2023年10月新高考九章一模数学试题含答案

机密★启用前

2024届新高考I卷“九章杯”第一次统一调研考试

数学

2023.10

本试题卷共4页,22题，全卷满分150分.考试时间120分钟.

注意事项：1.答卷前，考试务必用黑色碳素笔将自己的姓名和座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂

黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案

写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

★祝考试顺利★

第I卷（选择题共60分）

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

X

1.已知集合4=m€2|*—2/—8<0},集合3=X<0,则4r18=

x—2

A.{0,1,2}B.[0,2)

C.{0,1}D.[0,1)

2.己知i是虚数单位，复数z满足（1-i）z=3+i,则5在复平面上对应的点在

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

已知向量|a|=|b|=ag|a+b|=1,则|a—b|=

3.

A.1B.V2C.V3D.2

_21一工N20,

4.己知函数己知=,<o,是定义在R上的偶函数，则

m-2x+n-2-x,

A.-4B.-2C.0D.2

5.已知圆。的直径=6,动点M满足阳川=2阳3|，若点M的轨迹为曲线。，曲线。与

圆。相交于两点，则|。。|=

A.4B•普16D.得

Cr.3

6.己知等差数列&｝的前n项和S”有最大值，若（。3—1）（。4-1）=2,$6=15,则时

n的最大值为

A.9B.10C.11D.12

7.已知函数/⑴=2疝（3汗+9）（3>0,|切〈■的最小正周期为T,且/住）=衣,若/⑴

在（0,上有且只有一个最大值点和一个最小值点，则3的取值范围是

A.[6,11）B.[6,15）C.L7,1DD.[6,12）

8.如图，在直三棱柱ABCT'B'C中,48=8。=2,441=5,/48。=争,加,％分别为棱

BB,,4C上的动点，当MC'+MN最小时,BM=

A.2R7!

B3

C5

2

D5

-

34

二、选择题:本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得5分,部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.一组样本数据g,g,•••,/“的平均数为豕了右0）,标准差为s.另一组样本数据为+1，为+2,

-,x2n的平均数为3落标准差为s.两组数据合成一组新数据的，电，…,3+1，…，屹“，新数

据的平均数为V，标准差为s'，则

A.y>2xB.y=2xC.s'>sD.s'=s

10.已知P是圆OH+U2=i上的动点，直线l1:xcos9+ysinO=4：与l2：xcos0+ysm0=2交

于点Q,则

A.h与l2的距离为2

B.点P到直线厶距离的最大值为5

C.存在。CR,直线厶经过点P

D.对任意的。eR,动点P到两直线的距离以及h与12的距离之和的最大值为10

11.设抛物线。：9=J*,过焦点F的直线交C于力（曲,防）,3（g,仇）两点，直线AO,BO（O

为坐标原点）分别与直线晒"=-2交于A"旳,%）,N（图，以）两点，则下列说法正确的是

A.焦点P的坐标为（0,2）B.^4=-16

C.寺觀的最小值为|D./\AOB与4MON的面积之比为定值

12.已知函数/（/）满足:①函a+z）为偶函数;②/'（c+c）+/'（c—*）=2a,a手c,其中f（x）

是/岫）的导函数,则下列结论正确的是

A.广金）关于（a,0）对称B./（牛）关于2=c对称

C./（①）的一个周期为2|c—a|D./（/'（1））关于z=c对称

三、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.

13.(2+對(立一1尸展开式中x3的系数为5,则a=.

14.已知正六棱台ABCDEF-AiBCDiEiR的上、下底面的边长分别为3,4,该正六棱台的外

接球的表面积为100k,则该正六棱台的高为.

15.若直线ei-2y+ehi2=0是指数函数y=a^a>0且a*1)的图象的一条切线，则实数a

的值为.

16.意大利数学家斐波那契(1175年〜1250年)以兔子繁殖数量为例，引入数列：1,1,2,3,5,8,

…,该数列从第三项起,每一项都等于前两项之和，即即+2=即+1+a„(nGN),故此数列

称为斐波那契数列，又称“兔子数列”，其通项公式为册=+[(^^)一(丄讃⑤)_・

设n是不等式log?!?1+V5)n-(1-V5)"]>n+6的正整数解，则n的最小值为.

四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)

在锐角△43。中，角43。的对边分别为a,b,c,已知

3-=(2V3-3)tanC.

sm.C光+cosC

(1)求角。；

(11)若C=2且sin廿屮=普■，求AABC的面积.

