湘教版七年级数学下册基础知识专项讲练 专题2.1 同底数幂的乘法（知识讲解）

专题2.1同底数幂的乘法（知识讲解）【知识回顾】1、有理数的乘方定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)．即有：.在中，叫做底数，n叫做指数.2、要点二、乘方运算的符号法则（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即．【学习目标】1.掌握同底数幂的乘法运算法则性质；能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算.【课前练习】1．我们知道，根据乘方的意义：，．（1）计算：________，________；（2）通过以上计算你能否发现规律，得到的结果；（3）计算：．解：（1），，故答案是：，；（2）可以看做个a相乘，∴；（3）．【点拨】本题考查了有理数的乘方以及数式规律问题，明确有理数乘方的意义，得出规律是解题的关键．通过此题引入本专题的重要内容。【要点梳理】要点一、同底数幂的乘法性质(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.要点说明：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即（都是正整数）.（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）.要点二、注意事项（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏.（3）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.（4）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.【典型例题】类型一、同底数幂的乘法性质 1．（1）10×104×105+103×107（2）m·m2·m4+m2·m5（3）（-x）2·（-x）3+2x（-x）4（4）x3·x5·x7-x2·x4·x9【答案】（1）2×1010；（2）2m7；（3）x5；（4）0.【解析】根据同底数幂的乘法法则，合并同类项法则，计算即可得答案.解：（1）10×104×105+103×107；（2）m·m2·m4+m2·m5,,;（3）（-x）2·（-x）3+2x（-x）4,,,;（4）x3·x5·x7-x2·x4·x9=,=,=0.故答案为：（1）2×1010；（2）2m7；（3）x5；（4）0.【点拨】本题考查同底数幂的乘法.举一反三：【变式】计算：（1）（a-b）2（a-b）3（b-a）5（2）（a-b+c）3（b-a-c）5（a-b+c）6（3）（b-a）m·（b-a）n-5·（a-b）5（4）x·xm-1+x2·xm-2-3x3·xm-3【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【分析】（1）、（2）与（3），首先将其变形为同底数幂相乘的形式，接下来利用同底数幂的乘法法则进行解答即可；（4），首先利用同底数幂的乘法法则对其进行变形，接下来合并同类项即可.解：（1）（a-b）2（a-b）3（b-a）5=,=;（2）（a-b+c）3（b-a-c）5（a-b+c）6,;（3）（b-a）m·（b-a）n-5·（a-b）5,;（4）x·xm-1+x2·xm-2-3x3·xm-3,,.故答案为：（1）；（2）；（3）；（4）.【点拨】本题考查同底数幂的乘法.，解体的关键是掌握同底数幂的乘法法则.逆运算.类型二、同底数幂的乘法逆运算.2．已知2a＝5，2b＝1，求2a+b+3的值．【答案】40．【分析】逆用同底数幂的运算法则，把2a+b+3写成2a×2b×23的形式，再代入计算即可.解：∵2a＝5，2b＝1，∴2a+b+3＝2a×2b×23＝5×1×8＝40．【点拨】此题考查的是同底数幂的运算法则，属于基础题目，解题的关键是熟练掌握同底数幂的运算法则.【变式1】已知,求；（2）已知：2x+3y﹣4=0，求4x•8y的值．【答案】（1）250；（2）16.【分析】（1）根据幂的乘方与同底数幂的乘法对所求式子进行变形计算即可；（2）将4x•8y变形为，根据2x+3y﹣4=0，即2x+3y=4，再整体代入求解即可.解：（1）；（2），∵2x+3y﹣4=0，∴2x+3y=4，则原式==16.【点拨】本题主要考查幂的混合运算，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.【变式2】（1）已知，且，求的值？（2）已知：，，，求的值？【答案】（1）3；（2）864.解：（1）∵∴a=3又∴b=1∴（2）∵，，∴【点拨】本题考查的是幂的运算，难度适中，需要熟练掌握幂的运算公式及其逆运算.类型三、同底数幂的乘法综合练习3．阅读下面的文字,回答后面的问题：求5+52解：令S将等式两边同时乘以5得到:5②-①得:4∴S=5问题:(1)求2+2(2)求4+12+36+…+4×340【答案】（1）2101-2.（【分析】（1）根据已知材料的方法解答即可（2）先把式子化简成与题干中的式子一致的形式再解答.解：（1）令S将等式两边同时乘以2得到:2②-①得:S∴即2+（2）4+12+36+…+4×令S将等式两边同时乘以3得到:3②-①得:2∴S【点拨】此题重点考察学生对同底数幂的乘法的应用，能根据材料正确找到做题方法是解题关键.【变式】．阅读材料：求l+2+22+23+24+…+22019的值．解：设S=l+2+22+23+24+…+22018+22019…①则2S=2+22+23+24+25+…+22019+22020…②②-①，得2S﹣S=22020-l即S=22020-l∴1+2+22+23+24+…+22019=22020-l仿照此法计算：(1)计算：1+3+32+33+34+…+3100.(2)计算：1++++…++=________(直接写答案)【答案】(1)；(2).【分析】(1)设S=1+3+32+33+34+…+3100，两边乘以3得到关系式，与已知等式相减，变形即可求得所求式子的值；(2)设S=1++++…++，两边乘以，然后按照阅读材料的方法进行求解即可.解：(1)设S=1+3+32+33+34+…+3100，①两边同时乘以3，得3S=3+32+33+34+…+3101，②②-①，得3S﹣S=3101-1，