《工程力学》教学课件第十章平面图形的几何性质

《工程力学》教学课件第十章平面图形的几何性质目录contents第十章平面图形的几何性质平面图形基本概念平面图形几何性质概述平面图形静矩与形心位置确定平面图形惯性矩和惯性积计算平面图形主惯性轴和主惯性矩求解平面图形几何性质变化规律研究01第十章平面图形的几何性质123在平面内由直线、曲线等围成的封闭图形。平面图形的定义多边形、圆、椭圆等。平面图形的分类由图形的边缘线条构成，可以是直线或曲线。平面图形的边界平面图形的基本概念

平面图形的几何要素点平面图形的基本元素，无大小、无方向。线由无数个点组成，具有长度和方向。面由封闭线条围成的区域，具有面积和形状。平面图形在某些变换下保持不变的性质，如轴对称、中心对称等。对称性相似性全等性两个平面图形在形状上相同但大小不同的性质，相似比等于对应边长的比。两个平面图形在形状和大小上都完全相同的性质，全等图形的对应边和对应角都相等。030201平面图形的几何性质根据不同平面图形的特点，采用相应的公式计算面积。面积计算重心计算惯性矩计算平面图形在工程中的应用对于均质平面图形，其重心位置可通过积分或几何方法求得。对于平面图形，其惯性矩是描述图形抗弯刚度和抗扭刚度的重要参数，可通过积分或查表得到。平面图形在机械、土木、航空等工程领域具有广泛应用，如机构设计、结构设计、运动分析等。平面图形的计算与应用02平面图形基本概念平面图形是几何图形的一种，它表示二维平面上的点、线、面等元素组成的图形。平面图形可以分为直线图形和曲线图形两大类，其中直线图形包括多边形、三角形、四边形等，曲线图形包括圆、椭圆、抛物线等。平面图形定义及分类平面图形分类平面图形定义点是平面图形的基本元素之一，它没有长度、宽度和高度，只有位置。点线是由无数个点组成的，它有长度但没有宽度和高度，可以是直线、曲线等。线面是由无数条线组成的，它有长度、宽度和高度，可以是平面或曲面。面平面图形基本元素几何表示法坐标表示法函数表示法图形变换法平面图形表示方法01020304通过几何元素（点、线、面）及其相互关系来表示平面图形。在坐标系中，通过点的坐标来表示平面图形，适用于计算机绘图等领域。对于某些特定的平面图形，如圆、椭圆等，可以通过函数方程来表示其形状和大小。通过对基本图形进行平移、旋转、缩放等变换操作，可以得到更复杂的平面图形。03平面图形几何性质概述几何性质是指平面图形所固有的、不随图形大小、位置改变而改变的特性，如面积、周长、形心等。几何性质定义在工程力学中，几何性质是分析和设计各种结构的基础，对于保证结构的稳定性、强度和刚度等具有重要意义。几何性质重要性几何性质定义及重要性面积周长形心惯性矩和极惯性矩常见几何性质介绍表示平面图形所占空间的大小，是二维空间中的基本几何量。平面图形的几何中心，对于均质物体，形心也是其质心。形心位置可通过积分或几何方法求解。平面图形边界的长度，对于封闭图形，周长是各边长度之和。描述平面图形对某轴的抵抗弯曲能力的几何量，与图形的面积、形状和轴的位置有关。利用几何性质计算结构的面积、形心等参数，进而分析结构的受力情况和稳定性。结构静力学分析惯性矩和极惯性矩等几何性质对于研究结构的振动和动态响应具有重要意义。结构动力学分析通过调整结构的几何形状和尺寸，优化其几何性质，从而提高结构的性能和经济性。结构设计优化在实验应力分析中，需要利用几何性质计算应变和应力等参数，以评估结构的强度和安全性。实验应力分析几何性质在工程力学中应用04平面图形静矩与形心位置确定静矩是指平面图形对某一坐标轴的一次矩，表示图形面积与形心到该轴距离之积。静矩定义静矩可以通过对图形各微元面积与其到坐标轴距离乘积的积分来计算，也可以将图形分解为若干简单图形后分别计算。静矩计算静矩的正负取决于坐标轴的方向和微元面积相对于坐标轴的位置。静矩正负静矩概念及计算方法形心坐标公式形心坐标可以通过对图形各微元面积与其坐标乘积的积分后除以总面积来计算。形心定义形心是描述平面图形几何特性的重要参数，表示图形面积的“中心”位置。简化计算方法对于简单图形，如矩形、三角形等，可以直接利用公式计算形心位置；对于复杂图形，可以将其分解为若干简单图形后分别计算。形心位置确定方法静矩在工程力学中用于计算平面图形的面积矩，进而求解平面刚体的转动惯量等问题。形心在工程力学中用于确定平面图形的质心位置，进而分析刚体的平衡、稳定和变形等问题。静矩和形心还是进行结构设计和优化、强度计算和校核等工程实践问题的重要依据。