=(-l)n

2»-12M+1

11

-----------1-----------

2/7-12H+1

ɪ

=-l+(-l)n

2〃+l

18.如图所示，在三棱锥尸一48C中，已知P/_L平面力BC,平面R48_L平面PBC,点。为线段PC上

一点，且Po=2OC.

（1）证明：BCJL平面尸/8；

（2）若力8=6,BC=3,且三棱锥尸一NBC的体积为18,求平面48。与平面ZeZ）的夹角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵回

5

【解析】

【分析】（1）过点A作ZELPB于点E，由面面垂直、线面垂直的性质定理可得/ElBC,PALBC,

再由线面垂直的判定定理可得答案；

（2）由体积求出PZ,以8为原点，分别以交成为X轴、了轴正方向，建立空间直角坐标系8-平，

求出平面/83、平面ZCD的一个法向量，由二面角的向量求法可得答案.

【小问1详解】

过点A作ZE_LPB于点E，

因为平面PAB±平面PBC,且平面PABC平面PBC=PB,AEU平面PAB,

所以NE_L平面PBC,

又BCu平面PBC,所以

又P4_L平面力3C,8Cu平面/8C,则&_LBC,

又因为ZECPN=4Z瓦PZU平面尸/8,

所以BCI平面尸/6；

【小问2详解】

由(1)知BCl平面PZ8,48u平面尸/3,得BCL4B,

又VP-ABC=18,AB=6,BC=3,

所以LXLXZ8x8CxPZ=18,PN=6,

32

以8为原点，分别以前、就为X轴、＞轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系8-孙z,

则8(0,0,0),4(0,6,0),C(3,0,0),P(0,6,6),

又因为尸。=2。。，所以。(2,2,2),

AD=(2,-4,2),∑5=(0,-6,0),

NC=(3,-6,0),

设m=(x1,ʃ1,zl)是平面ABD的一个法向量,

ADm^O2x—4y+2z=0

则_,即〈111

AB∙m=0一6凹=0

所以可取比=(T,0,l),

设J=(X2,8/2)是平面ZcT)的一个法向量,

AD«=0ʃ2X-4y+2z=0

则222所以可取3=(2,1,0),

AC∙n=03工2-6%=。

所以平面48。与平面ZCO的夹角的余弦值为典

5

19.记入4BC的内角4民。的对边分别为a,b,c,已知A为钝角，asinB=bcosB.

π

(1)若C=—,求A；

6

(2)求cosZ+CoSB+cosC的取值范围.

【答案】⑴—

3

(.51

(2)1,-

I4」

【解析】

【分析】(1)由题意及正弦定理得到SiM=CoS8,即siM=sin(∙∣+6],结合角的范围可得

A=-+B,C=--2B,又C=々,/+3+C=兀，即可求得A；

226

(2)cosA+cos5+cosC=cos5-si∏β+2sin5cos5,令£=cos5-SirLS,化简得到

cos4+cosB+cosC=r+l-d,结合二次函数的性质，即可求解.

【小问1详解】

由QSirLS=bcosB,根据正弦定理得：sin4sin5=sinδcos5,

由于SinSwO,可知SirL4=cos8,即SirL4=sin[5+3)

因为A为钝角，则6为锐角，即B∈[θ,]∙

则—1-5∈[—,7ΓI,则Z=囚+8,C=四—2B.

2UJ22

由/=乌+民。=巴,/+8+。=兀，得Z=型.

263

【小问2详解】

cosA+cos5+cosC=COS—+B+cos5+cos――2B

UJI2

=-sinB+CoSB+sin2S=cosB-sinB+2sin5cosB.

因为C==-28为锐角，所以0＜巴—26＜四，即0＜3＜色，则Bd—∈I—,—j,

22244(42J

外（。』），

设t-COSB-SilI5=也CoSB+贝∣J2sin5cos8=l"，

cos√4+cosB+eosɑ=，+l-广二-[t—∣H—•

I2J4

因为fe（0,l）,则,一；）∈0,；），从而一0—g）+jeɑ,ɪ.

由此可知，COSN+cos8+cosC的取值范围是[1,；.

