2023-2024学年湖南省三湘名校教育联盟高二年级上册期中数学试卷及答案

三湘名校教育联盟・2023年下学期高二期中联考

数学

本试卷共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.设集合2={%€2卜+4）（》—3）＜。},5={xb=k）g2（|x|—2）},则（Q8）nz=

A.[-2,2]

C.{-2,-1,0,1,2}D.0

2.已知复数z的共轨复数I满足I（2+i）=l-i,则z在复平面内对应的点位于

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

22

3.已知双曲线C：4—二=1（。〉0力〉0）的焦距为4石，实轴长为4,则C的渐近线方程为

ab

…±2、Bj=±瓜C.y=±iXDj=±gx

4.已知数列{%}中，%=3,an=1——2）,则%）23等于

an-\

112

A.------B.—C.一D.3

233

5.已知片（西,必），£（马,当）是直线V=+2023（左为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组

xx+yy=l,

1i的解的情况，下列说法正确的是

x2x+y2y=l

A.无论左，P」巴如何，总是无解

B.无论左，右，与如何，总有唯一解

x=1

C.存在左，Px,使〈是方程组的一组解

〔歹=2

D.存在左，Px,P2,使之有无穷多解

6.已知正方体4BCD-481GA的棱长为2,球。是正方体的内切球，点G是内切球。表面上的一个动点,

则痂•比的取值范围为

A.[0,4]B.[2-2V2,0]

C.〔4,2+2夜]D12-2后,2+2及]

7.已知定义域为R的函数/⑴满足/(x)=—/(—x),当王,》2e(—°0,。]且x尸/时，—<o

成立.若存在xe[O,l]使得/(1-办--)</(2-a)成立，则实数a的取值范围是

A.(-oo,l)B.(2V^,+co)

C.(-2-2V2,-2+2A/2)D,(1,+OO)

22

8.已知双曲线C：二-4=1(。〉0力〉0),M和N分别为实轴的右端点和虚轴的上端点，过右焦点厂的

ab

直线/交。的右支于4,B两点.若存在直线/使得点M为的重心，则。的离心率为

A.-B.V2C.2D.V5

3

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知直线I：kx—y+2k+1=0和圆。：x~+y~=8,贝！I

A.直线/恒过定点(2,1)

B.直线/与圆。相交

C.存在上使得直线/与直线/0：x—2了+4=0平行

D.直线/被圆0截得的最短弦长为2G

10.设函数/(x)=sinox—W(0〉。)，则下列说法正确的是

A.若/(x)的最小正周期为万，则0=2

B.若0=1,则/(x)的图象关于点对称

JTA

C.若/(x)在区间0,1上单调递增，则0<0<§

713

D.若/⑺在区间[0,2句上恰有2个零点，则=“0<三

11.已知尸为抛物线£：/=2.(P〉0)的焦点，A,B,C是E上三点,且2(1,2),则下列说法正确的

是

A.当B,C,尸三点共线时，忸C的最小值为4

B.若忸q=12,设8,C中点为〃，则点M到y轴距离的最小值为6

C.若2而=正，。为坐标原点，则△80C的面积为逆

2

D.当AB1AC时，点A到直线BC的距离的最大值为4J5

12.已知正方体48CD-451GA的棱长为1,E为线段81c的中点，点尸和点尸分别满足用=2方

D[P=ND[B,其中4〃e[0,1],则下列说法正确的是

A.APL平面AEC

B.AP与平面BDDXBX所成角的取值范围为[45°,60°]

5万

C.PE+PF的最小值为一

6

D.点P到直线B.C的距离的最小值为PE=—

16

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知圆C过点。(0,0),且与直线x+y+4=0相切，则满足要求的面积最小的圆C的标准方程为.

..(7113r,sin2a+2sin2a生,+“

14.已知sm—+a=—，贝！J-----------------的值为

(4)51+tana

15.己知三棱柱4BC-481G的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为G，AB=2,

AC=1,^BAC=60°,则此球的体积为.

22

三+4=1有相同的焦点大,

16.如图，椭圆G：—7+-T=1(%>by〉0)和C2:耳，离心率分别为,，%,

a\b；a2

5为椭圆。的上顶点，F,P工RP,此,B,尸三点共线且垂足尸在椭圆C,上，则且的最大值是.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

17.(本小题满分10分)

在平面直角坐标系中，存在四点/(0,1),3(7,0),C(4,9),£>(1,3).

