湖南省邵阳市新邵县2022-2023学年高一年级下册学期期末质量检测数学试卷（含答案）

湖南省邵阳市新邵县2022-2023学年高一下学期期末质量检测数学试

卷

学校：姓名：班级：考号：

一、选择题

1、复数z=i（l+i）的实部为（）

A.1B.-lC.iD.-i

2、能反映一组数据的离散程度的是（）.

A.众数B.平均数C.中位数D.方差

3、设a为平面，a,〃为两条不同的直线，则下列叙述正确的是（）

A.若a_La，a/lb>则Z?_LaB.若口〃。，blla，则a〃匕

C.若a//a，a±b,则8J_aD.若aj_a，aLb,则》〃a

4、已知a,b,c为△AB。三个内角A,B,。的对边，b=2,A=45。，C=75°»则

。=()

.日J及.亚

A.巫BD

3

5、已知卜卜忖=1，向量a与。的夹角为6（）。，则囚-4囚=（）

A.5C.3夜D，713

6、若一个圆锥的底面面积为兀，其侧面展开图是圆心角为目的扇形，则该圆锥的体

3

积为（）

A百

a-----兀B

3-3兀。扃0。岛

7、在ABC中，。是8C的中点，E是AD的中点，若BE=/IA3+〃AC，则，+〃=（）

331

A.lB.-C.--D.」

442

8、从1,2,3,4中取随机选出一个数字，记事件4="取出的数字是1或2”，

4="取出的数字是1或3"，4="取出的数字是1或4"，命题“①A与4相互独立；

②A2与A3相互独立；③4与&相互独立中真命题”的个数是（）

A.lB.2C.3D.O

二、多项选择题

9、已知复数满足（l-i）z=2i（i是虚数单位），则下列关于复数的结论正确的是（）

A.忖=V2

B.复数的共轲复数为三=_IT

C.复平面内表示复数的点位于第三象限

D.复数是方程f+2兀+2=0的一个根

10、下列说法中正确的是（）

A.若W/b，R/c，则W/c

B.若a〃b，则存在唯一实数％使得。=几人

C.两个非零向量b,若卜-q=M+则与人共线且反向

D.若尸是△ABC的重心，则PA+P8+PC=0

11、已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列说法正确的是（）

A.若sin2A=sin23,则此三角形为等腰三角形

B.若，^=上，则A=P

cosAsinB4

C.若a=i，b=4i，A=30。，则解此三角形必有两解

D.若△ABC是锐角二角形，则sinA+sinB>cosA+cosB

12、如图，正方体ABC。-〃的棱长为2,则下列四个命题正确的是（）

A.直线BC与平面ABCQi所成的角等于三

B.点A到面ABCtD1的距离为O

C.两条异面直线D.C和BG所成的角为三

D.三棱柱MA-外接球表面积为371

三、填空题

13、已知复数-5+i与-3-2i分别表示向量和08,则表示向量的复数为.

14、鄂州市半程马拉松比赛需要学生志愿者若干名，其中某路段从某校高一年级800

人中采用男女比例分配分层抽样抽取一个容量为32的样本，已知样本中男生比女生多

8人，则该校高一年级男生有人.

3i

15、已知甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为了和二，甲和乙是否命中目标互不

影响，且各次射击是否命中目标也互不影响.若按甲、乙、甲、乙…的次序轮流射击，直

到有一人击中目标就停止射击，则停止射击时，甲、乙共射击了四次的概率是

16、如图，在△ABC中，8c=B4.BC=3，点2为边8。上的一动点，则P4PC的

最小值为.

四、解答题

17、已知向量。=(1,2)，向量匕=(x,l).

(1)当时，求实数九的值；

(2)当％=3时，求向量q与向量8的夹角.

18、在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a+/,=6，c=4，且

c(cosA+sinA)=/>.

(1)求C；

(2)求△ABC的面积.

19、某中学演讲社团共有6名同学，其中来自高一年级的有一女两男，来自高二年级

的有两女一男.

(1)若从这6名同学中随机选出两人参加演讲比赛，

(i)求高二年级的男生被选中的概率；

(”)求其中至少有一名男生的概率；

(2)若从每个年级的3名同学中各任选1名，求选出的2名同学性别相同的概率.

