2024年1月“七省联考”考前数学预测卷3含答案

2024年1月“七省联考”预测卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1,已知集合§川y=ln（2-2）｝,则人口3=（）

A.B,卜

C.1x|l<x<D.kI

2.复数Z满足（1+，）.Z=1—泮25,则［的虚部为（）

A.iB.-1C.-iD.1

3.英国数学家哈利奥特最先使用“<”和“〉”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影

响深远.对于任意实数。、b、c、d,下列命题是真命题的是（）

A.若a?</,则。<力B.若,则4c

C.若a<b,c<d,则acvbdD.若a<Z?,c<d,则Q+c<Z?+d

4.如图所示，a为射线。4,OB的夹角，ZAOx=~,点尸（—1,3）在射线。8上，则$皿"+|）_（）

4cosa一

A2+6R-2+V3_273+1D,山

2222

5.下列函数中，既是偶函数又在（0,2）上单调递减的是（）

A.y=2.B.y=—x3

JQ2—x

C.y=cos—D.y=In-----

-22+x

6.已知圆C:（x-l）2+（y-l）2=l上两动点A,6满足口ABC为正三角形,o为坐标原点，则伊+砺的最

大值为（）

A.2GB.2V2

C.2V2-V3D.2V2+V3

7.现有4名男生和3名女生计划利用假期到某地景区旅游，由于是旅游的旺季，他们在景区附近订购了一

家酒店的5间风格不同的房间，并约定每个房间都要住人，但最多住2人，男女不同住一个房间，则女生甲

和女生乙恰好住在同一间房的概率是（）

23

C.D.—

710

8.a=21nl.01,Z?=lnl.02,c=Vf04-b则（)

A.a<b<cB.b<C<aC.D.a<c<b

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列命题正确的是（）

A.若样本数据再,々，…，。的方差为2,则数据2%—1,2%T,…,2%-1的方差为8

2

B.若尸（A）=0.6,P（B）=0.8,P（A|B）=0.5,则P（B|A）=-.

C.在一组样本数据（%,%）,（%,力）,…,（土,%）,（n>2,xl,x2,---,xn,不全相等）的散点图中，若所有

样本点（x,,y）a=1,2,）都在直线y=-gx+1上，则这组样本数据的线性相关系数为-g

D.以模型y=ceh去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设z=lny,求得线性回归方程为

z=4x+0.3,则c,左的值分别是e03和4

10.已知函数/（x）=cos21%+9］（0<夕<兀）的一个对称中心为性,彳］,则（）

A./（X）的最小正周期为兀

s兀

C.直线％=石•是函数”X）图像的一条对称轴

D.若函数y="0x）（。〉0）在［0,可上单调递减，则。（0,：

11.已知正项数列｛4｝的前〃项和为S“，ax=1,且2（S,+S"T）=a；+l（〃22）,〃eN*&=」-

anan+l

北为抄,｝的前〃项和.下列说法正确的是（）

A.4=2B.4=(—1)"

D.1<g

C.an=2n-l

12.如图所示的六面体中，SA,SB,SC两两垂直，ST连线经过三角形ABC的重心M,且

SM=>0),则(

A.若4=工，则7CL平面

2

B.若x=2,则SA〃平面rec

C.若5,45,0,7五点均在同一球面上，则4=工

2

D.若点T恰为三棱锥S-ABC外接球的球心，则4=2

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知非零向量”，b,c满足H=W，c=—G,若c为b在a上的投影向量，则向量a，Z?夹角的余

弦值为________

14.(d+1)(%—2成展开式中V项的系数为.

15.已知直线y=与_y=&x(尢＞左2)是曲线丁=。》+2111国(0€口)的两条切线，则尢一左？=

16.已知椭圆。：二+丁=1的左、右焦点分别为耳，F,,M是C上异于顶点的一点，。为坐标原点，E

47

为线段叫的中点，/耳”片的平分线与直线EO交于点P,当四边形8的面积为2/时，

sinZMF^=.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在口48。中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a="(GsinC+cosC).

