东北大学概率论课后习题答案

东北大学概率论课后习题答案目录绪论概率论基本概念随机变量及其分布随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理统计量及其分布参数估计绪论01课程简介本课程主要介绍概率论的基本概念、基本原理和基本方法，包括随机事件与概率、随机变量及其分布、随机变量的数字特征、大数定律与中心极限定理等内容。概率论是研究随机现象数量规律的数学分支概率论作为数学的一个重要分支，不仅在数学学科本身有着广泛的应用，而且在物理学、化学、生物学、医学、经济学、金融学、保险学、社会学等领域也有着广泛的应用。概率论在自然科学、社会科学、工程技术等领域的应用通过本课程的学习，学生应该能够熟练掌握概率论的基本概念，如随机事件、随机变量、分布函数、数字特征等，以及概率论的基本原理和基本方法，如概率的加法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式等。学生应该能够运用所学的概率论知识，分析和解决实际生活中遇到的随机现象问题，如赌博游戏、天气预报、股票投资等。掌握概率论的基本概念、基本原理和基本方法具备运用概率论知识解决实际问题的能力教学目标与要求

考核方式及成绩评定平时成绩包括课堂表现、作业完成情况等，占总评成绩的30%。期末考试采用闭卷考试形式，主要考察学生对概率论基本概念、基本原理和基本方法的掌握情况，占总评成绩的70%。总评成绩平时成绩和期末考试成绩的综合评定，其中平时成绩占30%，期末考试成绩占70%。概率论基本概念02所有可能结果的集合，常用大写字母S表示。样本空间空集，不包含任何样本点的事件。不可能事件样本空间的子集，即某些可能结果的集合。事件常用大写字母A、B、C等表示。事件样本空间中只包含一个样本点的事件。基本事件包含样本空间中所有样本点的事件，即样本空间本身。必然事件0201030405样本空间与事件规范性对于必然事件S，有P(S)=1。概率的定义在给定条件下，某一事件发生的可能性大小。概率常用P(A)表示事件A发生的概率。非负性对于任何事件A，有P(A)≥0。可加性对于互斥事件A和B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)。乘法公式对于任意两个事件A和B，有P(AB)=P(A)P(B|A)。概率的定义及性质01条件概率在给定某一事件B发生的条件下，另一事件A发生的概率。条件概率常用P(A|B)表示。02独立性如果两个事件A和B的发生互不影响，即P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A和B是相互独立的。03乘法公式与独立性如果事件A和B是相互独立的，则乘法公式可以简化为P(AB)=P(A)P(B)。条件概率与独立性随机变量及其分布03随机变量定义随机变量是定义在样本空间上的实值函数，它将样本空间中的每一个样本点映射到一个实数。随机变量的性质随机变量具有可测性、单调性和有界性等性质。其中，可测性是指随机变量对应的函数是可测的，单调性是指随机变量的取值随着样本点的变化而单调变化，有界性是指随机变量的取值范围在一个确定的区间内。随机变量的定义及性质离散型随机变量的分布律离散型随机变量的分布律可以用概率质量函数来描述，即给出随机变量取各个值的概率。常见的离散型随机变量分布有0-1分布、二项分布、泊松分布等。离散型随机变量定义离散型随机变量是指其取值只能是有限个或可列个实数的随机变量。离散型随机变量及其分布律连续型随机变量是指其取值可以充满一个区间（或几个区间）的随机变量。连续型随机变量定义连续型随机变量的概率密度可以用概率密度函数来描述，即给出随机变量在某个区间内取值的概率。常见的连续型随机变量分布有均匀分布、正态分布、指数分布等。连续型随机变量的概率密度连续型随机变量及其概率密度随机变量的数字特征04描述随机变量取值的“平均水平”，是随机变量所有可能取值的加权平均数，权数为每个取值的概率。描述随机变量取值的离散程度，即随机变量与其数学期望的偏离程度的平方的加权平均数，权数为每个取值的概率。数学期望方差数学期望与方差协方差描述两个随机变量的总体误差，反映两个随机变量线性相关的程度。如果两个随机变量的变化趋势一致，则协方差为正；如果变化趋势相反，则协方差为负；如果两个随机变量相互独立，则协方差为零。相关系数是协方差的标准化形式，消除了两个随机变量量纲的影响，更准确地反映两个随机变量线性相关的程度。相关系数的取值范围为[-1,1]，其中1表示完全正相关，-1表示完全负相关，0表示不相关。协方差与相关系数描述随机变量的分布形态，特别是偏态和峰态。一阶原点矩就是数学期望，二阶中心矩就是方差，三阶中心矩描述分布的偏态，四阶中心矩描述分布的峰态。矩描述多个随机变量之间的线性相关程度。协方差矩阵的每个元素表示两个随机变量之间的协方差，对角线上的元素表示各个随机变量的方差。通过计算协方差矩阵的特征值和特征向量，可以对多个随机变量的数据进行主成分分析或因子分析。协方差矩阵矩、协方差矩阵大数定律与中心极限定理05弱大数定律（辛钦大数定律）01揭示了大量随机变量平均结果稳定性的定理，即随着试验次数的增加，频率趋于概率。02强大数定律在概率论中，强大数定律是比弱大数定律更严格的定理，它指出随着样本量的增加，样本均值几乎必然收敛于总体均值。03伯努利大数定律在n重伯努利试验中，事件A发生的次数nA/n依概率收敛于事件A发生的概率p。大数定律独立同分布的中心极限定理01当随机变量序列独立同分布，且具有有限的数学期望和方差时，无论随机变量的具体分布如何，其均值或和的分布都将随着样本量的增加而逐渐趋于正态分布。德莫佛-拉普拉斯定理02是二项分布以正态分布为其极限分布的一种特殊情形。当试验次数n足够大时，二项分布的图形趋于正态分布。李雅普诺夫中心极限定理03只要随机变量序列满足一定的条件，那么它们的标准化和的分布函数将收敛于标准正态分布。中心极限定理统计量及其分布060102统计量定义统计量是基于样本数据计算出来的数值，用于描述样本特征或推断总体性质。统计量性质统计量应具有代表性、无偏性、一致性和充分性等性质。统计量的定义及性质均值方差样本方差的分布随着样本量的增大逐渐趋近于卡方分布。标准差样本标准差的分布性质与方差类似。样本均值的分布随着样本量的增大逐渐趋近于正态分布。协方差和相关系数用于描述两个随机变量之间的线性关系，其分布性质与均值和方差类似。常用统计量及其分布当总体分布未知时，无论总体服从什么分布，只要样本量足够大，样本均值的分布就近似于正态分布。中心极限定理随着试验次数的增加，频率趋于稳定，即事件发生的频率接近于该事件发生的概率。大数定律当总体服从正态分布且总体方差未知时，样本均值经过标准化处理后的分布服从t分布。t分布定理抽样分布定理参数估计07最大似然估计法根据样本数据，选择使得似然函数达到最大值的参数值作为估计值。矩估计法利用样本矩来估计总体矩，从而获得参数的估计值。贝叶斯估计法在给定先验分布和样本数据的情况下，利用贝叶斯公式计算后验分布，并根据后验分布进行参数估计。点估计方法利用样本数据构造一个置信区间，该区间以一定的置信水平包含了未知参数的真值。置信区间法通过对样本数据进行重复抽