20、如图，在直三棱柱ABC—J中，NABC=90。，AB=BC=AA[=2,M,N分

别为棱AC、44的中点.

（1）证明：MN〃平面64GC.

⑵求点8到平面CMN的距离.

21、一家商场根据以往某商品的销量记录绘制了日销量的频率分布直方图，但工作人

员不小心滴到直方图上一滴墨水，如下图.

（1）求直方图中被墨水污损的数字的值；

（2）由直方图估计日销量的平均数、众数和80%分位数.（80%分位数精确到小数点后

两位）

22、如图所示，在四棱锥P—ABC。中，已知底面A3CO是边长为6的菱形，

RF1

ZABC=12O0*PA=PC，NPBD=NPDB=60°,E为线段AB上的点，且^—=-.

AE2

（1）证明：平面平面PBO；

(2)月为线段尸。上的一点，且Er〃平面PBC，求”的值及直线所与平面A3CO的

PD

夹角.

参考答案

1、答案：B

解析：z=i(l+i)=i+F=-1+i，；.实部为-1，

故选：B.

2、答案：D

解析：众数代表一组数据的一般水平，

平均数表示一组数据的集中趋势，

中位数可将数值集合划分为相等的上下两部分，

方差能反映一组数据的离散程度，

综上，能反映一组数据的离散程度的是方差，

故选:D.

3、答案：A

解析：对于A,因为a_La，a/ib，所以Z?_La，所以A正确；

对于B,当R/a，6/a时，a与匕可能平行，可能相交，也可能异面，所以B错误，

对于C,当a//a，.J.》时，。与a可能平行，可能相交不垂直，也可能。在a内，所

以C错误，

对于D,当4_1々，。工/，时，。与a可能平行，可能相交不垂直，也可能。在a内，

所以D错误，

故选：A

4、答案：A

解析：依题意，3=180°-45°-75°=60°，

rfaabZ?sinA2sin45°2显

ttj-----------~------------KU，a---------------------•

sinAsin3sin3sin6003

故选：A.

5、答案：D

解析：,卜W=1,向量〃与〃的夹角为60。

:ab=p/||/?|cos60°=g

一24。・。+16恸=\/9—12+16=V13

故选：D.

6、答案：B

解析：设该圆锥的底面半径为r,则兀/=兀,

所以该圆锥的底面半径厂=1，

设圆锥的母线长为/,则也=2"，即/=3,

3

则圆锥的高为出二P"=2夜，

因此该圆锥的体积v=_17rxi2、20=速兀，

33

故选:B

7、答案：D

解析：。是的中点，E为A。的中点，

1111

:.BE=-BA+-BD=-BA+-BC

2224

1131

=——AB+-(AC-AB)=--AB+-AC»

2444

.31

BE=AAB+/JAC»；/=-[,〃=]，

,1

.'.，+〃=一万，

故选：D.

8、答案：C

解析：从1,2,3,4中取随机选出一个数字，记事件4="取出的数字是1或2”,

4="取出的数字是1或3"，4="取出的数字是1或4”，则

尸(A)=；=:P(A)=；6'P(4)=；=；，

P(A4)=：,P(4A)=:'P(AA)=：,

对于命题①：p(A4)=p(A)p(A2)=gxg=；,：.4与&相互独立，故①是真命

题;

对于命题②：2(424)=尸(4)2(&)=3><3=；，，4与43相互独立，故②是真命

题;

对于命题③：P(AA)=P(A)P(AJ=；X；=；,与A3相互独立，故③是真命

题；

故选：C

9、答案：ABD

477xr.r+i/i.\〜ze2i2i(l+i)—2+2i—2+2i.

解析：由(l-i)z=2i，＜z=—=--~—=------=---------=-l+i.

v)1-i(l-i)(l+i)1-i22

.1z]=J(-1尸+产=血，故A正确；

2=-i-i»故B正确；

平面内表示复数的点的坐标为(-1,1),位于第二象限，故C错误；

；(-l+i)2+2(-l+i)+2=—2i-2+2i+2=0，

；.复数是方程d+2x+2=0的一个根，故D正确.

故选：ABD.