(1)求&

(2)已知8。=2括，。为边A3上的一点，若3。=1,ZACD=-,求AC的长.

2

18.如图，三棱锥尸―ABC的平面展开图中，AB1BC,P[B=AB=®，4=AC=4,4c=2J5,

E为鸟4的中点.

(1)在三棱锥P—ABC中，证明：BE1AC；

(2)求平面P8C与平面ABC夹角的余弦值.

19.已知数列｛4｝是各项都为正整数的等比数列，。1=3,且%是。2与q。4的等差中项，数列也｝满足

4=I，％1=2b“+1.

（1）求数列｛%｝,｛0“｝的通项公式；

b+5

（2）若左•七一一28〃+2左—24对任意“eN*恒成立，求实数左的取值范围.

20.某中学有A,2两个餐厅为老师与学生们提供午餐与晚餐服务，王同学、张老师两人每天午餐和晚餐都

在学校就餐，近一个月（30天）选择餐厅就餐情况统计如下：

选择餐厅情况（午餐，晚餐）（AA）（B，A）(B⑻

王同学9天6天12天3天

张老师6天6天6天12天

假设王同学、张老师选择餐厅相互独立，用频率估计概率.

（1）估计一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的概率；

（2）记X为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望E（X）；

（3）假设M表示事件“A餐厅推出优惠套餐”，N表示事件“某学生去A餐厅就餐”，P（M）＞0,已知推出

优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证

明.P（M|N）〉P（M同.

21.如图，在平面直角坐标系xOy中，歹为x轴正半轴上的一个动点.以厂为焦点、。为顶点作抛物线

C:y2=2px(p>0).设尸为第一象限内抛物线C上的一点，。为了轴负半轴上一点，设。(—。,0),使得PQ

为抛物线。的切线，且|尸。|=2.圆G、。2均与直线0P切于点P，且均与无轴相切.

(1)试求出a，P之间的关系；

(2)是否存在点/，使圆与的面积之和取到最小值.若存在，求出点厂的坐标；若不存在，请说明

理由.

22.已知aeR,函数/(%)=幺+山%,g(x)=ax-lnx-2.

X

⑴当“X)与g(x)都存在极小值，且极小值之和为。时，求实数a的值;

112

⑵若/(%)=/(%2)=2(%产为2),求证：~+

2024年1月“七省联考”押题预测卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

♦=">=13=口y=ln（2，—2）|4cA

1.已知集合〔,3-2xJ,L-y\力，则Ar13=（）

x|0<x<-|x|l<X<-|

A.B.

C.|x|l<x<—D.xlx<-,x^l

2

【答案】B

【解析】由3—2x〉0解得所以A=]x|x<|

由2，-2〉0解得x>l，所以5={x|x>l},

所以Ac3={x[l<x<.

故选：B

2.复数z满足（l+z>z=l—产3,则I的虚部为（）

A.iB.—1C.—iD.1

【答案】D

【解析】v（l+z）-z=l-z2025=l-i,

,「=1一'_（If/「2i「•

"―1+厂+—z）—2—，

z=i>

所以三的虚部为L

故选：D.

3.英国数学家哈利奥特最先使用“<”和“〉”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影

响深远.对于任意实数。、b、c、d,下列命题是真命题的是（）

A.若/,贝ija<。B.若。<。，则。c<0c

C.若a<。，c<d,则ac<》dD.若a<b,c<d,则a+c<b+d

【答案】D

【解析】对A：因为/<〃，可能。<。<0,故错误；

对B：当c<0时，若a<b,贝ijac〉Z?c,故错误；

对C：当a<Z?<0,c<d<0时，则ac>仇Z,故错误；

对D：若a<b,c<d,则a+cvZ?+d,故正确.

故选：D.

点P(-L3)在射线08上，则sm(a+?

4----------

cosa

26+1口2石-1

-2-■-2~

【答案】A

【解析】设射线。B所对的角为6则有sin"箫噜，3=*=-吟,

7T

又因为£=a+—,

4

71

所以a=〃—W，

sina=sin(£—：)=(sinP-cos/?)=~~，cosa=cos(,一：)=~~

1.2国岳

所以sin(a+1)—sintz+

2io

275+715

sin(tz+—)10_2+V3

所以-------二

-

cosaV|2

彳

故选：A.

