中考数学解题技巧 32等角存在性问题

等角存在性问题一、方法突破除了特殊几何图形存在性问题外，相等角存在性也是今年二次函数压轴题中常见的题型，根据题目给的不同的条件，选择恰当的方式去构造相等角，是此类问题的关键．回顾一下在几何图形中有哪些方法能得到相等角，大概如下：（1）平行：两直线平行，同位角、内错角相等；（2）角平分线：角平分线分的两个角相等；（3）等腰三角形：等边对等角；（4）全等（相似）三角形：对应角相等；（5）三角函数：若两个角的三角函数值相等，则两角相等；（6）圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．也许还有，但大部分应该都在此了，同样，在抛物线背景下亦可用如下思路构造相等角．想得到相等角，先考虑如何度量角，除了角度之外，另外的方法便是求出角的三角函数值，因此在以上6种方案当中，若无明显条件，可考虑求出角的三角函数值来构造相等角．选择较多未必是好事，挑出关键性条件确定恰当方法才是更重要的~二、典例精析例一：如图，已知抛物线过点A（4，0），B（-2，0），C（0，-4）．（1）求抛物线的解析式；（2）点C和点关于抛物线的对称轴对称，点P在抛物线上，且，求点P的横坐标．【分析】（1）抛物线：；（2）由题意得：坐标为（2，-4），考虑到A、C、三点坐标均已知，故可求的三角函数值．思路1：构造直角三角形过点作⊥AC交AC于H点，不难求得H点坐标为（1，3），故，，∴，则．转化“”为“”，即．①当时，设PA解析式为，将A（4，0）代入，得：，联立方程：，解得：，，故坐标为；②当时，设PA解析式为，将A（4，0）代入，得：，联立方程：，解得：，，故坐标为．综上所述，P点坐标为或．思路2：发现特殊角．如图构造等腰直角三角形AMC，易解M点坐标为（4，-4），故△AMC是等腰直角三角形．∠MAC=45°，考虑，可知，下同思路1求解P点坐标．

例二：如图，抛物线与轴交于，两点，与y轴交于点C，且．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上一点D（1，-5），直线BD与y轴交于点E，动点M在线段BD上，当∠BDC=∠MCE时，求点M的坐标．【分析】（1），解得：．抛物线：．（2）思路：化角度正切值为“k”令，解得：，，即A点坐标为，B点坐标为（4，0）．考虑C（0，-4）、D（1，-5），连接BC，易证△BCD是直角三角形，，若∠MCE=∠BDC，则tan∠MCE=4，．设CE解析式为：，又BD解析式为：，联立方程：，解得：，故M点坐标为．例三：如图，抛物线与两坐标轴相交于点A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3），D是抛物线的顶点，E是线段AB的中点．（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；（2）F（x，y）是抛物线上的动点：①当x>1，y>0时，求△BDF的面积的最大值；②当∠AEF=∠DBE时，求点F的坐标．【分析】（1）抛物线：，D点坐标为（1，4）；（2）①铅垂法可解，当F坐标为（2，3）时，△BDF面积最大，最大值为1；②思路1：构造平行线．考虑到A、E、B三点均在x轴上，故可构造EF∥BD即可得角相等．过点E作EF∥BD交抛物线与F点，考虑到BD解析式：，故可求EF的解析式为：，联立方程：，解得：，（舍）．故F点坐标为．将EF作关于x轴的对称，如图，交点亦为满足条件的F点，且翻折后的直线解析式为：，联立方程：，解得：，（舍）．故F点坐标为．综上，F点坐标为或．思路2：三角函数值．设F点坐标为，过F点作FH⊥x轴交x轴于H点，则H点坐标为，，，解得：，（舍），，（舍）．故F点坐标为或．三、中考真题对决1.【2019海南中考】如图，已知抛物线经过A（-5，0），B（-4，-3）两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连结CD．（1）求该抛物线的表达式；（2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为t．该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC=∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）抛物线：；（2）①当点P在直线BC上方时，如图，过点B作DC的平行线，与抛物线交点即为P点，不难求得直线BP解析式为：，联立方程：，解得：，，故P点坐标为（0，5）．②当点P在直线BC下方时，思路1：利用三角函数值．连接BD，可得BD⊥BC，可得，若∠PBC=∠BCD，则需满足，但鉴于BC并非水平或竖直直线，故这个条件并不好用．