高中数学 切线问题

专题1:切线问题

1.若函数，（x）=lnx与函数g（x）=x2+2x+a*<0）有公切线，则实数"的

取值范围是（

A.(In—,+oo)B,(T,+°°)C.d,+8)D.(-In2,+oo)

1.A

【解析】设公切线与函数，(x)=lnx切于点4不1呻)(西>0),则切线方

程为y-lnx|=：(x-x)；设公切线与函数g(x)=f+2尤+a切于点

x\

B(X2,X[+2X2+a)(x2<0),贝1」切线方程为丫一0；+2*2+。)=2(々+1)。一工2),

；—=2(%+1)，1

所以有｛3-Vx2<0<x1,0<—<2.

ii2玉

InXj-]二—%2+a

，]丫11f1Y1

Q=InX]+----1—1=—In—I-2—1,.二,二•

'3JX)%

1

0v，<2,a=-t9—t—In/,

设/z(f)=，*T_]n«0<t<2),则/〃⑺在

42tIt

(0,2)上为减函数，贝11砥)>//(2)=-1112-1=皿；，aefln-!-,+oo\

2eyZeJ

故选A.

2.已知直线y=2x与曲线〃x)=ln(依+。)相切，则曲的最大值为

()

A.—B.—C.eD.Ie

42

2.C

【解析】设切点（如ln（方。+切，则由r（x°）=后=2得

ax()+b=—a[a>0),

又由In®+。)=2/，得Xo=gln®)+b)=g呜，则

,aaa.a

b=ax.=---In—,

2°(222

^ah=^a2-^a2ln^(a>0),令g(a)=g/,则

g'(a)=a

22r

故当()<a<2加时g'(a)>0；当a>2八时g'(a)<0,故当a=2加时g(a)

取得极大值也即最大值gQ&)=e.

故选：C.

3.已知P是曲线G：y=靖上任意一点，点。是曲线。2：y=叱上任

X

意一点，则归。|的最小值是()

A[In2n11n2

A.1---B.1+—

22

C.2D.V2

3.D

【解析】(1)曲线G：y=e;求导得y，=e;易知G在点A(O,1)处切

线方程为y=x+i.

下面证明e，x+l恒成立：

构造函数/(x)=e，7-l,求导得r(x)=e-l,则,0)时，

制尤)<0,/(X)单调递减；XG(0,+oo)时,f^X)>0,/(X)单调递增.

故函数/(力2/(0)=0,即炉。+1恒成立，有G为下凸曲线

(2)曲线G：y=—,求导得y'=上坟，当x=l时，/=1,且。2

Xr

过点B(LO)

故G在点(1,0)处的切线方程为y=x-1.

下面证明x-1之一在(0，+?)上恒成立：

令尸(x)=M_》_in%,则F(x)=2x-l-i=2/一1=已出但。,

XXX

当0<x<l时，F(x)<0,尸(x)单调递减；当x>l时，F(x)>0,F(x)

单调递增，

所以尸(力,=-1)=。，即以》*1)=0,

则f—x—inxNO,即犬-后手在(。,+?)上恒成立，有。2为上凸曲线

(3)由。在A(O,1)处切线y=x+i与。2在3(1,0)处的切线y=x-i,

知：它们相互平行

又直线43的斜率Z=-1,即可知：直线A5与两条切线同时垂直

综上，知：|「。|最小时，4即为尸点，B即为。点，故

IPQImSA例

IPQImin=|=Ji?+/=\/2

故选：D

4.若曲线y=^+2cosx上存在两条切线相互垂直，则实数。的取值

范围是()

A.[SV3]B.[-1,1]C.(…，1]D.[一百，1]

4.A

【解析】y="-2sinx,要使曲线y=6+2cosx上存在两条切线相互垂

直，

只需切线斜率最小时，其负倒数仍在导函数值域内取值，即

一「min，，>'，y,显然y'mn<0,

故只需(y)“而*-i,

因为y'=a-2sinx最小值为a—2<(),最大值为a+2>(),

2

所以3-2)3+2)„-1,即a„3,

解得-G融G.

故选：A.