5.下列函数中，既是偶函数又在（0,2）上单调递减的是（)

A.y=2凶B.y=—x3

X2—x

C.y=cos—D.y=ln

22+x

【答案】C

【解析】对于A,函数/（%）=州的定义域为R,关于原点对称,

且f(-x)=2T=2W=f(x),所以函数-3为偶函数,

当xe(0,2)时/(尤)=2工，函数Ax)单调递增,故A不符合题意;

对于B,函数/(x)=-V的定义域为R,关于原点对称,

33

且y(-x)=-(-x)=x=-/(x),所以函数f(x)为奇函数,

由幕函数的性质知函数y=/在R上单调递增，

所以函数/(%)=-%3在R上单调递减，故B不符合题意;

X

对于C,函数/(X)=cos1的定义域为R,关于原点对称，

Xx

且/(-%)=cos(--)=cos—=f(x),所以函数/(x)为偶函数,

当xe(0⑵时］e(o,l),又(0,1)Jo,",

所以函数/(尤)=cos］在(0,1)上单调递减，故C符合题意；

2—x

对于D,函数/(x)=ln——的定义域为(-2,2),关于原点对称,

2+x

且/(-x)=In+%=ln(-~-)-1=-ln-~-=-/(%),

,)2-x2+x2+x-

11_2x

所以“X)是奇函数，又广⑴=

2-x2+x(2-x)(2+x)

令/'(x)<0n-2<%<0,令/'(%)>0=0<%<2,

所以函数/(X)在(-2,0)上单调递减，在(0,2)上单调递增，故D不符合题意.

故选：C.

6.已知圆C:(x-l)2+(y-iy=l上两动点A,B满足口ABC为正三角形，。为坐标原点，则|土^+94的最

大值为()

A.2^/3B.2A/2

C.2V2-V3D.2V2+V3

【答案】D

【解析】由题可知口ABC是边长为1的正三角形，

贝|」回|=手

设A3的中点为M,

又所以点M的轨迹方程为（x—+（y—1）2=:，且|。。=亚.

因为瓦+砺=2两，所以|。4+。@=2,“卜

因为|OM|<|OC|+\MC\=42+^-，

当且仅当点C在线段OM上时等号成立,

所以|而|的最大值为亚

所以+砺|的最大值为2亚+6.

故选：D.

7.现有4名男生和3名女生计划利用假期到某地景区旅游，由于是旅游的旺季，他们在景区附近订购了一

家酒店的5间风格不同的房间，并约定每个房间都要住人，但最多住2人，男女不同住一个房间，则女生甲

和女生乙恰好住在同一间房的概率是（）

【答案】C

【解析】3名女生需要住2个房间或3个房间.

若3名女生住2个房间，则不同的方法种数为C；C；A；；

若3名女生住3个房间，则不同的方法种数为.

其中，女生甲和女生乙恰好住在同一间房的方法种数为C；A；,

C：A；_2

所以女生甲和女生乙恰好住在同一间房的概率是A51ZA5—7•

CaCX+2CX

故选：C

8.tz=21nl.01,Z?=lnl.02,c=Vf04-b则（）

A.a<b<cB.b<C<aC.C<a<bD.a<c<b

【答案】B

【解析】依题意，o-c=21nl.01+l-=l-lnl.O2,

4/(x)=21n(l+x)+l-Vl+4x,0<x<l，

222222

求导得，'(x)=---------=-—->--—=>0,

2

]+xJ1+4x-\Jl+2x+xJ1+4xJl+3xJl+4.X

因此函数〃x)在(0,1)上单调递增，/(0.01)>/(0)=0,即a—c>0,则。〉c；

1111

令g(x)=Jl+2x-1-ln(l+x),0<x<E求导得g'(")=>0,

Jl+2x1+尤Jl+2xJ1+2X+Y

因此函数g(x)在(0,1)上单调递增，g(0.02)>g(0)=0,即c—。>0,则c>。，

所以0<c<a.