考虑到B、C点坐标的特殊性，可以发现，过点B作BM⊥x轴，易得△BMC是等腰直角三角形，即有∠MBC=∠MCB，可转化问题“∠PBC=∠BCD”为“∠PBC+∠CBM=∠BCD+∠BCM”，即∠PBM=∠DCM．由题意得：，故，转化为直线BP的条件即为“”，可得直线BP解析式为：，联立方程：，解得：，．故P点坐标为．综上所述，P点坐标为（0，5）或．思路2：构造对称．不难发现，情况①中的直线BP和情况②中的直线BP是关于直线BC对称，故两个BP的k相乘为1，可知情况②中的．可知BP解析式：．同思路1求得P点坐标．2．（2021•随州）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点的坐标为．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）如图1，若点在抛物线上且满足，求点的坐标；解：（1）顶点的坐标为，设抛物线的解析式为，将点代入，得，解得：，，该抛物线的解析式为；（2）抛物线对称轴为直线，，，设直线解析式为，，，，解得：，直线解析式为，过点作，交抛物线于点，设直线的解析式为，将代入，得，解得：，直线的解析式为，结合抛物线，可得，解得：（舍，，故，过点作轴平行线，过点作轴平行线交于点，，，四边形是正方形，设与轴交于点，则，解得：，，，在轴下方作交于点，四边形是正方形，，，，，即，，，，，设直线解析式为，，，，解得：，直线解析式为，结合抛物线，可得，解得：（舍，，，，综上所述，符合条件的点坐标为：，，；3．（2021•岳阳）如图，抛物线经过，两点，与轴交于点，连接．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）如图2，直线经过点，点为直线上的一个动点，且位于轴的上方，点为抛物线上的一个动点，当轴时，作，交抛物线于点（点在点的右侧），以，为邻边构造矩形，求该矩形周长的最小值；（3）如图3，设抛物线的顶点为，在（2）的条件下，当矩形的周长取最小值时，抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）设抛物线的表达式为，即，即，解得，故抛物线的表达式为；（2）将点的坐标代入直线的表达式得：，解得，故直线的表达式为，设点的坐标为，则点的坐标为，由题意得，点、关于抛物线对称轴对称，而抛物线的对称轴为直线，故点的横坐标为，则，设矩形周长为，则，，故有最小值，当时，矩形周长最小值为；（3）当时，，即点的坐标为，，由抛物线的表达式知，点的坐标为，，过点作于点，则，同理可得，，则，，故，在中，，故和重合，故点和点重合，即点的坐标为，当点在直线的上方时，，，，，，则点关于的对称点，直线的解析式为，由，解得或，，，综上所述，满足条件的点的坐标为或，4．（2021•成都）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点，顶点的坐标为．点为抛物线上一动点，连接，，过点的直线与抛物线交于另一点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点的横坐标与纵坐标相等，，且点位于轴上方，求点的坐标；（3）若点的横坐标为，，请用含的代数式表示点的横坐标，并求出当时，点的横坐标的取值范围．解：（1）抛物线，顶点的坐标为，,,即抛物线为,抛物线经过，即的图象过，,解得,抛物线表达为；（2）在中，令得,解得或,或,①当时，过作交抛物线于，此时，如图：在中，令,得，解得或,,设直线解析式为,将、代入得：,解得,直线解析式为,,设直线解析式为,将代入得,直线解析式为,由得（此时为点，舍去）或,；②当时，过作轴于,过作轴于，作关于的对称点，作直线交抛物线于,连接,如图：,,，，中，,,,,,中，,,关于的对称点,,,即是满足条件的点，设,关于的对称点,，，,两式相减变形可得,代入即可解得(此时为，舍去）或,,,设直线解析式为,将,,代入得；,解得,直线解析式为,解得或（此时为,舍去），,综上所述，坐标为或；（3）设交轴于，过作轴于，过作于,如图：点的横坐标为，,又，,,,,,且，,,即,,,设直线解析式为,将代入得,,直线解析式为，由得,解得的横坐标）,,点的横坐标为；当时，,时，最小值是12，此时,当时，点的横坐标的取值范围是．5．（2021•自贡）如图，抛物线（其中与轴交于、两点，交轴于点．（1）直接写出的度数和线段的长（用表示）；（2）若点为的外心，且与的周长之比为，求此抛物线的解析式；（3）在（2）的前提下，试探究抛物线上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）定义抛物线，令，可得或，，，令，得到，