集合的概念与运算补充部分

集合的概念与运算补充部分目录CONTENTS集合的基本概念集合的运算集合的运算律与性质集合的等价与划分集合的序关系与偏序集集合的基数与可数性01集合的基本概念集合的定义集合是具有某种特定性质的事物的总体，构成集合的事物称为该集合的元素。集合的表示方法集合通常用大写字母A、B、C等表示，元素用小写字母a、b、c等表示。如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A；如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a∉A。集合的定义与表示如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A。如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a∉A。元素与集合的关系不属于关系属于关系有限集含有有限个元素的集合叫做有限集。无限集含有无限个元素的集合叫做无限集。空集不含任何元素的集合叫做空集，记作∅。集合的分类03020102集合的运算交换律A∪B=B∪A。并集的定义对于任意两个集合A和B，由所有属于A或属于B的元素组成的集合称为A与B的并集，记作A∪B。结合律(A∪B)∪C=A∪(B∪C)。吸收律A∪(A∩B)=A。幂等律A∪A=A。并集及其性质吸收律A∩(A∪B)=A。幂等律A∩A=A。结合律(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。交集的定义对于任意两个集合A和B，由所有既属于A又属于B的元素组成的集合称为A与B的交集，记作A∩B。交换律A∩B=B∩A。交集及其性质对于任意两个集合A和B，由所有属于A但不属于B的元素组成的集合称为A与B的差集，记作A−B。差集的定义不对称性空集的性质幂等律的特例一般情况下，A−B≠B−A。对于任意集合A，有A−∅=A。当且仅当A和B不相交时，有(A−B)−B=A−B。差集及其性质唯一性在全集U中，每个子集都有唯一的补集。德摩根定律(¬A)∪(¬B)=¬(A∩B)，(¬A)∩(¬B)=¬(A∪B)。对偶性¬(¬A)=A。补集的定义设U是一个全集，对于U中的任意子集A，由U中所有不属于A的元素组成的集合称为A的补集，记作¬A或U−A。补集及其性质03集合的运算律与性质交换律与结合律交换律对于任意两个集合A和B，有A∪B=B∪A，A∩B=B∩A。即并集和交集运算满足交换律。结合律对于任意三个集合A、B和C，有(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。即并集和交集运算满足结合律。对于任意三个集合A、B和C，有A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)，A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)。即并集对交集、交集对并集满足分配律。分配律对于任意两个集合A和B，如果A⊆B，则有A∪B=B，A∩B=A。即并集和交集运算满足吸收律。吸收律分配律与吸收律德摩根定律04集合的等价与划分123设$R$是非空集合$A$上的二元关系，如果$R$是自反的、对称的和传递的，则称$R$是$A$上的等价关系。等价关系定义设$R$是集合$A$上的等价关系，对于任意$xinA$，集合$[x]_R={yinA|xRy}$称为元素$x$形成的$R$-等价类。等价类定义$A$中的元素$x$和$y$属于同一等价类当且仅当$xRy$；不同的等价类之间没有交集；所有等价类的并集等于原集合$A$。等价类的性质等价关系与等价类划分与商集设$R$是集合$A$上的等价关系，由$R$确定的所有等价类构成的集合称为$A$关于$R$的商集，记作$A/R$。商集的定义集合的一个划分确定一个等价关系，反之，一个等价关系也确定集合的一个划分；商集就是由这个等价关系确定的划分。划分与商集的关系等价关系与划分是相互对应的01给定集合上的一个等价关系，可以构造出一个划分；反之，给定一个划分也可以构造出一个等价关系。等价关系的性质决定了划分的特性02自反性保证了划分的每个子集非空；对称性保证了划分的子集两两不相交；传递性保证了划分的完整性，即所有子集的并集等于原集合。划分是等价关系的直观表现03划分中的每个子集就是一个等价类，而整个划分就是原集合关于某个等价关系的商集。等价关系与划分的联系05集合的序关系与偏序集传递性对于任意x,y,z∈A，如果x≤y且y≤z，则x≤z。序关系的定义设R是非空集合A上的二元关系，如果R是自反的、反对称的和传递的，则称R是A上的偏序关系，记作“≤”。自反性对于任意x∈A，有x≤x；反对称性对于任意x,y∈A，如果x≤y且y≤x，则x=y；序关系的定义与性质全序集设(A,≤)是一个偏序集，如果对于任意x,y∈A，都有x≤y或y≤x成立，则称(A,≤)是一个全序集。偏序集与全序集的关系全序集一定是偏序集，但偏序集不一定是全序集。偏序集设A是一个非空集合，若在A上定义了一个偏序关系“≤”，则称(A,≤)是一个偏序集。偏序集与全序集0102哈斯图定义哈斯图是用来表示偏序关系的一种图形表示方法。在哈斯图中，每个元素用平面上的一个点表示，如果元素x小于元素y（即x<y），则在图中从点x到点y画一条上升的有向边。确定元素的排列顺序将元素按照从小到大的顺序排列；画出元素对应的点在平面上为每个元素画一个点；连接相关元素对于每一对具有偏序关系的元素x和y（即x<y），在图中从点x到点y画一条上升的有向边。简化图形去除多余的边和点，使得图形更加简洁明了。030405哈斯图及其画法06集合的基数与可数性基数的定义与性质基数是一个描述集合中元素“数量”的概念。对于有限集，基数就是集合中元素的个数；对于无限集，基数则是一种抽象的“大小”度量。02任意两个集合，如果它们之间存在一个双射，那么这两个集合的基数相等。03基数具有传递性，即如果集合A的基数等于集合B的基数，集合B的基数等于集合C的基数，那么集合A的基数也等于集合C的基数。01可数集能与自然数集N建立双射的集合称为可数集。可数集可以是有限集，也可以是无限集。例如，整数集Z、有理数集Q都是可数集。不可数集不能与自然数集N建立双射的集合称为不可数集。实数集R是一个典型的不可数集。可数集与不可数集连续统假设是数学中的一个著名问题，由德国数学家康托尔提出。它探讨的是实数集的基数与可数集的基数之间的关系