故选：B

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列命题正确的是()

A.若样本数据%,％2,…，%的方差为2，则数据2%一1,2々一1,…,24-1的方差为8

2

B,若P(A)=0.6,P(B)=0.8,P(A|B)=0.5,则P(B|A)=j.

C.在一组样本数据(%,%),(%,力),…,(土,%),(n>2,xl,x2,---,xn,不全相等)的散点图中，若所有

样本点(卬x)(i=1,2,)都在直线y=-gx+1上，则这组样本数据的线性相关系数为-g

D,以模型y=ceh去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设z=lny,求得线性回归方程为

2=4x+0.3,则c次的值分别是e03和4

【答案】ABD

【解析】对于选项A：若样本数据石,々，…，蛛的方差为2,则数据2%-1,29-1,…,2%-1的方差为

22x2=8/7，故A正确；

对于选项B：若P(A)=0.6,P(3)=0.8,P(A|3)=0.5,则

2

—,故B正确;

P(A)P(A)0.6

对于选项C：在一组样本数据。,%),(》2，%)，…，(X"，为)，("之2,%,%2,…,X"，不全相等)的散点图中，

若所有样本点(知y)”•=1,2,…，”)都在直线y=-gX+1上，其中-；是线性回归方程的一次项系数，不

是相关系数，相关系数是刻画一组数据线性相关程度一个量，范围是[-1,1],当相关系数为正时呈正相关

关系，为负时呈负相关关系，故C不正确；

对于选项D：以模型y=cek去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设z=lny,

则z=lny=lnc+lnek=lnc+立，由题线性回归方程为2=4x+0.3,贝Hnc=0.3,左=4,故c,左的值

分别是e03和4,故D正确.

故选：ABD.

兀1

10.已知函数/(x)=cos2X+y1（0<^<71）的一个对称中心为

~6,2，则（）

A./（X）的最小正周期为兀

C.直线％=皆57r是函数“X）图像的一条对称轴

D.若函数丁=/（。%）（0>0）在［0,可上单调递减，则。6n

【答案】AC

11717rTT

［解析］/(%)=—cos(2x+0)+—则有2x—+0=—+左兀,％eZ,解得(p=—+kR,keZ,

22626

因为0<°<兀，所以夕=巴，所以=gcos［2X+B］1

+2)

6216J

则/（X）的最小正周期为兀，故A正确;

兀17113,,__

—cos—+—=—,故B错快;

122324

2义1|+^=兀，则直线x=1^是“X）图像的一条对称轴，故C正确;

/、1(c兀)1「八-1-7171_71

y=/(G%)=—cos2刃1+—+一,当xe［0,兀J时,2Gx+一£—,2g兀+一

216)2666

若函数y=>0）在［0,兀］上单调递减，则有2。兀+巴W兀，

解得则0,三,故D错误.

112」

故选：AC

11.已知正项数列｛q,｝的前〃项和为"，q=1,且2(S“+S"_J=a；+l(〃N2),„GN*.^=-----

anan+\

（为｛〃｝的前〃项和.下列说法正确的是（）

A.〃2=2B.%=(一1)〃

C.an=2H-1D.7；,<|

【答案】CD

【解析】2(5〃+S“_J=片+1(〃>2),an>Q,

可得〃=2时，2(l+〃2+1)=d+1，解得。2=3,故A错误，

当〃23时,由2⑸+SQ=d+l,可得2(SI+S〃_2)=〃3+1，

上面两式相减可得2(a“+a,t)=a；=&+%)(a“-%)，

由于。+。〃_1工0,所以4一〃1=2,

而。2—%=2,则。〃=4+2(〃-2)=3+2(〃-1)=2〃一1,首项也符合,

所以为=2几—1,〃£N*.故B错误，C正确,

___()

ctnan+x(2n-l)(2n+l)22n—l2〃+1

=-L(i-ll-11

+—F...+------------------)=­(1---------)<-.D正确,

23352n-l2n+l22n+l2

故选：CD

12.如图所示的六面体中，SA,SB,SC两两垂直，ST连线经过三角形ABC的重心M,且

SM=>0),则()

