利用导数研究函数的最值

利用导数研究函数的最值导数基本概念与性质一阶导数判断函数最值方法二阶导数判断函数最值方法多元函数最值问题求解方法约束条件下的最值问题求解方法总结与拓展contents目录01导数基本概念与性质VS设函数$y=f(x)$在点$x_0$的某个邻域内有定义，当自变量$x$在$x_0$处取得增量$Deltax$（点$x_0+Deltax$仍在该邻域内）时，相应地函数取得增量$Deltay=f(x_0+Deltax)-f(x_0)$；如果$Deltay$与$Deltax$之比当$Deltaxto0$时极限存在，则称函数$y=f(x)$在点$x_0$处可导，并称这个极限为函数$y=f(x)$在点$x_0$处的导数，记作$f'(x_0)$。几何意义函数$y=f(x)$在点$x_0$处的导数$f'(x_0)$在几何上表示曲线$y=f(x)$在点$(x_0,f(x_0))$处的切线的斜率。导数定义导数定义及几何意义三角函数$(sinx)'=cosx,(cosx)'=-sinx,(tanx)'=sec^2x$对数函数$(lnx)'=frac{1}{x}$指数函数$(e^x)'=e^x$常数函数$(C)'=0$幂函数$(x^n)'=nx^{n-1}$常见函数导数公式如果函数$y=f(x)$在区间$I$内可导，且$f'(x)>0$，则函数$f(x)$在区间$I$内单调增加。如果函数$y=f(x)$在区间$I$内可导，且$f'(x)<0$，则函数$f(x)$在区间$I$内单调减少。如果函数$y=f(x)$在区间$I$内可导，且$f'(x)=0$，则称点$x_0inI$为函数的驻点。驻点可能是极值点、拐点或平凡点（即既不是极值点也不是拐点的点）。导数与函数单调性关系02一阶导数判断函数最值方法一阶导数等于零的点为临界点一阶导数等于零的点称为临界点，可能是函数的极值点或拐点。在临界点处，函数可能取得最大值、最小值或者既不是最大值也不是最小值。根据一阶导数在临界点两侧的符号变化，可将临界点分为三类：极大值点、极小值点和拐点。若一阶导数在临界点左侧由正变负，则临界点为极大值点；若一阶导数在临界点右侧由负变正，则临界点为极小值点；若一阶导数在临界点两侧符号相同，则临界点为拐点。临界点分类与判断依据01例如，对于函数$f(x)=x^3-3x^2+4$，求其一阶导数$f'(x)=3x^2-6x$。02令$f'(x)=0$，解得临界点$x=0$和$x=2$。03分析$f'(x)$在临界点两侧的符号变化，可知$x=0$为极大值点，$x=2$为极小值点。04因此，函数$f(x)$在$x=0$处取得极大值$f(0)=4$，在$x=2$处取得极小值$f(2)=0$。举例分析一阶导数判断最值过程03二阶导数判断函数最值方法函数f(x)的二阶导数是指其一阶导数f'(x)的导数，记为f''(x)或d^2y/dx^2。二阶导数定义若函数在某区间内二阶可导，则其二阶导数反映了函数图像的凹凸性。二阶导数的性质二阶导数定义及性质二阶导数大于零为凹函数，小于零为凸函数凹函数若函数f(x)在某区间内二阶可导，且f''(x)>0，则称f(x)在该区间内为凹函数。凹函数的图像呈现“上凸”的形状。凸函数若函数f(x)在某区间内二阶可导，且f''(x)<0，则称f(x)在该区间内为凸函数。凸函数的图像呈现“下凹”的形状。举例分析二阶导数判断最值过程032.然后求二阶导数f''(x)=6x-6。01分析过程021.首先求一阶导数f'(x)=3x^2-6x。举例分析二阶导数判断最值过程举例分析二阶导数判断最值过程3.解方程f'(x)=0得到x=0或x=2，这两个点是函数的潜在极值点。4.利用二阶导数判断极值点的性质：当x<1时，f''(x)<0，函数为凸函数；当x>1时，f''(x)>0，函数为凹函数。