2023年中考数学专题训练：几何综合解答题（含答案）

中考数学专题训练：几何综合解答题及解答一、济南中考示例：2022济南中考:26（本题满分12分）.如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE．（1）判断线段BD与CE的数量关系并给出证明；（2）延长ED交直线BC于点F．①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为_______；②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数，并说明理由．二、针对性训练：（2021济南中考，26题满分12分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在边BC上，BD＝BC，将线段DB绕点D顺时针旋转至DE，记旋转角为α，连接BE，CE，以CE为斜边在其一侧作等腰直角三角形CEF，连接AF．（1）如图1，当α＝180°时，请直接写出线段AF与线段BE的数量关系；（2）当0°＜α＜180°时，①如图2，（1）中线段AF与线段BE的数量关系是否仍然成立？请说明理由；②如图3，当B，E，F三点共线时，连接AE，判断四边形AECF的形状，并说明理由．2.小华同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．（一）猜测探究：在△ABC中，AB＝AC，M是平面内任意一点，将线段AM绕点A按顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AN，连接NB．如图1，若M是线段BC上的任意一点，请直接写出∠NAB与∠MAC的数量关系是，NB与MC的数量关系是；如图2，点E是AB延长线上点，若M是∠CBE内部射线BD上任意一点，连接MC，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．拓展应用：如图3，在△A1B1C1中，A1B1＝8，∠A1B1C1＝90°，∠C1＝30°，P是B1C1上的任意点，连接A1P，将A1P绕点A1按顺时针方向旋转60°，得到线段A1Q，连接B1Q．求线段B1Q长度的最小值．（1）问题发现：如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为BC的中点，以CD为一边作正方形CDEF，点E与点A重合，已知△ACF∽△BCE．请直接写出线段BE与AF的数量关系；实验研究：在（1）的条件下，将正方形CDEF绕点C旋转至如图2所示的位置，连接BE，CE，AF．请猜想线段BE和AF的数量关系，并证明你的结论；结论运用：在（1）（2）的条件下，若△ABC的面积为8，当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时，请求出线段AF的长．（1）【问题背景】如图①，已知△ABC∽△ADE，请直接写出图中的另外一对相似三角形：；【尝试应用】如图②，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，求的值和∠DCE的度数；（3）【拓展创新】如图③，D是△ABC内一点，∠BAD＝∠CBD＝30°，∠BDC＝90°，AB＝2，AC＝3，请直接写出AD的长．在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，点D在斜边BC上，且满足BD＝BC，将线段DB绕点D顺时针旋转至DE，记旋转角为α，连接CE，BE，以CE为斜边在其右侧作直角三角形CEF，且∠CFE＝90°，∠ECF＝60°，连接AF．（1）如图1，当α＝180°时，请直接写出线段BE与线段AF的数量关系；（2）当0°＜α＜180°时，①如图2，（1）中线段BE与线段AF的数量关系是否仍然成立？请说明理由；②当B，E，F三点共线时，如图3，连接AE，若AE＝3，请直接写出cos∠EFA的值及线段BC的值．6.在等腰△ABC中，AC＝BC，△ADE是直角三角形，∠DAE＝90°，∠ADE＝∠ACB，连接BD，BE，点F是BD的中点，连接CF．（1）当∠CAB＝45°时．①如图1，当顶点D在边AC上时，请直接写出∠EAB与∠CBA的数量关系是．