A.若％=,，则TC,平面

2

B.若2=2,贝！JSA〃平面TBC

C.若5,43,0,7五点均在同一球面上，则2=工

2

D.若点T恰为三棱锥S-ABC外接球的球心，则4=2

【答案】BCD

【解析】因为六面体中，SA,SB,SC两两垂直，ST连线经过三角形ABC的重心M,

所以可以将六面体放在长方体中，点T在对角线SN上运动，

以S为坐标原点，S3,SC,S4所在直线分别为x,%z轴，建立空间直角坐标系，

设SB=m,SC=n.SA=t,

则A(0,0,,C(0,H,0),B(m,0,0),

设3C的中点尸，连接A尸，与SN交于点M,且=

mn

设M(q,w,e),由加=可2/得(q,w,e—2(掌；,

3D\NN

解得qw=,故Af,SM=—SN,

3331333J3

此时TC=(0,n,0)-(m,n,t^=(-m,0,-?),TA==(-m,-n,0),

由于无.瓶=(-m,0,V〉(-巩-〃,0)=疗wo,故TC,7X不垂直,

故TC与平面ALB不垂直，A错误;

B选项，若2=2,即丽=2而，此时点T为对角线SN的中点，此时T

设平面TBC的法向量为j=(x,y,z),

j-CB=(x,y,z)•(机，—〃，0)=mx-ny=0

解得z=0,令X=〃，则丁=加，故）=（冬m,0）,

又丽=(o,oj),故］.丽=(〃,肛o>(o,oj)=o,

故），丽，所以SA〃平面：EBC,B正确；

C选项，由于长方体的顶点在同一球面上，若5,43,0,7五点均在同一球面上，

则点T一定在点N处，此时4=,，C正确；

2

D选项，三棱锥S-ABC的外接球即为长方体SN的外接球，

若点T恰为三棱锥S-ABC外接球的球心，则点T为对角线SN的中点，

所以4=2,D正确.

故选：BCD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知非零向量2,B，之满足问=忖，c=1a,若之为很在£上的投影向量，则向量B夹角的余

弦值为________

【答案】|

3

b

【解析】由°=！。，"为B在£上的投影向量，c=；a=Wcos（a,B>^=hCOS（a,B）a=cos（a,a

所以:a=cos（a,6）a,故cos（a,6）=j

故答案为：—

3

14.（必+1）（》一2）4展开式中V项的系数为.

【答案】8

【解析】由题意可知：（x—2）4展开式的通项公式为&]=C[xA.（—2）',=0,1,2,3,4,

所以（3+l）（x-2）4展开式中用项的系数为C：x（―2?+C：x（―2）=16—8=8.

故答案为：8.

15.已知直线丁=左％与丁=自%（占>左2）是曲线y=。％+2111忖（0€11）的两条切线，则尢一左2=

4

【答案】一

【解析】由已知得，曲线的切线过(0,0),

x>0时，曲线为y=ax+21nx,设玉>0,直线y=在曲线上的切点为(和。占+21nxJ,y'=a+~-,

(2)

切线：y—(〃玉+21nxJ=a+—(%-石)，又切线过(0,0)

IxiJ

(212

-axx-2]nx1=QH——(一七)，・・・石=0,kx=a+—,

I\)e

同理取光<0,曲线为y=〃％+21n(—x),设％<0,直线y二心％在曲线上的切点为+2皿-%2)),

,2

y=〃+一，

(2)

切线：y-(tzx2+21n(-x2))=〃+—(x-x2),又切线过(0,0)

IX2)

24

x?——e,k2=a—,:・k、_k?=_,

ee

4

故答案为：一

e

16.已知椭圆C:二+V=i的左、右焦点分别为耳，F,M是C上异于顶点的一点，。为坐标原点，E

472

为线段儿嵋的中点，/K”用的平分线与直线EO交于点尸，当四边形8的面积为20时，

sinZMF^=.