因此，x=1是函数的拐点。5.结合函数的单调性和二阶导数的性质，可以确定x=0处取得极大值，x=2处取得极小值。04多元函数最值问题求解方法多元函数中，固定其他变量的值，对某一变量求导数，所得结果即为该变量的偏导数。它反映了函数在该变量方向上的变化率。偏导数多元函数在某一点的全微分，是该函数在该点附近因变量的全增量与自变量全增量之间的线性主部。全微分反映了函数在各变量方向上的综合变化。全微分多元函数偏导数与全微分概念极值条件：多元函数在某点取得极值的必要条件是该点的偏导数等于零。此外，还需满足一些充分条件，如二阶偏导数矩阵正定或负定等。求解步骤1.求出函数的偏导数，并令其为零，得到可能的极值点。2.利用充分条件判断极值点的性质（极大值、极小值或鞍点）。3.比较各极值点的函数值，确定最值点及最值。0102030405多元函数极值条件及求解步骤举例求二元函数$f(x,y)=x^2+y^2$在单位圆$x^2+y^2=1$上的最大值和最小值。分析首先求出函数的偏导数$f_x=2x$和$f_y=2y$，并令其为零得到可能的极值点$(0,0)$。然后利用充分条件判断该点为鞍点，不是极值点。最后，由于单位圆上的点满足$x^2+y^2=1$，因此$f(x,y)=1$，即函数在单位圆上的最大值为1，最小值为0。举例分析多元函数最值问题求解过程05约束条件下的最值问题求解方法拉格朗日乘数法原理通过引入拉格朗日乘子，将约束条件与目标函数结合成一个新的函数（拉格朗日函数），通过对拉格朗日函数求导并令其等于零，得到临界点，进而求得最值。适用条件约束条件为等式约束，且目标函数和约束条件都是连续可微的。拉格朗日乘数法原理及适用条件根据目标函数和约束条件，构建拉格朗日函数$L(x,lambda)=f(x)+lambdag(x)$，其中$f(x)$是目标函数，$g(x)=0$是约束条件，$lambda$是拉格朗日乘子。对拉格朗日函数求导，得到$nablaL(x,lambda)=nablaf(x)+lambdanablag(x)=0$和$g(x)=0$，解这两个方程组得到临界点$(x^*,lambda^*)$。构建拉格朗日函数求解临界点构建拉格朗日函数并求解临界点123求目标函数$f(x,y)=x^2+y^2$在约束条件$g(x,y)=x+y-1=0$下的最小值。举例$L(x,y,lambda)=x^2+y^2+lambda(x+y-1)$。构建拉格朗日函数对$L(x,y,lambda)$求导，得到方程组求解临界点举例分析约束条件下最值问题求解过程123$begin{cases}2x+lambda=02y+lambda=0举例分析约束条件下最值问题求解过程输入标题02010403举例分析约束条件下最值问题求解过程x+y-1=0判断最值：由于$f(x,y)$是凸函数，且在临界点处满足约束条件，因此$f(frac{1}{2},frac{1}{2})=frac{1}{2}$是最小值。解得临界点$(x^*,y^*,lambda^*)=(frac{1}{2},frac{1}{2},-1)$。end{cases}$06总结与拓展导数的定义及计算方法通过极限的概念引入导数，掌握导数的基本计算公式和运算法则。导数与函数单调性的关系理解导数与函数单调性之间的联系，掌握判断函数单调性的方法。利用导数求函数的最值学会利用导数求函数在闭区间上的最大值和最小值，理解最值存在的条件。回顾本次课程重点内容030201经济学在经济学中，导数可以用来研究成本、收益、利润等经济量的变化率，为经济决策提供数学依据。物理学在物理学中，导数可以表示速度、加速度等物理量的变化率，是解决物理问题的重要工具。工程学在工