已知关于％不等式ae'x+b对任意xwR和正数枚恒成立，贝的

5.b

最小值为()

A.1B.1C.V2D.2

5.B

【解析】设/(x)=ae,，g(x)=x+b,

若ae*2x+b,对任意xeR和正数/?恒成立，

则"x)Ng(x),对任意xeR和正数。恒成立，

如图，

aWO时，aex>x+b,对任意xeR和正数。不恒成立;

如图,

Q>0时，

f(x)=aex,则f'(x)=』,

设/'(%0)=。1=1,解得x0=-lna,且/(/)=四"=a/n"=1,

.•.当〃力=丝，的切线斜率为1时，切点坐标为(-Ina,1),

由直线的点斜式方程可得切线方程为>-l=x+lna,

即y=x+ln〃+l,

若/(x"g(x)=x+8,对任意xwR和正数〃恒成立，则Ina+lNZ?

/.}na-\nb>b-\-\nb

•a、^b-\-\nb

••:乙e，

b

设/z®=〃-1-In/?,b>0

//(。)=1一！=自，

')bb

：,b=l,h'(b)=O,b>\,h'(b)>Q,b<l,h'(b)<Q,

贴)训1)=0,

b

故选：B.

6.若存在实数使不等式2elnxWax+匕弓x?+e对一切正数x都成

立(其中。为自然对数的底数)，则实数。的最大值是()

A.4eB.IeC.2&D.2

6.C

【解析】存在实数。，以使不等式2elnxV"+b[x2+e对一切正数x都

成立，要求。的最大值，临界条件即为直线恰为函数

f(x)=2eInx,g(x)=^x2+e的公切线.

设f(x)=2eInx的切点为(石,y)(%>0),a=^-.

设g(x)=；%2+e的切点为(%,%)(工2>°),g'(x)=x，，a=X2,

2e

所以。=—=x2,.\xIx2=2e.

%

由题得上上1七L”3.2i呻+4一3=。・

x}-x2再

设/?(%)=21n%+~~3(x,>0),

X]

所以以“=2-々=纽吉，

芯X；不

所以函数〃(%)=21呻+4-3在(0,2小上单调递减，在(2&,+8)单调递

%

增.

又/z(&)=21n&+，-3=l+2-3=0,

e

当％—>-Foo时，h(x)=2In再H———3>0

}x\?

所以方程另外一个零点一定大于2〃.

所以方程小的零点为“，

所以《nax=%=2&.

故选：C

7.若对函数〃x)=2x-sinx的图象上任意一点处的切线4,函数

g(x)=me、+W-2)x的图象上总存在一点处的切线上使得/JL则

机的取值范围是()

A.卜卦)B.巧

C.(-1,0)D.(0,1)

7.D

【解析】由/(x)=2x-sinx,得/"(x)=2-cosxe[l,3],所以

---------€-1,=A,

2-cosxL3_

由g^x)=mex+(m-2)x,得g'(x)=〃箔'+加一2.

⑴当机＞0时，导函数单调递增，g'(x)w(/〃-2,”),

由题意得"，切，,(西必'(“2)=-1；4(工2)=-77夫

J(%)

故〃？一2＜-1,解得0＜〃？＜1；

(2)当加＜0时,导函数单调递减，g，(%)«,,加-2),同理可得

加-2＞一；,与机＜0矛盾，舍去；

(3)当〃7=0时，不符合题意.

综上所述：〃，的取值范围为(。，1).

故选：D.

8.若过点P(l,根)可以作三条直线与曲线c：y=xe'相切，则根的取值

范围是()

C.（0,+。）D.

8.A

【解析】设切点为M(Xo，%)，:y=xe*,，y'=(x+l)e",

.••M处的切线斜率上=(x°+l)e",则过点尸的切线方程为

)=(/+1)6%(%-毛)+/6%,

代入点P的坐标，化简得加=(-片+%+l)e*,

过点P(L根)可以作三条直线与曲线C：y=xe‘相切，

/.方程加=(-片+/+l)e”有三个不等实根.

令〃力=(―/+》+19,求导得到尸(x)=(-x2-x+2)ec,

可知/(x)在(―,-2)上单调递减，在(-2,1)上单调递增，在(1,+?)上单

调递减，

如图所示，故/(-2)<机<0,gp-A<m<0.