Q—ca-u

18.(12分)

如图，在正四棱台中，高为=上、下底面均为正方形且

位似比为12,点E为边3场的中点，点F为边DDX上一动点.

(I)求证:丄B4；

(H)当点F移动到。2的中点时，求34与平面GEF夹角的正弦值.

5

19.（12分）

杭州第19届亚运会于2023年9月23日在万众期待中开幕，兵乓球作为国球又一次掀起

热潮.为推进素质教育某学校举行了乒乓球比赛，其中参加男子乒乓球决赛的12名队员

来自3个不同校区,三个校区的队员人数分别是3,4,5.本次决赛的比赛赛制采取单循环

方式，即每名队员进行11场比赛（每场比赛都采取5局3胜制），最后根据积分选出最后的

冠军.积分规则如下：比赛中以3：0或3：1取胜的队员积3分,失败的队员积。分;而在比

赛中以3:2取胜的队员积2分,失败的队员积1分.已知第10轮张三对抗李四，设每局比

赛张三取胜的概率均为p（0<p<l）.

（I）比赛结束后冠亚军（没有并列）恰好来自不同校区的概率是多少？

（II）第10轮比赛中,记张三3:1取胜的概率为/（p）.

（I）求出“p）的最大值点Po；

（ii）若以Po作为P的值，这轮比赛张三所得积分为X,求x的分布列及期望.

20.（12分）

设数列｛厮｝的前n项和为Sn,且2sn=6％+6）q=16.

（I）求数列｛«„｝的通项公式；

（n）设数列｛康｝的前n项和为乙,求证:K4<亮.

21.（12分）

已知函数fCx）=x\nx—2x+m（meR）有两个零点11,12，且旳<12.

（I）求m,的取值范围；

（II）证明：11+12<3©—

22.（12分）

设£，H分别为椭圆「手+吟=1的左、右焦点，过E的直线与「交于4口两点，过E

的直线与T交于两点，且CO丄4反

（1）设45与CD交于点E,求证:点E在椭圆r内；

（II）東四十力肥力的面积的取侑范闱.

2024届新高考I卷“九章杯”第一次统一调研考试

数学参考答案

命题单位:新高考教师交流中心2024.10

命题教师：阮国勇李鸿昌袁方刘航宇洪通李晓斌

王恩普朱文杰杨洋陈晓张彭杨飞

一、选择题：本大题共8小题.每小题5分，共40分.在每小题给岀的四个选项中,只有一项是

符合题目要求的.

1.C2.D3.A4.A

5.D6.C7.A8.D

二、选择题:本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给岀的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得5分.部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.BC10.AB11.BCD12.BD

三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.-314.1或7

15.e或e?16.9

四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.解：（I）由题意得

3sinC-3cosc=(2x/3-3)tanC.

sinC+cosC

即

雕弃=(2舁3)tanC

整理得

[(2-\/3)tailC-1](\/3tailC-3)=0.

所以tanC=或tanC=2+x/3.

因为。£(0,90。),所以C=60。或C=75。.

(n)由c=2及

a+b_c

a-ca-b'

得

由余弦定理得

a2+C2-h2ac1

2ac~2ac~2，

所以3=60°.

①若C=60。,易知△A3。为等边三角形，所以

SAABC=/x2x2x=V3；

②若C=75°，则A=45。,由正弦定理得

。=受嘤=3a-疯

smC

所以

SAABC=J^csinA=yx(3V2-布)x2x=3-6.

18.(I)由题意知平面AACC丄平面35功。.

因为4G丄⑶5，所以

AC丄03.

连接4G,82交于一点G,设A3=i,则=21,，8=&，可得85=8。=。。=

yl3lD,=BlG=GDl=6,所以四边形片区GO为菱形.所以

BGJLDBi.

又因为AiGn，G=G，所以

。〃］丄平面6A|G.

又/3A［U平面/34G，故

丄B41.

（H）由（［）因为正四棱台的髙为后,易解得工=2.

D

/­：

4

建立如图所示的空间直角坐标系Guyz,各点坐标加下:

3a

Al(-2>/2,(),0).B(0,-V2,x/6),E(0,

2'2

由题意

1),E片=(O,3\/2,O),EC^=2>/2,—)

A,B=（殍当

设平面GE*的一个法向量为n=(z.y,z),则

n-EP-3y/2y=0,

n-EC\=2x/2x+^-^-y~孚z=0,

取口=(6.0.4).