线段BE与线段CF的数量关系是；②如图2，当顶点D在边AB上时，（1）中线段BE与线段CF的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由；学生经过讨论，探究出以下解决问题的思路，仅供大家参考：思路一：作等腰△ABC底边上的高CM，并取BE的中点N，再利用三角形全等或相似有关知识来解决问题；思路二：取DE的中点G，连接AG，CG，并把△CAG绕点C逆时针旋转90°，再利用旋转性质、三角形全等或相似有关知识来解快问题．当∠CAB＝30°时，如图3，当顶点D在边AC上时，写出线段BE与线段CF的数量关系，并说明理由．7．如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E两点分别在AC，BC上，且DE∥AB，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现：当α＝0°时，的值为．（2）拓展探究：当0°≤α＜360°时，若△EDC转到如图2的情况时，求出的值．（3）问题解决：当△EDC旋转至A，B，E三点共线时，若设CE＝4，AC＝3，直接写出线段BE的长．8.某数学活动小组在一次活动中,对一个数学问题作如下探究：问题发现：如图1，在等边三角形ABC中，点M是边BC上任意一点，连接AM，以AM为边作等边△AMN，连接CN，发现：CN与AB的位置关系；BM与CN的数量关系．变式探究：如图2，在等腰△ABC中，BA=BC，∠ABC=∠α，点M为边BC上任意一点，以AM为腰作等腰△AMN，MA=MN，使∠AMN=∠ABC，连接CN，证明：．解决问题：如图3，在正方形ADBC中，点M为边BC上一点，以AM为边作正方形作AMEF，N为正方形AMEF对角线的交点，连接CN，若正方形AMEF的边长为，CN=，请你求正方形ADBC的边长．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，以CA为边在∠ACB的另一侧作∠ACM＝∠ACB，点D为射线BC上任意一点，在射线CM上截取CE＝BD，连接AD、DE、AE．（1）如图1，当点D落在线段BC的延长线上时，直接写出∠ADE的度数；（2）如图2，当点D落在线段BC（不含边界）上时，AC与DE交于点F，请问（1）中的结论是否仍成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；（3）在（2）的条件下，若AB＝6，求CF的最大值．10.某学习小组的学生在学习中遇到了下面的问题：如图1，在△ABC和△ADE中，∠ACB=∠AED=90°，∠CAB=∠EAD=60°，点E，A，C在同一条直线上，连接BD，点F是BD的中点，连接EF，CF，试判断△CEF的形状并说明理由．问题探究：（1）小婷同学提出解题思路：先探究△CEF的两条边是否相等，如EF=CF，以下是她的证明过程证明：延长线段EF交CB的延长线于点G．∵F是BD的中点，∴BF=DF．∵∠ACB=∠AED=90°，∴ED∥CG．∴∠BGF=∠DEF．又∵∠BFG=∠DFE，∴△BGF≌△DEF（AAS）．∴EF=FG．∴CF=EF=EG．请根据以上证明过程，解答下列两个问题：①在图1中作出证明中所描述的辅助线；②在证明的括号中填写理由（请在SAS，ASA，AAS，SSS中选择）．（2）在（1）的探究结论的基础上，请你帮助小婷求出∠CEF的度数，并判断△CEF的形状．问题拓展：如图2，当△ADE绕点A逆时针旋转某个角度时，连接CE，延长DE交BC的延长线于点P，其他条件不变，判断△CEF的形状并给出证明．中考数学专题训练：几何综合解答题及解答一、济南中考示例：2022济南中考:26证明：∵是等边三角形，∴，．∵线段绕点A按逆时针方向旋转得到，∴，，∴，∴，即．在和中，∴，∴；（2）①理由：∵线段绕点A按逆时针方向旋转得到，∴是等边三角形，∴，由（1）得，∴；②过点A作于点G，连接AF，如下图．∵是等边三角形，，∴，∴．∵是等边三角形，点F为线段BC中点，∴，，，∴，∴，，∴，即，∴，∴．∵，，∴，即是等腰直角三角形，∴．二、针对性训练：1.解：（1）如图1，当α＝180°时，点E在线段BC上，∵BD＝BC，∴DE＝BD＝BC，∴BD＝DE＝EC，∵△CEF是等腰直角三角形，∴∠CEF＝∠BAC＝90°，∵∠ECF＝∠BCA＝45°，∴△ABC∽△FEC，∴＝＝，∴＝＝，∵BC＝AC，∴＝＝，∴＝，即＝＝，∴＝•＝×＝；（2）①＝仍然成立.理由如下：如图2，∵△CEF是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，＝，∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠BCA