高等数学课件D91二重积分概念

高等数学课件D91：二重积分概念CATALOGUE目录二重积分基本概念与性质二重积分计算方法与技巧多元函数与二重积分关系探讨曲线积分与曲面积分引入及关系数值计算方法在二重积分中应用实际应用问题中的二重积分求解01二重积分基本概念与性质二重积分定义设$f(x,y)$是定义在可求面积的有界闭区域D上的函数，将区域D任意分成n个小闭区域$Deltasigma_1,Deltasigma_2,...,Deltasigma_n$，其中$Deltasigma_i$表示第i个小闭区域的面积，每个小区域上取一点$(xi_i,eta_i)$，作乘积$f(xi_i,eta_i)Deltasigma_i$，并作和$sum_{i=1}^{n}f(xi_i,eta_i)Deltasigma_i$。如果当各小区域的直径中的最大值$lambdarightarrow0$时，这个和的极限总存在，则称此极限为函数$f(x,y)$在闭区域D上的二重积分，记作$iint_{D}f(x,y)dsigma$。要点一要点二几何意义当$f(x,y)geq0$时，二重积分$iint_{D}f(x,y)dsigma$表示以区域D为底，以曲面$z=f(x,y)$为顶面的柱体的体积。二重积分定义及几何意义二重积分存在条件与性质存在条件若函数$f(x,y)$在闭区域D上连续，则$f(x,y)$在D上可积。性质二重积分具有线性性、可加性、保号性、绝对值不等式等性质。123若函数$f(x,y)$在矩形区域$R=[a,b]times[c,d]$上连续，则$f(x,y)$在R上可积。若函数$f(x,y)$在闭区域D上连续，且D的边界是分段光滑的曲线，则$f(x,y)$在D上可积。对于非连续函数，只要其不连续点的集合是零面积集，则该函数在定义域内仍可能可积。平面区域上可积函数类典型例题分析与解答计算二重积分$iint_{D}xydxdy$，其中D是由直线$y=x$，$y=2x$及$x=2$所围成的闭区域。解答首先确定积分区域D，然后选取适当的积分次序进行积分计算。本题中，可以先对y进行积分，再对x进行积分。通过计算可得结果为$frac{17}{24}$。例题2判断函数$f(x,y)=begin{cases}例题1典型例题分析与解答0102031,(x,y)neq(0,0)n0,(x,y)=(0,0)end{cases}$在闭区域$D={(x,y)|x^2+y^2leq1}$上是否可积，并说明理由。解答：该函数在点(0,0)处不连续，但该点是一个孤立的不连续点，其集合是零面积集。因此，根据可积性条件，该函数在闭区域D上仍可能可积。实际上，通过计算可以发现该函数在D上的二重积分为$pi$，说明该函数在D上确实可积。02二重积分计算方法与技巧直角坐标系下计算方法01先对一个变量积分，再将结果对另一个变量积分，即“先积后积”原则。02确定积分区域和被积函数，注意积分区域的边界和被积函数的定义域。根据积分区域的形状和位置，选择合适的积分顺序，以便简化计算。03将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的二重积分，需要掌握极坐标与直角坐标的转换关系。确定极径和极角的积分范围和顺序，注意极径和极角的取值范围。根据被积函数的性质和积分区域的形状，选择合适的积分方法，如凑微分、分部积分等。极坐标系下计算方法010203通过变量代换将复杂的被积函数或积分区域简化为易于计算的形式。常用的换元方法包括极坐标代换、广义极坐标代换、三角代换等。在进行换元时，需要注意新变量的取值范围以及雅可比行列式的计算。换元法在二重积分中应用当被积函数为奇函数或偶函数时，可以利用奇偶性将二重积分简化为单重积分或简化计算过程。在利用对称性和奇偶性时，需要注意积分区域的对称性和被积函数的性质。利用被积函数的对称性和积分区域的对称性，可以将二重积分简化为单重积分或简化计算过程。对称性和奇偶性简化计算03多元函数与二重积分关系探讨多元函数定义01设D为一个非空的n元有序数组的集合，f为某一确定的对应关系。若对于每一个有序数组(x1,x2,…,xn)∈D，通过对应规则f，都有唯一确定的实数y与之对应，则称对应规则f为定义在D上的n元函数。多元函数性质02多元函数具有连续性、可微性、偏导数存在性等性质，这些性质对于研究函数的图像和性质具有重要意义。多元函数与一元函数关系03多元函数可以看作是一元函数的推广，其中每个自变量都可以在一定范围内独立变化。同时，多元函数也具有一些与一元函数不同的特点和性质。多元函数概念及其性质回顾

二重积分在多元函数中应用举例计算平面区域面积利用二重积分可以计算由曲线围成的平面区域的面积，这是二重积分在几何方面的应用之一。计算空间体积二重积分还可以用来计算由曲面和底面所围成的空间体积，这是二重积分在物理和工程方面的应用之一。平均值和质心问题二重积分可以用来求解平面区域的平均值和质心问题，这些问题在实际应用中具有广泛的意义。拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是求解条件极值问题的一种有效方法，通过引入拉格朗日乘子将条件极值问题转化为无条件极值问题进行求解。边界上的最值问题对于定义在闭区域上的连续函数，其最大值和最小值必然在区域内部或边界上取得。因此，可以通过比较函数在边界点和内部驻点处的函数值来确定函数的最值。应用举例条件极值和最值问题在实际应用中具有广泛的背景，如经济学中的最优化问题、物理学中的最小作用量原理等都可以转化为条件极值或最值问题进行求解。条件极值和最值问题求解策略某工厂生产两种产品A和B，每种产品都需要经过两道工序加工才能完成。已知每道工序的加工时间和单位时间的成本，以及每种产品的售价和市场需求量。问如何安排生产计划才能使得工厂的总利润最大？在某地区进行地质勘探时，发现了一种有价值的矿产资源。已知该地区的地形地貌和矿产资源的分布情况，以及开采成本和售价等信息。问如何确定开采范围和开采量才能使得总收益最大？同时需要考虑到环境保护和可持续发展等因素。某城市需要建设一个大型公共设施，如公园、体育场馆等。已知该设施的建设成本和使用寿命，以及每年可以带来的社会效益和经济效益等信息。问如何确定建设规模和投资方案才能使得总效益最大？同时需要考虑到城市规划、土地利用和环境保护等因素。案例一案例二案例三典型案例分析04曲线积分与曲面积分引入及关系03曲线积分存在的条件被积函数在积分曲线上的连续性等。01曲线积分的定义对弧长的曲线积分和对坐标的曲线积分。02曲线积分的性质线性性质、积分路径可加性、与积分方向的关系等。曲线积分概念及性质介绍格林公式平面区域上的二重积分与该区域边界上的曲线积分之间的关系。高斯公式空间闭区域上的三重积分与该区域边界曲面上的曲面积分之间的关系。斯托克斯公式空间曲线积分与曲面积分之间的关系，是格林公式的推广。格林公式、高斯公式和斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的联系在一定条件下，曲线积分可以转化为曲面积分，反之亦然。曲线积分与曲面积分的区别积分对象不同，前者是对曲线进行积分，后者是对曲面进行积分；积分方法不同，前者常用参数方程表示曲线，后者常用显式或隐式表示曲面。曲线积分与曲面积分之间关系探讨计算电场强度、磁场强度等物理量在曲线或曲面上的积分。物理学中的应用工程学中的应用经济学中的应用计算流体在管道中的流量、物体表面的压力分布等。计算某一区域内的经济总量、人口分布等。030201实际应用问题举例05数值计算方法在二重积分中应用矩形法将积分区域划分为若干个小矩形，以每个小矩形的面积乘以被积函数在该矩形上的某一点（如矩形中心）的函数值，再将所有小矩形的面积和相加，得到二重积分的近似值。梯形法将积分区域划分为若干个小梯形，以每个小梯形的面积乘以被积函数在该梯形上某两点（如梯形上、下底中点）的函数值的平均值，再将所有小梯形的面积和相加，得到二重积分的近似值。辛普森法在矩形法或梯形法的基础上，通过增加更多的求积节点和采用更高的插值多项式来提高积分精度。辛普森法通常用于更精确的数值积分计算。矩形法、梯形法和辛普森法原理复合梯形法将整个积分区域划分为多个子区域，每个子区域使用梯形法进行数值积分，最后将各子区域的积分结果相加得到整个积分区域的近似值。复合矩形法将整个积分区域划分为多个子区域，每个子区域使用矩形法进行数值积分，最后将各子区域的积分结果相加得到整个积分区域的近似值。复合辛普森法结合辛普森法和复合法的思想，将整个积分区域划分为多个子区域，并在每个子区域内应用辛普森法进行数值积分。复合数值计算方法构建误差来源数值计算方法的误差主要来源于舍入误差、截断误差和离散化误差等。其中，舍入误差是由于计算机有限字长引起的，截断误差是由于数值方法本身引起的，离散化误差是由于将连续问题离散化引起的。收敛性判断对于给定的数值计算方法，如果当积分区域的划分越来越细时，数值积分的结果逐渐趋近于真实值，则称该方法是收敛的。收敛速度的快慢可以用误差的阶数来衡量。误差分析和收敛性判断根据所选的数值计算方法和积分区域的划分方式，编写相应的计算程序。程序应能够自动计算二重积分的近似值，并输出计算结果和相应的误差估计。编程实现将计算结果以图表或数据的形式展示出来，以便直观地比较不同数值计算方法的精度和效率。同时，也可以将计算结果与真实值进行比较，以验证数值计算方法的正确性和可靠性。结果展示编程实现及结果展示06实际应用问题中的二重积分求解二重积分可用于求解平面薄片的质心坐标，通过对密度函数进行积分，得到质心位置的数学表达式。转动惯量是描述刚体转动时惯性大小的物理量，二重积分可用于计算平面薄片对于某轴的转动惯量。物理学中质心、转动惯量计算转动惯量计算质心计算概率论中期望值、方差等统计量求解在概率论中，二重积分可用于计算二维随机变量的期望值，通过对联合概率密度函数进行积分，得到期望值的数学表达式。期望值求解方差是衡量随机变量取值分散程度的统计量，二重积分可用于计算二维随机变量的方差。方差求解VS在图像处理中，二重积分可用于对图像中像素值进行统计分析，例如计算图像的平均灰度值、灰度方差等。像素值分布通过对图像中不同灰度级别的像素进行积分，可以得到像素值的分布情况，进而对图像进行更深入的分析和处理。像素