课件8-4多元复合函数求导法则

课件8-4多元复合函数求导法则多元复合函数求导法则概述多元复合函数的链式法则多元复合函数的偏导数求导法则多元复合函数的全导数求导法则多元复合函数求导法则的应用多元复合函数求导法则概述01多元复合函数的定义多元复合函数是由多个变量和多个基本初等函数通过有限次复合运算构成的函数。多元复合函数的一般形式为$f(u,v,w,...,z)$，其中$u,v,w,...,z$是中间变量，它们本身也可以是复合函数。掌握多元复合函数求导法则是学习微积分的重要基础，它有助于理解函数的极值、曲线的切线、曲面的法线等概念。在解决实际问题时，多元复合函数求导法则能够帮助我们找到最优解，提高决策的科学性和准确性。多元复合函数求导法则的重要性多元复合函数求导法则的历史与发展多元复合函数求导法则的思想可以追溯到18世纪中叶，当时法国数学家偏微分方程的创始人之一莱布尼茨开始研究多元函数的导数。19世纪初，法国数学家傅里叶研究了更一般的多元复合函数的导数，并给出了求导的公式。随着数学的发展，多元复合函数求导法则不断完善和丰富，逐渐形成了系统的理论体系。多元复合函数的链式法则02如果$y=f(u)$，$u=g(x)$，则$y'=f'(u)g'(x)$。链式法则设$y=f(u)=u^2$，$u=g(x)=x^3$，则$y'=f'(u)g'(x)=2u(3x^2)=6x^2u$。举例一元函数的链式求导法则链式法则如果$z=f(u,v)$，$u=g(x,y)$，$v=h(x,y)$，则$frac{partialz}{partialx}=f'_ucdotfrac{partialu}{partialx}+f'_vcdotfrac{partialv}{partialx}$，$frac{partialz}{partialy}=f'_ucdotfrac{partialu}{partialy}+f'_vcdotfrac{partialv}{partialy}$。举例设$z=f(u,v)=uv$，$u=g(x,y)=x^2+y^2$，$v=h(x,y)=x^2-y^2$，则$frac{partialz}{partialx}=f'_ucdotfrac{partialu}{partialx}+f'_vcdotfrac{partialv}{partialx}=u'v+uv'=2x(x^2-y^2)+(x^2+y^2)2x=4x^3-4xy^2+4x^3+4xy^2=8x^3$。多元函数的链式求导法则举例：设$z=f(u,v,w)=uvw$，$u=g(x,y)=x^2+y^2$，$v=h(x,y)=x+y$，$w=i(x,y)=cos(xy)$，则$\frac{\partialz}{\partialx}=f'_u\cdot\frac{\partialu}{\partialx}+f'_v\cdot\frac{\partialv}{\partialx}+f'_w\cdot\frac{\partialw}{\partialx}=2xu(x+y)w+uv(-sin(xy)\cdot2xy)=2x^3u(x+y)w-2xyuvsin(xy)$。链式法则的实例解析多元复合函数的偏导数求导法则03VS对于一个多元函数，如果一个自变量的变化量导致函数有一个确定的变化量，则称该自变量是可微的。偏导数是多元函数在某一点处沿着某一方向的变化率。偏导数的性质偏导数具有线性、连续性和可加性等性质，这些性质在求导过程中非常重要。偏导数的定义偏导数的定义与性质链式法则如果一个多元复合函数由多个函数嵌套而成，则可以使用链式法则求导。链式法则是求偏导数的基本法则之一，它可以将一个复合函数的求导问题转化为多个简单函数的求导问题。乘积法则如果一个多元复合函数的自变量之间存在乘积关系，则可以使用乘积法则求导。乘积法则是将一个复合函数的求导问题转化为多个简单函数的求导问题。商式法则如果一个多元复合函数的自变量之间存在商的关系，则可以使用商式法则求导。商式法则是将一个复合函数的求导问题转化为多个简单函数的求导问题。偏导数的求导法则偏导数求导法则的实例解析以二元函数为例，设$z=f(x,y)$，其中$x=g(s,t)$，$y=h(s,t)$，$s=p(u,v)$，$t=q(u,v)$，$u=r(x,y)$，$v=s(x,y)$，求$frac{partialz}{partialx}$和$frac{partialz}{partialy}$。通过链式法则和乘积法则，可以得出结果。解析实例1以三元函数为例，设$z=f(x,y,z)$，其中$x=g(u,v,w)$，$y=h(u,v,w)$，$z=k(u,v,w)$，$u=p(a,b)$，$v=q(a,b)$，$w=r(a,b)$，$a=s(x)$，$b=t(x)$，求$frac{partialz}{partialx}$、$frac{partialz}{partialy}$和$frac{partialz}{partialz}$。通过链式法则和乘积法则，可以得出结果。解析实例2多元复合函数的全导数求导法则04对于多元复合函数，全导数是各个中间变量对自变量的偏导数的线性组合。全导数具有线性、链式和连续性等性质，这些性质在求导过程中非常重要。全导数的定义全导数的性质全导数的定义与性质123对于复合函数，如果外层函数是可微的，内层函数是多元函数，则全导数等于外层函数的导数乘以内层函数的偏导数。链式法则如果复合函数的中间变量是多个自变量的函数，则全导数等于各个中间变量对自变量的偏导数的乘积。偏导数的链式法则如果复合函数的中间变量是连续的，则全导数等于各个中间变量对自变量的偏导数的乘积之和。连续性法则全导数的求导法则实例1设$z=f(u,v)$，其中$u=g(x,y)$，$v=h(x,y)$，求$z$对$x$的全导数。实例2设$z=f(u,v)$，其中$u=g(x,y)$，$v=h(x)$，求$z$对$x$的全导数。实例3设$z=f(u,v)$，其中$u=g(x)$，$v=h(x,y)$，求$z$对$x$的全导数。全导数求导法则的实例解析多元复合函数求导法则的应用05在微积分中的应用多元复合函数在微积分中常常出现，掌握求导法则能够帮助我们快速准确地找到这些函数的导数，进而解决诸如极值、曲线的切线等问题。研究函数的性质通过对多元复合函数求导，我们可以研究函数的增减性、凹凸性、拐点等性质，进而理解函数的形态和变化规律。优化问题在优化问题中，多元复合函数的导数可以用于找到函数的极值点，从而找到最优解。解决复杂函数的导数问题矩阵的求导在向量微积分中，多元复合函数可以用于表示向量函数和矩阵函数，通过对这些函数求导，我们可以找到向量场和矩阵场的梯度、方向导数和偏导数等概念。要点一要点二优化问题在矩阵优化问题中，多元复合函数的导数可以用于找到最优解，例如在特征值优化问题中，可以通过对特征多项式求导来找到最优的特征值。在