(1)求过B,。三点的圆M的方程，并判断。点与圆M的位置关系；

(2)若过。点的直线/被圆/截得的弦长为8,求直线/的方程.

18.(本小题满分12分)

长沙市某中学近几年加大了对学生奥赛的培训，为了选择培训的对象，2023年5月该中学进行一次数学竞赛,

从参加竞赛的同学中，选取50名同学将其成绩(百分制，均为整数)分成六组：第1组［40,50),第2组

［50,60),第3组［60,70),第4组［70,80),第5组［80,90),第6组［90,100］,得到频率分布直方图(如

图)，观察图中信息，回答下列问题：

(1)根据频率分布直方图，估计本次考试成绩的平均数和第71百分位数(同一组中的数据用该组区间的中点

值作代表)；

(2)已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀等级，若从成绩在

第5组和第6组的学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少有1人成绩优秀的概率.

已知a,b,c分别为△4SC三个内角Z,B,C的对边，且bcosC+GbsinC-a-c=0.

(1)求角5；

(2)若点。满足27万=反，且AD=1,求△4BC的面积的最大值.

20.(本小题满分12分)

如图，四棱锥尸—N5CD的底面Z5CD是平行四边形，^ABP=90°,AB=BP=2,点。在平面Z8P

内的投影/是48的中点，£是尸C的中点.

(1)证明：EE〃平面400；

(2)若尸。=3,求二面角。—跖—尸的正弦值.

21.(本小题满分12分)

已知函数/(X)=一e",g(x)=lux.

(1)求函数g[2—x—6)的单调递增区间;

(2)若对任意々e-,e,存在X]e(-叫0),使得/(xjwg(》2)，求实数a的取值范围;

e

(3)若函数/(x)=/(x)+/(—x),求函数尸(x)的零点个数.

22.(本小题满分12分)

22

椭圆E：\+1~=1的左、右焦点分别为片，鸟.过片作直线4交E于Z,8两点.过鸟作垂直于直线4的

直线，2交£于C，。两点.直线4与人相交于点尸•

(1)求点尸的轨迹方程；

(2)求四边形NCAD面积的取值范围.

三湘名校教育联盟・2023年下学期高二期中联考•数学

参考答案、提示及评分细则

1.【答案】c

【解析】因为^={XGZ|（X+4）（X-3）<0}={-3,-2,-1,0,1,2},又

5=卜卜=睡2（忖—2）}={x|x〉2或x<—2},^B={x\-2„x„2},所以他8）口幺={—2,—1,0,1,2},故

选C.

2.【答案】A

_1（l-i）（2-i）_13所以z=』+3i,对应点为3],在

【解析】由2（2+i）=l—i可得2=—-----------------------I

2+1（2+i）（2-i）5555（55J

第一象限.故选A.

3.【答案】C

【解析】由已知得，双曲线的焦点在y轴上，双曲线的焦距2c=4石，解得。=2君,

双曲线的实轴长为2。=4,解得。=2,则6=，。2一〃=逝0—4=4,

即双曲线C的渐近线方程为j=+-x=±-x.故选C.

b2

4.【答案】D

5.【答案】B

v=kx.+2023,/、/、/、

【解析】由题意《y

则占%一%2%=再（丘2+2023）-X2（kyx+2023）=2023（玉一马）。°，

y2—kx2+2023,

（直线y=自+2023的斜率存在，，玉w/），故4：MX+必歹=1与4：X2X+%V=1相交，・,•方程组总

有唯一解.A,D错误，B正确；

x=]x+2v=]

若｛二：是方程组的一组解，则;+2]；则点片（xQi），6（/，%）在直线%+2^=1，即

、V、2>29

11X=]

y=——X+—上，但已知这两个点在直线y二自+2023上，这两条直线不是同一条直线，・・・〈~'不可能是

22"[y=2

方程组的一组解，C错误.故选B.