10、答案：CD

解析：若方=0，可满足a〃b，bHc»但”//c不一定成立，A选项错误；

若0=0,可满足“//》，但不满足存在唯一实数4使得二彳匕，B选项错误;

由1-0=忖+忖,两边平方得a?+b2-2ab=a2+户+2同忖,

a-b=]a\\b\cos^a,fey=-|a||/?|?得cos(a/)=一1,即(4£)=兀,

则非零向量a与人共线且反向，C选项正确;

若P是△ABC的重心，如图所示，

A

PA+PB+PC=--（AD+BE+CF\=--[-AB+-AC+-BA+-BC+-CB+-CA\=O

,D选项正确.

故选：CD

11、答案：BCD

解析：对于A：因为2AG（0,2兀），2BG（0,2TI）,且角2A,28最多有一个大于兀，

所以由sin2A=sin2B可知，2A=28或2A+28=兀，即A=8或4+3=乙，

2

所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故A错误;

对于B：由正弦定理可知，_=_2_,又，_=_2_,所以_L=_L

sinAsinBcosAsinBcosAsinA

可得tanA=l，因为AG（O,兀），所以A='，故B正确;

4

对于C：由正弦定理可得血也,

a-V

因为Be（O,兀）且。>4,即B>A，所以8=工或3=型，故此三角形有两解，故C正

44

确;

对于D：因为△Afi。是锐角三角形，所以A+B〉色，即色>4〉巴一8〉0,

222

又y=sinx在（（XT]上单调递增，所以sinA>sin-8J=cos8,

同理sinB>sin-A]=cosA,

所以5由4+$1113>8524+8$3，故D正确.

故选：BCD

12、答案：BC

解析：由题意，正方体ABC。-44GA的棱长为2,

对于A中，连接耳C,设耳。与BQ交于点O,

因为用CLBG，B{C1AB,可得证得平面ABCQ，

所以NC6G即为直线8C与平面ABCQi所成的角，且NC6G=W，所以A不正确;

对于B中，连接AQ,设AQ与AA交于点M,可得证得4加，平面ABCB，

即4M即为点A到面ABC.D,的距离，可得|AM|=3，

即点片到面45GR的距离为友,所以B正确；

对于c中，在正方体力8c4GA中，连接as,AG，可得AB〃RC,

所以两条异面直线D,C和BG所成的角，即为相交直线A1与BG所成的角，

又因为ABG为等边三角形，可得NABq=1，

即两条异面直线0c和BG所成的角为三，所以c正确；

对于D中，三棱柱A4Q]-BB|G外接球与正方体的外接球为同一个球，

由正方体的性质，可得外接球的半径为/?=』!三五=百，

2

所以外接球的表面积为S=4兀箱=4"（百＞=12兀，所以D不正确.

故选：BC.

13、答案:2-3i

解析：QA=—5+i，OB=-3-2i

.­.AB=OB-OA=(-3-2i)-(-5+i)=2-3i>

即向量AB表示的复数为2-3i.

故答案为：2-3i.

14、答案:500

解析：设样本中男生为x人，则女生为x—8人，由x+x-8=32得x=2()，

总体中男生人数为〃，则」-=改，解得〃=5()().

80032

故答案为：500.

15、答案：或0.01

100

解析：设事件A表示“甲射击一次命中目标”，事件3表示“乙射击一次命中目标”，则

A,B相互独立，停止射击时甲、乙共射击了四次，说明甲、乙第一次射击都未命中，甲

第二次射击未命中，乙第二次射击命中，此时的概率

故停止射击时，甲、乙共射击了四次的概率是

100

故答案为：_L

100

16、答案：-1

解析：由题意，设=/le[0,l]»

所以尸A=PB+BA=-BP+BA=-ABC+BA，PC={\-X)BC-

又BC=3,BABC=3>

所以PA-PC=(—28C+BA)•(1—4)BC=—/l(1一4)BO?+0一4)BA.BC

=9(A2-A)+3(1-/L)=9A2-12/1+3

=9(八|).1，

当/=|时，PA•PC取得最小值J

故答案为：-1.

17、答案：⑴x=-2；

⑵巴.

4

解析：（1）当a时,Lx+2」=0,解得：x=-2-

（2）当％=3时，a=（3,iy即a，b夹角为。，则

ab3+2y/2

l«ll^rVsxVio_2

6h0,兀］,...当x=3时，向量d与向量b的夹角为土

4

18、答案：（DC」

4

（2）5（V2-1）

解析：（1）因为c（cosA+sinA）=。，

所以在△ABC中由正弦定理可知：sinC（cosA+sinA）sinB，

又因为A+B+C=TT，

所以sinB=sin［兀一（4+C）］=sin（A+C），

所以sinC（cosA+sinA）=sin（A+C）»

所以sinCcosA+sinCsinA=sinAcosC+cosAsinC，

即sinCsinA=sinAcosC-

因为sinAh0，所以sinC=cosC>

即tanC=1，

因为0<C<7l'

所以c=¥.

4

（2）由（1）可知。=色，所以sinC=cosC=---'

42

由余弦定理可得°?=/+6一2abcosC=a2+b2-42ab-（2+，

因为a+h=6，c=4»

所以16=36-（2+夜）而，

解得ab=10（2-0）,

所以S%c="sinC=；xlO（2-⑹x曰=5（血-1）.

19、答案：（1）（z）-；（〃）£；（2）

359

解析：高一年级的一女两男分别记为X~小丫?；高二年级的两女一男分别记为王，

（1）从这6名同学中随机选出两人有（X"）,（XJ），（几切，（%,马），（石,弘），

（孙X）（X”石），（乂],马），（X],%），（Y，5），（工,％2），（X，yj，。，石），化,W），

（X，yJ共15个样本点.

⑺高二年级的男生M被选中有a，y）,（w，%）,（X，y），（X，y），化,y）共5个

样本点，所以高二年级的男生被选中的概率为

153

（n）“至少有一名男生''是"全是女生'’的对立事件，“全是女生”有（%,%），（X，xJ，

（X“看）共3个样本点，所以“至少有一名男生”的概率为1一（=9

（2）从每个年级的3名同学中各任选1名有（X，%），（凡与），（XQ），（匕玉），

（乂赴），（Y，X）,化,X）,化，尤2），化，X）共9个样本点，性别相同共有（%,%），

（X”w），（几凹），化,y）共4个样本点，所以概率为，

20、答案：（1）证明见解析；

⑵土4

3

解析：（1）取45中点D.连接ND,MD,

因为在直棱柱ABC-A4G中，M,N分别是AC,Ag中点，

所以ND//BB],ND=BB,,MD//BC-

ND.平面BCG四，BB|U平面BCCM，所以NO〃平面BCC4，同理〃平面

BCC]B],

NDMD=D，NDUMD平面MND,

所以平面MND//平面BCC}B],又MNu平面MND,

所以MN〃平面8CC4；

(2)连接8M,BN,AN,CD,由直棱柱8瓦，平面ABC,知平面ABC,

而COu平面ABC,所以N£)_LC£>，同理NDJ_£>M，

x

S^BCM=]S&ABC=5X/X2X2=1，VN_BCM=—S^BCM-ND=—lx2=—»

231

CD^BC'BD=A/22+肝=亚，CN=JN£>2+CD=万+(⑹2=3,

M0=；8C=1，MN=NNlf+DM2=BCM=1AC=V2»

△MOV中，cos/MCN=.9+2：=也,所以sin/MCN=立，

2x3xV222

11pyo

sAMCN=aCN•CMsinNMCN=3乂3x血乂%=3，

设8到平面MCN的距离为人,

则匕V-6CM=VB-CMN=耳S&MCN"h,

2

所以〃=2=3.即点8到平面CMN的距离为&.

-1X3-33

32

21、答案:(1)0.0125；

(2)平均数、众数和80%分位数分别为33.6,30,47.69.

解析：(1)设被墨水污损的数字为a.

由直方图的所有矩形的面积和为1得，

20x(。+0.025+O.(X)65+0.003+0.003)=1，

解得a=().0125.

(2)平均数的估计值为

20x0.0125xl()+20x0.025x3()+20xO.(X)65x50+20x0.003x7()+20xO.(X)3x90=33.6，

所以平均数的估计值为33.6个.

众数的估计值为生竺=30.

2

设80%分位数为》由图可