静矩与形心在工程力学中应用05平面图形惯性矩和惯性积计算惯性矩定义平面图形对某轴的惯性矩，是反映图形对该轴惯性大小的量度，其值等于图形各微元面积与其到该轴距离平方乘积的总和。计算公式对于连续体，惯性矩的计算公式为$I_z=inty^2dA$，其中$y$为微元面积到$z$轴的距离，$dA$为微元面积；对于离散体，需要将图形划分为若干小块，分别计算每小块的惯性矩后再求和。单位惯性矩的单位为长度的四次方，即$m^4$或$cm^4$等。惯性矩概念及计算方法惯性积定义平面图形对两个正交轴的惯性积，是反映图形对这两个轴相对位置关系的量度，其值等于图形各微元面积与其到这两个轴距离乘积的总和。计算公式对于连续体，惯性积的计算公式为$I_{xy}=intxydA$，其中$x$、$y$分别为微元面积到两个正交轴的距离，$dA$为微元面积；对于离散体，需要将图形划分为若干小块，分别计算每小块的惯性积后再求和。符号规定当图形关于坐标原点对称时，其对两个正交轴的惯性积为零；否则，其符号取决于坐标轴的选择和图形的相对位置。010203惯性积概念及计算方法结构稳定性分析：在结构稳定性分析中，需要考虑结构在受到外力作用时是否会发生失稳现象。此时，可以利用惯性矩和惯性积来计算结构的抗弯刚度和抗扭刚度等参数，从而评估结构的稳定性。动力学分析：在动力学分析中，需要考虑物体在运动过程中的加速度、角速度等参数。此时，可以利用惯性矩和惯性积来计算物体的质量分布和转动惯量等参数，从而更准确地描述物体的运动状态。强度计算：在强度计算中，需要考虑物体在受到外力作用时是否会发生破坏或变形。此时，可以利用惯性矩和惯性积来计算物体的截面面积、截面模量等参数，从而评估物体的承载能力和变形情况。优化设计：在结构优化设计中，需要考虑如何在满足功能要求的前提下降低成本和提高效率。此时，可以利用惯性矩和惯性积对结构进行优化设计，如通过调整截面形状、尺寸等参数来改善结构的受力性能和稳定性等。惯性矩和惯性积在工程力学中应用06平面图形主惯性轴和主惯性矩求解主惯性轴定义平面图形中，通过图形质心且与图形两对称轴分别平行的直线称为主惯性轴。主惯性轴求解方法首先确定图形的质心位置，然后通过质心作两条与图形两对称轴分别平行的直线，即为主惯性轴。主惯性轴概念及求解方法主惯性矩定义平面图形对主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩，它反映了图形对主惯性轴的转动惯量大小。主惯性矩求解方法根据图形对主惯性轴的转动惯量公式进行计算，或者通过图形对两对称轴的惯性矩进行转换得到。主惯性矩概念及求解方法利用主惯性轴和主惯性矩可以分析结构的稳定性，判断结构在受到外力作用时是否容易发生失稳。结构稳定性分析在动力学分析中，主惯性轴和主惯性矩是描述刚体转动的重要参数，可以用于计算刚体的转动动能和转动惯量。动力学分析在机械设计中，需要对零件的强度和刚度进行校核，主惯性轴和主惯性矩可以用于计算零件在受到外力作用时的应力和变形情况。强度校核主惯性轴和主惯性矩在工程力学中应用07平面图形几何性质变化规律研究平面图形的形状变化会导致其几何性质如面积、周长、重心位置等发生变化。例如，当图形从圆形变为椭圆形时，其面积和周长都会发生变化。形状变化对几何性质的影响平面图形的尺寸变化也会导致其几何性质发生变化。一般来说，随着尺寸的增大或减小，图形的面积、周长等也会相应地增大或减小。尺寸变化对几何性质的影响平面图形的方位变化通常不会改变其固有的几何性质，如面积、周长等，但可能会影响到一些与方向有关的性质，如倾斜角等。方位变化对几何性质的影响几何性质随图形变化规律分解法01将复杂图形分解为若干个简单图形，分别计算各简单图形的几何性质，再根据它们之间的相对位置关系求得复杂图形的整体性质。积分法02对于连续变化的曲线图形，可以采用积分法计算其面积、弧长等几何性质。通过将曲线图形划分为无数个微小单元，对每个单元进行积分求和，即可得到整体的几何性质。数值计算法03对于一些难以用解析方法求解的复杂图形，可以采用数值计算法近似求解其几何性质。例如，利用计算机图形学中的像素计数法可以近似计算不规则图形的面积。复杂图形几何性质分析方法结构稳定性分析在工程力学中，结构的稳定性分析需要考虑结构的几何形状和尺寸等因素。通过研究几何性质随图形变化规律，可以预测结构在不同形状和尺寸下的稳定性表现，为结构设计提供理论依据。载荷分布与传递路径优化在机械设计中，载荷的分布