高等数学(微积分)课件-83偏导数与全微分

高等数学(微积分)课件-83偏导数与全微分目录contents偏导数概念与性质全微分概念与性质偏导数与全微分关系探讨多元函数极值问题求解方法偏导数与全微分在经济领域应用举例课程总结与回顾01偏导数概念与性质偏导数定义设函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的某一邻域内有定义，当$y$固定在$y_0$而$x$在$x_0$处有增量$Deltax$时，相应地函数有增量$f(x_0+Deltax,y_0)-f(x_0,y_0)$。如果$lim_{Deltaxto0}frac{f(x_0+Deltax,y_0)-f(x_0,y_0)}{Deltax}$存在，则称此极限为函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处对$x$的偏导数，记作$frac{partialz}{partialx}|_{(x=x_0,y=y_0)}$或$f'_x(x_0,y_0)$。几何意义偏导数$frac{partialz}{partialx}|_{(x=x_0,y=y_0)}$的几何意义表示曲面$z=f(x,y)$在点$M(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$处的切线与$x$轴正向的夹角的余弦。偏导数定义及几何意义如果函数$z=f(x,y)$在区域$D$内的每一点处对$x$的偏导数都存在，那么这个偏导数就是$x$的函数，它就称为函数$z=f(x,y)$对自变量$x$的偏导函数，记作$frac{partialz}{partialx}$、$frac{partialf}{partialx}$、$frac{partial}{partialx}z$、$frac{partial}{partialx}f$或$f'_x(x,y)$。偏导数存在且连续，则函数可微；函数可微，则偏导数存在；函数可微，则函数连续；函数连续，则极限存在；极限存在，则函数在该点有界。偏导数存在性与连续性关系如果二元函数$z=f(x,y)$的偏导数$frac{partialz}{partialx}=varphi(x,y)$仍然存在偏导数，则称$frac{partial^2z}{partialx^2}=frac{partial}{partialx}(frac{partialz}{partialx})=frac{partialvarphi}{partialx}$为二元函数$z=f(x,y)$的二阶偏导数。二元函数的二阶偏导数有四个：一是连续且偏导数连续的两个偏导数的再求导；二是二阶混合偏导数是连续的且在区域D内存在。高阶偏导数计算法则02全微分概念与性质全微分定义设函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的某邻域内有定义，若函数在点$(x_0,y_0)$处的全增量$Deltaz=f(x_0+Deltax,y_0+Deltay)-f(x_0,y_0)$可表示为$Deltaz=ADeltax+BDeltay+o(rho)$，其中$A,B$不依赖于$Deltax,Deltay$，仅与$x_0,y_0$有关，$rho=sqrt{(Deltax)^2+(Deltay)^2}$，则称函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处可微，而$ADeltax+BDeltay$称为函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处的全微分，记作$dz|_{(x=x_0,y=y_0)}$或$df(x_0,y_0)$。几何意义全微分表示的是函数在一点处的切平面上的增量，即当点$(x,y)$沿任意方向趋近于点$(x_0,y_0)$时，函数$f(x,y)$在该点的全增量与自变量增量的线性部分之比（即全微分）的极限存在。全微分定义及几何意义全微分存在条件与判别方法存在条件若函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处的偏导数$frac{partialz}{partialx}$和$frac{partialz}{partialy}$都存在且连续，则函数在该点处可微。判别方法通过计算偏导数并验证其连续性来判断函数在某点处是否可微。若偏导数存在且连续，则函数在该点处可微；否则，函数在该点处不可微。近似计算在实际问题中，当自变量的增量很小时，可以用全微分来近似计算函数的增量。即$Deltazapproxdz=frac{partialz}{partialx}Deltax+frac{partialz}{partialy}Deltay$。误差估计通过全微分可以对函数的近似计算进行误差估计。当自变量的增量很小时，全微分与函数真实增量之间的误差可以忽略不计。多元函数的极值问题在求解多元函数的极值问题时，可以通过全微分来判断函数在某点处的增减性。