9.已知丁=依+匕是函数/(x)=lnx+x的切线，则2攵+Z?的最小值为

9.2+ln2

【解析】根据题意，直线与函数/(%)=/办+%相切，设切

点为(机，lnm+m},

函数/(%)—lnx+x,其导数/(%)=g+l，则/(m)=\+1，

则切线的方程为：J-(lnm+m)=(\+1)(x-m),变形可得)=

(—+1)x+lnm-1,

m

又由切线的方程为y=^+6

贝I」k=—+1,b=bim-1,

m

22

贝ij2k+b=—+2+bim-1=/〃〃/+—+1,

mm

212m-2

设g(m)=lnm+—+1,其导数g'(m)=----r=——,

mmm~m

2

在区间(0,2)上，g'(m)<0,则g(m)=/〃/n+—+1为减函

m

数，

2

在(2,+co)上，g'(m)>0,则g(m)=方加+—+1为增函数，

m

贝(m)min=g(2)=勿2+2,即2%+b的最小值为力2+2；

故答案为出2+2.

10.存在A>0">0使丘-2左+)21nx对任意的x>0恒成立，则1•的最

K

小值为.

10.1

【解析】存在攵>°，台>°使履一2k+b21nx对任意的x>0恒成立，

则等价于等价于存在4>0，b>0,y=2)+。在y=Inx的上方.

直线丁=上(％-2)+匕过定点(2⑼，即定点在直线x=2上，

设直线y=左(％-2)+匕与y=lnx相切于点(%,%),

y=(lnx),=-,所以氏=；,

%Ao

必必=也坐In——h

得人-

出x-2x-2

00--2

k

化简得》=2%_l_lnA:,故？=2-1-竽.

kkk

构造函数g(A)=2-J-乎(Z>0),

KK

r/1/,\1l-ln&\nk

则g⑷=hk=记，

所以当0<女<1时，所A)<0,函数g(左)递减,

当Q1时，g⑻>0,函数g(4递增,

所以g(比n=g(l)=2-1=1.所以白勺最小值为1.

K,

故答案为：1

11.若直线、=履+力是曲线丫=寸的切线，也是曲线丁=3尤+2)的切

线，则仁.

11.1或，

e

【解析】设丫=丘+〃与丫=。'和y=ln(x+2),分别切于点(x"“)，

(x2,ln(x2+2)),

由导数的几何意义可得：%=-=+，即々+2=《，①

则切线方程为y-e"=屋1(*-演)，即y=e"x-e*,X|+ex',

^y-ln(x+2)=-(x-x),gpy-ln(x+2)=-(x-x),②

2X)~1~L22X-y~l~L2

将①代入②得y=e"x+2d-1-司，

又直线y=^+b是曲线y=e'的切线，也是曲线y=ln(x+2)的切线,

则-+eA1=2e*-1-苞,

r

即(e--l)(xl+l)=0,

则石=T或X=0,

即女=e°=l或

e

故答案为：1或

e

12.已知直线产质+。与函数产"的图像相切于点P（%,yJ,与函数

y=lnx的图像相切于点2（孙%）,若电＞1,且+neZ,则

n=.

12.4

【解析】依题意，可得X=e'=3+小，整理得

y2=\nx2=kx2-^-h

x2lnx2-lnx2-x2-1=0

令/(x)=xlnx-lnx—x-l(x>l),贝I」/''(x)=Inx—,在(l,+<»)单调递增

X

且/'(l)J(2)<0,.•.存在唯一实数〃ze(l,2),使广㈣=0

/5焉=/(加)<八1)<°,〃2)=M2-3<0,/⑶=21n3-4<0,

/(4)=31n4-5<0,/⑸=41n5-6>0,,-.%2£(4,5),故〃=4.

13.若直线产质+〃既是曲线y=lnx的切线，又是曲线广小2的切

线，则》=.

13.。或-1

【解析】令/(x)=lnx,g(x)=e"2,则尸(无)=—,g，(x)="-2.

设切点分别PQ，%),。(工2,%)，

则切线方程为yTn%=；(x-xJ,即y=J.x+lnx「1；

x\x\

X22X22X22X22

y-e~=e~(x-x2),即y=e~-x+(l-x2)e~,

_=e*-?flnx.-2-X

，E，即I732-2，

(1-%2>(1-/—)=0,々=1或%2=2.

当W=1时,切线方程为y=L,.•"=()；