6.【答案】D

【解析】取5c中点为X,因为砺=曲+屉，GC=GH+HC,

-----►------►------►2------k2------*2

所以GBGC=GH-HC=GH-1,

-------►►►-------►2*2*2------***

又GH=GO+OH,贝UGH=GO+OH+2GOOH,又正方体的棱长为2,则正方体的内切球半径为

1,贝"血|=1,|OH|=V2,所以甫2=3+2行cos（血,而），

所以丽沅=丽2-l=2+2":os®W

所以当诙，而反向时，cos（GO,OH\=-l,历•元有最小值为2—2后；

当GO,两同向时，cos（GO,OH\=l,赤•元有最大值为2+2J5.故选D.

7.【答案】D

【解析】由条件可知函数/（x）在R上单调递减.存在xe[0,1]使得f（l-ax-x2）</（2-a）成立等价于存

在X£[0,1]使得不等式1一〃工一工2〉2-Q成立.由1一。%一x2〉2-。得（1-X）Q〉+1,X£[0,1],

丫2+1+1

1—"0,.•.①当x=l时，0〉2不成立②当xe[0,l）时，a>--有解.求当xe[0,1）时，函数y=--

1X1X

的最小值.

«/nIX2+1（1—Z）2+12

令彳=1_%«£（0,1]）,则,=-----=----------=t-\------2,

1Xtt

2

而函数3；=，+：—2是（0,1]上的减函数，所以当且仅当，=1,即x=0时，ymin=l.

故。〉1,故选D.

8.【答案】A

【解析】依题意，M（a,0）,N（0,b）.点河为△N48的重心时，48中点尸1+，—g]设3（XQJ,

22V2V2A2b

2（々/2）,则彳-今=1与—q=1.两式作差得：原4•七尸=彳•其中，.又因为B,A,

aba3a

22

12z

做3-bb4

F,尸四点共线，所以演4=与尸九---二一T，解得3c=4。，故e=—.故选A.

c2c一2

23aa3

9.【答案】BD

【解析】对于A,由Ax-y+2左+1=0可得，左（％+2）—》+1=0,令％+2=0,即％=—2,此时y=l,

所以直线/恒过定点（-2,1）,A错误；

对于B,因为定点（-2,1）到圆心的距离为"71=6<2/，所以定点（-2,1）在圆内，所以直线/与圆。相

交，B正确;

对于C,因为直线/o：X—2y+4=o的斜率为:，所以直线/的斜率为g,此时直线/的方程为

x—2y+4=0,直线/与直线/(,重合，故C错误；对于D,设直线/恒过定点2(—2,1),圆心到直线/的最大

距离为=君，此时直线/被圆。截得的弦长最短为2/。=26，D正确；故选BD.

10.【答案】AD

2TC

【解析】对于A,若/(x)的最小正周期为万，则』=乃，解得0=2,故A正确；

G)

对于B,若刃=1,则/⑴=sin(x-小，x=g时，/(x)=sin=1,故B错误；

71717171371

对于C,xe0,—时什，COX-------G因为/(X)在0,-上单调递增，则

L26~6^~~6

兀冗①兀71&刀/曰八4,,A4+'D

—<-------„一，角牛倚0<@,一，故C车日陕；

62623

对于D,xe[0,2〃]时，a)x-^e,若/(x)在[0,2句上恰有2个零点，

则71„171(0一工<2万，解得一„a><一，故D正确.故选AD.

61212

11.【答案】ACD

【解析】依题意，p=2.

对于A选项，当8,C,尸三点共线时，8c为焦点弦.通径(垂直于对称轴的焦点弦)最短，最短为22，

故A正确；

对于B选项，忸/|+|。刊…忸C|=12(当且仅当8,C,尸三点共线时等号成立)，即/+%+2…12,故

xM...5,所以点M到y轴距离的最小值为5,B错误；

对于C选项，依题意，8c为焦点弦且2忸刊=|CF].不妨设直线5c的倾斜角a为锐角，则

I2a/Q-

忸冏=—2—,\CF\=—2—,解得cosa=—,故5="—=上，故C正确；

1+cosa1-C0S6Z32sina2

对于D选项，设直线BC：x=my+n,5(%,必)，C(x2?y2),与抛物线方程联立，得：

22

y2-4my-4〃=0.由韦达定理有：%+8=4掰，%%=-4〃.依题意—-----....=-1.即

xx-\x2-1

(必一2)(%—2)+(加必+〃一l)(m%+〃-1)=0,整理得：

[nr+1)必为+(祖〃-机-2)(%+%)+(〃-1)2+4=0.代入韦达定理可得：(〃-3y=4(m+l)2,解得

n=±2(m+l)+3,其中〃=2(m+1)+3时，直线过定点(5,-2),〃=一2(掰+1)+3时，直线过点N,不符

合题意，故直线8C过定点尸(5,-2),点/到直线8C的距离最大值为MP|=4JLD正确.故选ACD.