20.据统计，某城市居民年收入（所有居民在一年内收入的总和，单位：亿元）与某类商品销售额（单位:

亿元）的10年数据如下表所示：

第〃年12345678910

居民年收入X

商品销售额歹

依据表格数据，得到下面一些统计量的值.

1010

Z=Iɔ/=Iɔ一歹)

Σ>,S-力;(x,-5)(p

/=1/=1*一讣K)

391m

（1）根据表中数据，得到样本相关系数个095.以此推断，y与X的线性相关程度是否很强？

（2）根据统计量的值与样本相关系数，∙=0.95,建立》关于X的经验回归方程（系数精确到）；

（3）根据（2）的经验回归方程，计算第1个样本点（32.2,25.0）对应的残差（精确到）；并判断若剔除这

个样本点再进行回归分析，A的值将变大还是变小？（不必说明理由，直接判断即可）.

⅛（x,.-x）（χ.-y）

附：样本（知卜）（1=1,2,…,〃）的相关系数r=I“II”,

V/=IV/=1

√2.297«1.516-A=-----------------，a=y-bχ.

∑（x∕-^）2

/=1

【答案】（1）线性相关程度很强

(2)y=1.44x-15.56

(3)-5.81,变小

【解析】

【分析】(1)根据样本相关系数-0.95,进得推断即可；

BJ∑(y,-y)2-.

(2)由一=-yI=XJ2.297可求得B,由&=歹—忘"求得力,即可得线性回归方程；

r

(3)第一个样本点(32.2,25.0)的残差为：25.0-(1.44x32.2-15.56),计算即可；由于该点在回归直线

的左下方，故将其剔除后，A的值将变小.

【小问1详解】

根据样本相关系数-0.95,可以推断线性相关程度很强.

【小问2详解】

∑(x∕-x)(z∙-j7)-x)(y.-y)

由r二≈095及b=『--------

I-22

J∑(^--)Jr∑r(yi-y)∑O

V/=1V/=I<'='

所以B=∕J2.297R0.95x1.516N1.440，

又因为亍=37.96,歹=39.1,

所以2=歹一宸*T5.56,

所以＞与X的线性回归方程9=L44x—15.56.

【小问3详解】

第一个样本点(32.2,25.0)的残差为：25.0—(1.44x32.2—15.56)=-5.808=-5.81,

由于该点在回归直线的左下方，故将其剔除后，A的值将变小.

21.已知双曲线氏=-/=]g〉o),左、右顶点分别为4,4,经过右焦点E垂直于X轴的直线与E相

a"

交于48两点，且MM=L

(1)求E的方程；

(2)若直线/：了=云+用与圆/+/=/相切，且与双曲线左、右两支分别交于《，鸟两点，记直线耳4

的斜率为用，的斜率为左2,那么勺•左2是否为定值？并说明理由.

丫2

【答案】(I)--V2=I

4-

(2)是定值，理由见解析

【解析】

【分析】⑴根据|/a=1求出。=2,可得E的方程；

(2)由直线与圆相切得加2=4(1+F),联立直线与双曲线方程，得玉+%和西Z，由斜率公式得左左2,

利用X∣+》2和XIX2化简可得结果•

【小问1详解】

2ɪ

设尸(c,0),把X=C代入到E的方程，得二r一J=I,即歹=±一,

a-a

22

因为∣Z8∣=1,所以—=1,即。=2,则双曲线E的方程为土—/=1.

a4'

【小问2详解】

左是否为定值，理由如下：

设耳(Xl,必，其中玉<0,X2>0>.

∖t∏∖

因为直线/：V=丘+加与圆X?+/=4相切，所以—7==2,即掰2=40+%2),

yj∖+k2

y-kx+m

消去并整理得一左2)

联立《X221V(142)--Smkx-^4m+4=0,

-----y二I

4,

l-¼2≠0

Δ=64W2^2+4(1-4⅛2)(4W2+4)>0

所以《Smk

XI+=一

4k2-I

4//+4

MX,=——；----<Oλ

'-Ak2-I

因为x∣<0,X>0,XX=--—<0，即4左2一1<