设34与平面C/F的夹角为仇所以

sinG=|cosm，Ai->|=

Olnl76

故13At与平面GEF夹角的正弦值为凜

19.(I)比赛结束后冠亚军恰好来自不同校区的概率为

八C；C：+C：C：+C；C：47

"-------氏-------=66-

(n)(i)由题可知

/(/))=C》3(]一/))=3/>3(1-/)),

求导得

/'(/>)=3/)2(3-4/)).

令r(°)=o,得/)=总.

当」«0,京)时,r(/))>oj⑴在(01)上单调递增;

当仔,1)时,，(/))<0j(/))在仔,1)上单调递减.

所以/(°)的最大值点仇产总.

(ii)X的可能取值为0,1,2,3.

/5(X=0)=(l-/))3+Cj/)(l-/))3=(l-1)+Ch|x(i-13

'256'

P(X=1)=C涉(1-”=C；x住)x(1-j)=；

p(x=2)=Ci/)2(1-/>)2p=Ci(-1)x(i-弓)x2=AL；

P(X=3)=/>3+/>a/>2(1-/))=(1)+«(|fx(l-1)x|_189

-256-

所以X的分布列为

X0123

2781189

p13

2565l2512256

X的期望为

n13丄i27丄r81丄21891323

£(X)=Ox256+lx5T2+2x5l2+3x256=3TT-

20.解：（I）当餌=1时,

解得“I=6.

当九22时,

"(6+册)(M-1)(6+art.।)

22

整理得

(M-2)a„+6=(H-I)a„_|,①

所以有

②

(H-1)OM4|+6=八%,

①-②可得

勿"=a”_]+a”+i,

所以｛%｝为等差数列.

因为Qi=6,06=16,所以公差d=2.

所以册=2九+4.

(n)因为

,_1_1_1(1I)

n

~nan~w(2n+4)-4\M九+2丿'

所以

…+(卜圭■)]

TT-dn■-力)•

令

/(w)=i-(7TTT+77T2)*

当〃f+8,函数/(〃)单调递增，所以

/(l)wf(")矣主

即

21.(I)/'(1)=Ina:-1,令/'(7)=0,得x=e.

当％w（O,e）时,r（x）vOj（z）单调递减，当HW（e.+8）时丿（幻＞0,/（工）单调递増.

所以

/(-r)min=/(e)=m-e.

要使/(z)有两个零点，则需满足a-e<0,解得m<e.

当工f0时,/(%)f"2,当J?f8时,/(%)f8,故W>0.

因为

m2।m22m2

-Q-ln-g--------厂+机

nr

,n

V巧mI-萼9+

2ni(3-小)、八

=-------9-------0'

/(e2)=ni>0.

所以存在J:I€(*,e),Z2£(e,e2),使得/(X|)=/(x2)=0.

综上所述，用的取值范围是(0,e).

XiInXj-2J?I+m=0,

整理得

{xlnx-2必+=0.

22

.cm

Hnr.=2--,①

lnx=2--^-.②

I212

令

g(x)=Inx-~~p-^-(0<x<1),

DX+1

则

2

,(x14(x-1)、八

所以g(z)在(0.1)单调递增，即g(以<g(l)=0,故Imrv受F(0<z<l).

当0<z<e时,0<q<1,则

即

X芝芳(0<z<e).

同理可得

21(j;>e).

由①可得

m./3xi-e

2n------=InXi<----------

x,1X|+e

整理得

xf+(m-3e)j?)+me>0.③

由②可得

2--=lnx2<

44+e

整理得

④

x?+(m-3e)x2+/e<0.

④©整理得

M)[j:2+J:I-(3e-m)]<0.

又因为亚-工1>0,所以+a;2<3e-6，故原不等式得证.

22.(1)证明：由题意知。2=盟-知=4-3=1,所以3(-1,0)方2(1,0).

因为CQ丄AB,即3E丄F2E，所以点E在以线段N6为直径的圆上,该圆的方程为

x2+J2=1.

由于1<6,即C。,可知圆〃+y2=］在椭圆=内，因此点后在椭圆「内.

(n)由(I)知43与C,。的交点E在椭圆「内，所以四边形A/3CQ的面积为

①若AB垂直I轴,则CD为长轴,此时

S=yAB\,\CD=yxx2a=262=6.

②若AH和CD都不垂直1轴，加图所示.

设A/3的斜率为/?(/?中0),则由

y=k(x-1),

3x2+4/=12