12.【答案】ACD

【解析】对于A选项，平面NEC即为平面481C,易知A正确；

对于选项B：如图，连接ZC交5。于点。，连接。尸，知幺。,平面8。。]与，所以NZ尸。即为4P与面

V2

BDQBi所成角，所以sin/4Po="=工,由尸在上知AP^—,41,所以

APAP

1~\

smZAPOe,因为N4POe(0°,90°),所以/ZPO的范围是[30°,60°],即直线/尸与平面

8。2g所成角的范围是[30°,60°],故B错误；

对于C项，把问题转化为在平面48GA内求点尸使得尸£+尸尸最小，如图，作点£关于线段AB的对称点

耳，过点E1作RG，48的垂线，垂足分别为尸和笈，

D.FC,

I'、'、/"/

1/2

则尸£+尸匠..凡尸，设NE[BA=e,则sine=sin(//8£>]—=—E.H=BE^mO=—,

2

对于D项，当〃=§时，尸£平面4SC且4,尸，£三点共线.此时尸£，与。，PE1BD.,即此时尸到

直线5c的距离最小，最小值为工2£=逅.故选ACD.

36

13.【答案】（n+厅+什+以=2

【解析】过。作直线x+y+4=0的垂线，垂足为2.

当。4为直径时，圆C的面积最小.

4

=2A/2,

。到直线x+y+4=0的距离d=正

可知半径子=正，圆心（。力）在直线x—了=0上，且/+〃=2,

解得a=—1,b=-l,所求圆的方程为（x+iy+（y+l）2=2.

7

14.【答案】--

25

（冗\337

【解析】由sin—+[=一,得——（cosa+sini）=一,两边平方得2sinacos。=----.

UJ52v7525

2

LC、Isin2a+2sin2。2sintzcos6r+2sin^z2sinacoso(cos。+sina)7

所以--------------二----------；-----------二-------------——；------------二2smacos。=----.

1+tana]।smacosa+sina25

cosa

872

15.【答案】--------71

【解析】由已知该三棱柱是直三棱柱，且底面是直角三角形，NACB=90。,设。，j分别是48,AR

1J3

的中点，。是。j中点，则。就是三棱柱外接球球心，5^=-x2xlxsin60°=—,

12Ac2

v=Sh=RxDD[=5即DD[=2,OA=^AD2+DO-=Vl2+12=41.所以

展n»x（何=乎—

_.-\/2+1

16.【答案】----

2

C\OF\一、2c，2|。周

【解析】由图知弓=—=―4-

%I阴a22a2I尸片I+1尸玛I

则宣二画业周，设NPFE=e,

£22明

则\PFX\+\PF2\=2C-(sin。+cos。),忸片|=—

—sm(20+^]+-1„1+V2

则员=(sine+cos。)•cos®=71

42I4)22

17.【解析】(1)设圆〃方程为/+/+9+或+/=0,

1+E+F=O,

把/,B,C三点坐标代入可得：<49+7。+/=0,

16+81+4D+9E+/=0,

解得£>=—8,E=-8,F=7,

所以圆M方程是丁+了2—8x—8y+7=0

把。点坐标代入可得：1+9-8-24+7<0,故。在圆M内；

(2)由⑴可知圆M：(X-4)2+(J-4)2=25,则圆心M(4,4),半径r=5,

由题意可知圆心到直线/的距离是3,

当直线/斜率存在时，设直线/方程为：y=k(x-l)+3=>kx-y+3-k=0,

|3左一1|4

所以L、3,解得左=——,故直线/的方程为4x+3y—13=0；

,1+左23

当直线/斜率不存在时，则直线/方程为：x=l,

此时圆心到直线/的距离是3,符合题意.