若在某点处全微分为零且二阶偏导数满足一定条件，则该点为函数的极值点。全微分在近似计算中应用03偏导数与全微分关系探讨01若函数在某点的全微分存在，则该点处的偏导数必定存在。偏导数存在是全微分存在的必要条件02若函数在某点的偏导数连续，则该点处的全微分存在。偏导数连续是全微分存在的充分条件03即使函数在某点的偏导数存在，但若偏导数在该点不连续，则全微分可能不存在。偏导数不连续时全微分可能不存在偏导数对全微分影响分析VS偏导数和全微分都是研究多元函数在某一点附近的变化情况，其中偏导数研究的是函数沿某一坐标轴方向的变化率，而全微分则研究的是函数在该点的整体变化率。区别偏导数仅考虑函数沿某一坐标轴方向的变化率，忽略了其他坐标轴方向的影响；而全微分则综合考虑了函数在所有坐标轴方向的变化率，给出了函数在该点的整体变化情况。联系二者之间联系和区别阐述典型例题解析求函数$z=x^2+y^2$在点$(1,1)$处的偏导数和全微分。例题1首先求出函数在$x$和$y$方向上的偏导数，得到$frac{partialz}{partialx}=2x$和$frac{partialz}{partialy}=2y$。然后将点$(1,1)$代入偏导数表达式中，得到在该点处的偏导数为$2$和$2$。最后根据全微分的定义，求出函数在该点处的全微分为$dz=2dx+2dy$。解析判断函数$f(x,y)=frac{xy}{x^2+y^2}$在原点处的偏导数和全微分是否存在。例题2首先求出函数在$x$和$y$方向上的偏导数，得到$frac{partialf}{partialx}=frac{y(y^2-x^2)}{(x^2+y^2)^2}$和$frac{partialf}{partialy}=frac{x(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^2}$。然后将原点$(0,0)$代入偏导数表达式中，发现偏导数不存在。因此，根据偏导数与全微分的关系可知，函数在原点处的全微分也不存在。解析典型例题解析04多元函数极值问题求解方法判断极值点的性质通过二阶偏导数判断极值点的性质，即判断Hessian矩阵的正定性来确定是极大值、极小值还是鞍点。求解极值将可能的极值点代入原函数，求出对应的函数值，即为无条件极值。求一阶偏导数并令其为零首先求出多元函数的一阶偏导数，并令其为零，得到可能的极值点。无条件极值求解步骤和技巧总结求一阶偏导数并令其为零求出拉格朗日函数的一阶偏导数，并令其为零，得到可能的极值点。判断极值点的有效性将可能的极值点代入原条件，检验是否满足条件，若满足则为有条件极值点。构造拉格朗日函数将有条件极值问题转化为无条件极值问题，通过构造拉格朗日函数来实现。有条件极值求解策略探讨03比较各点函数值将区间内部和边界上的所有点的函数值进行比较，找出最大值和最小值。01闭区间上连续函数的最值定理对于闭区间上的连续多元函数，其最大值和最小值一定存在，且出现在区间内部或边界上。02求一阶偏导数并令其为零求出多元函数的一阶偏导数，并令其为零，得到可能的极值点。多元函数最值问题处理方法05偏导数与全微分在经济领域应用举例生产或购买一个额外单位的产品所引起的总成本的变动。边际成本销售一个额外单位的产品所带来的总收益的变动。边际收益边际收益与边际成本之差，反映每增加一个单位销售所增加的利润。边际利润边际分析在经济学中运用需求量对价格变动的反应程度，即价格变动百分之一时，需求量变动的百分比。需求价格弹性供给价格弹性交叉弹性供给量对价格变动的反应程度，即价格变动百分之一时，供给量变动的百分比。一种商品的需求量对另一种商品价格变动的反应程度。030201弹性分析在经济学中运用最大利润问题企业在一定时期内，通过合理安排生产和销售，使得总利润达到最大的问题。最小成本问题企业在一定时期内，通过合理安排生产，使得总成本达到最小的问题。最优定价问题企业如何根据市场需求和竞争状况，制定合理的价格策略，以实现最大利润或市场份额的问题。优化问题在经济学中运用06课程总结与回顾010203偏导数的定义与计算偏导数是一元函数导数的推广，反映的是多元函数在某一点沿某一坐标轴方向的变化率。计算偏导数时，需要将其余自变量视为常数，对指定自变量求导。全微分的定义与计算全微分是多元函数微分学的重要概念，表示函数在某一点的全增量可以近似地用它的线性部分（即全微分）来代替。计算全微分时，需要将多元函数的各个偏导数乘以自变量的微分，然后求和。偏导数与全微分的关系偏导数是全微分的基础，全微分是偏导数的综合。在多元函数中，只有当函数在某一点的各个偏导数都存在时，该点才可能存在全微分。同时，全微分的存在也保证了偏导数的连续性。关键知识点梳理误区一混淆偏导数与全微分的概念。偏导数反映的是函数沿某一坐标轴方向的变化率，而全微分反映的是函数在某一点的全增量。两者概念不同，不可混淆。误区二忽视偏导数与全微分的存在条件。在求解偏导数与全微分时，需要注意函数在某一点是否满足存在条件。若不满足，则不能盲