因为M尸平分/耳叫，所以尸到〃耳，的距离相等，

设为3则%%=；（眼周+|班|）"=26

易知0E是△耳烟的中位线，延长耳P,〃鸟交于点G,则P为片G的中点,

过耳作于”,

易得闺叫=2/?=|耳闻sin/g%则与”乃=2百sin/M鸟耳=2后，从而sin/峥耳=乎.

故答案为：逅

3

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在口ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=。（百sinC+cosC）.

(2)已知3C=2g，。为边AB上的一点，若3。=1,ZACD=-,求AC的长.

2

【答案】(1)3=乌.(2)AC=—.

62

【解析】(1)a=b(百sinC+cosC),根据正弦定理得，sinA=sin5(百sinC+cosC),

即sinBcosC+cosBsinC=V3sinBsinC+sinBcosC，

所以cos5sinC=V3sinBsinC，因为sinC>0，

所以cosB=拒sinB，所以tanB=——，

3

因为5£（0,兀），所以3哈

⑵因为g=25BD=L八，根据余弦定理得

CD-=BC"+BD2-2BCBDcosB=l+12-2xlx2y/3=7，CD=y/l.

2

71

NBDC=—+ZA,/.sinZBDC=sin—+ZA=cosA.

22

BCCD.2百=也

在口。。中，由正弦定理知,

3sinNBDC—sin/B''*cosA-

2

，cosA=理，所以sinA=¥

.4sinA2GCD._V21

・・tanA=-------=---，••AC=---

cosA3AC2

18.如图，三棱锥尸―ABC的平面展开图中，AB1BC,RB=AB=瓜P2A=AC=4,片。=2行,

E为EA的中点.

(1)在三棱锥尸—ABC中，证明：BE1AC；

(2)求平面P6C与平面ABC夹角的余弦值.

V165

【答案】(1)证明见解析

33

【解析】(1)

由68=48=指，得PB=AB=娓，且E为PA的中点,

所以

取4c中点为尸，连接E尸，BF，

pcI-

可得EE=——=72,

2

在APBA中，BE=^AB2-AE2=V2，

Ar

在口ABC中，BF=—=2,

2

所以BE2+FE2=Bp2,

所以5ELEF

因为ERnPA=E,EF,PAu平面PAC,

所以BE，平面PAC,

因为ACu平面PAC,

所以5E1AC；

(2)如图，过点E作EGLP4,交AC于点G,

以西，EA-而分别为了轴，，轴，z轴正方向建立空间直角坐标系.

则E(0,0,0),4(020),3(0,0,扬,P(0,-2,0),

在口ABC中，可得点C到/%距离为J7，

故可得c(J7,-1,0),

AB=(0,-2,V2),5C=(V7,-1,-V2),丽=(0,2,0)

设平面ABC与平面PBC的一个法向量分别为々,n2=(x2,y2,z2),

平面PBC与平面ABC的夹角为氏

nA-AB=-2y1+42Z1=0377r-

由＜———►i—1—,y,=1=>x=----,4=72，

n1-BC=V7x1-^-72^=07

所以=,1,V2,

7

n-PB=2y2

2+V2Z2=0，取为=Tn%=*，22="

由<

n2-BC=V7%2-%-V2Z2=0

网「・一〃2I—7

所以3"巾=疝x后

33

7

-时马

所以帆=^-,-l,V2

所以两平面的夹角的余弦值为翅更.

33

19.已知数列｛4｝是各项都为正整数的等比数列，q=3,且%是出与1%的等差中项，数列也｝满足

4=1也+i=22+1.

（1）求数列｛an｝,｛bn｝的通项公式；

b+5

（2）若左•七一一428〃+2左—24对任意“eN*恒成立，求实数左的取值范围.

【答案】（1）%=3X2"Lbn=T-l-,（2）[4,+a））.