综上所述，直线/的方程为4x+3y—13=0或x=l.

18.【解析】（1）x=45x0.1+55x0.26+65x0.2+75x0.3+85x0.08+95x0.06=66.8,

所以本次考试成绩的平均分约为66.8；

因为成绩在［40,70）的频率为（0.01+0.026+0.02）x10=0.56,

成绩在［40,80）的频率为0.56+0.03x10=0.86,

所以第71百分位数位于［70,80）,

设其为x,则0.56+（x—70）x0.03=0.71,

解得x=75,所以第71百分位数为75；

（2）第5组的人数为：50x0.008x10=4人，可记为Z,B,C,D；

第6组的人数为：50x0.006x10=3A,可记为a,b,c；

则从中任取2人，有（45），（4。），（4。），（4。），（4»,（4c），（5,C）,（B,D）,（B,a）,

（B,b）,（民c）,（C,£>）,（C,a）,（C,c）,,（a,b）,（a,c）,（b,c）,

共21种情况，

其中至少有1人成绩优秀的情况有（4。），（，力）,（4e），（B,a）,（C,a）,（C,b）,

（C,c）（£>,a）,（D,b）,（Z）,c）,（a,6）,（a,c）,（“c）,共15种情况.

所以至少有1人成绩优秀的概率尸="=3.

217

19.【解析】（1）由正弦定理可得：sinBcosC+V3sin5sinC-sin-sinC=0

又在三角形48C中，siib4=sin（5+C）,

siriScosC+V3sinSsinC-sin（5+C）-sinC=0,

V3sin5sinC-cos5sinC-sinC=0,

又在三角形ZBC中，sinC>0,

V3sin5-cosB=1,sin||—

I6j2

・・・B£（0,〃），:.Bq：

［____i____i__o

（2）由2石=皮，可得而=成+屈=加+±%=限+±（数一方）=上瑟+4或，

33、'33

_____*21---*14—*24—*—*

两边平方可得AD=-BC+-BA+-BCBA,

999

,1244c

即arI1=—a~H—c~2H—accosB,

999

所以9=/+4。2+2ac.6ac,当且仅当a=2c时取"=

所以ac”7，所以S^ABC=_acsinS”——.

22o

所以△ZBC的面积的最大值为述.

8

20.【解析】(1)证明：取。尸的中点G,连接EG,GA

V四边形4BC。为平行四边形，AB//CD,

；F为AB中点，；.AF〃CD,且以制

：G为。尸中点，E为CP中点，

.•.EG为△CQ尸的中位线，EG〃CD,且忸6|=；|。。|,

即4F〃EG,且斤|=|EG|*

故四边形4FEG是平行四边形，£尸〃ZG,

又/Gu平面4a?,斯仁平面4ap,

EF//平面ADP；

(2)取CD中点N,连接BN,•.,点。在平面4B尸内的投影为尸，

/.DF1平面ABP.

•：PF=yjFB-+BP"=A/12+22=45,DP=3

：.DF=dDP?-PF?=79^5=2,

,:BN工CD,则5N=£＞尸=2,

由于氏4,BN,AP两两垂直，则可以点5为坐标原点建系，以氏4为x轴，AP为y轴，5N为2轴,

c

E

ft

Py

则有5（0,0,0）,^（2,0,0）,尸（0,2,0）,F（1,0,0）,£>（1,0,2）,

则市=1-1,1,-1）丽=[，TT：丽=（T2,0）,

设平面。£厂的法向量为々二（再,必,zj,

一3

\DE-nx=0,-5西+%一10,

则—J即〈z

跖4=0,2___

L2不必句一5

令必=3,贝!J再=2,Z]=0,故々=（2,3,0）,

设平面尸£尸的法向量为%=（%2，%，Z2），

3

~X2一%—2=0,

2

FP-n-0,

2、一々+2%-0,

令为=1,贝!JX2=2,z2=2,故%=（2,1,2）,

4+3_7回

cos（〃i，〃2

设二面角。—£F—尸的平面角为9,则sin8二

故二面角。-£尸-尸的正弦值为------.

39

21.【解析】（1）由％2一、一6〉0得：％<-2或x〉3,

即g（V—X_6）的定义域为｛x|x<-2或X〉3卜

令加=%2-%-6,y=ln加在