【解析】⑴设数列｛%｝的公比为心则”N*,

33

。3是％与的等差中项，2%=%+a“4，

32

：.2q=l+-（f,解得q=2或q=w（舍去），.•.4=3X2"T

.••%=2舟+1,，%+1=2出+1）,

又4+1=2,.•.数例]｛4+1｝是以2为首项,2为公比的等比数列,

.•也+1=2",也=2"—1；

b+5

（2）由左,一-----凡28〃+2k—24,

2

整理可得左（2"T+2）—3x2"T28（〃一3）+2左，即（左一3>2'i28（〃一3）,

r对任意〃£N*恒成立，

162

令/(〃)=M,则仆+1)-/(〃)=云n-3（〃一2）一2（〃一3）4-n

n+12角

乙/2〃2

・•.当“W4时，/(n+l)>/(n),当“25时，/(n+l)</(n),

.•.当〃=4或5时，/(〃)取得最大值，

"4)=16

一“一^之3一1.解得人

1616

故实数上的取值范围是［4,+8).

20.某中学有A,2两个餐厅为老师与学生们提供午餐与晚餐服务，王同学、张老师两人每天午餐和晚餐都

在学校就餐，近一个月(30天)选择餐厅就餐情况统计如下：

选择餐厅情况(午餐，晚餐)（AA）（AB）(B，A)(B，B)

王同学9天6天12天3天

张老师6天6天6天12天

假设王同学、张老师选择餐厅相互独立，用频率估计概率.

(1)估计一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的概率；

(2)记X为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望E(X)；

(3)假设M表示事件“A餐厅推出优惠套餐”，N表示事件“某学生去A餐厅就餐”，P(M)>0,已知推出

优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证

明.

【答案】(1)0,6(2)分布列见解析，L9(3)证明见解析

【解析】(1)设事件C为“一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐”，

因为30天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的天数为6+12=18,

1Q

所以尸(C)=%=0.6.

(2)记X为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数，

则X的所有可能取值为1和2,

所以P(X=1)=0.3X0.2+0.1X0.4=0.1,

p(X=2)=1-P(X=1)=0.9,

所以X的分布列为

X12

P0.10.9

所以X的数学期望E（X）=lxO.l+2xO.9=1.9.

P(NM)P(NM)_P[N)-P(NM)

（3）由题知尸（N|“）〉尸（N|町，所以

P(M)P(M)-l-P(M)

所以P（NM）＞P（N〉P（M）,

所以P（NM）-P（N）P（NM）＞P（N＞P（M）_P（N）P（NM）,

BPP（W）-P（2V）＞P（^）-P（2W）,

P（NM）P（NM）..

所以为:〉书）即P（〃|N）＞P

21.如图，在平面直角坐标系xOy中，歹为X轴正半轴上的一个动点.以厂为焦点、。为顶点作抛物线

C:y2=2px（p＞0）.设尸为第一象限内抛物线C上的一点，。为％轴负半轴上一点，设。（一。,0）,使得P。

为抛物线。的切线，且|尸。|=2.圆G、。2均与直线0P切于点尸，且均与无轴相切.

（1）试求出WP之间的关系;

（2）是否存在点歹，使圆C1与。2的面积之和取到最小值.若存在，求出点歹的坐标；若不存在，请说明

理由.

【答案】（1）4a2+2pa=4-（2）存在,

【解析】（1）由条件抛物线C：丁2=2内（2〉0）,点。（一。,0）（。〉0）,

设:%=加丁一。（加＞0）,将其与抛物线C的方程联立，消去尤得9—2pmy+2pa=0.①

因为PQ与抛物线C切于点尸，所以，方程①的判别式为A=4/m2—4x2pa=0,解得m=，藁.

进而，点、P（a,12pa）.故|尸@=J1+苏|丹_。|=J+但J2pa=个4a2+2pa.

由|「。|=2,则4a?+2pa=4.4tz2+2pa=4.

（2）设G、G的圆心分别为。1（和%）、Q（/，%）.

注意到，0P与G、。2圆切于点P故

设圆G、G与X轴分别切于M、N,如图所示:

则。。1、。。2分别为NPOM、NPON的角平分线，故10M=|。0,|QN|=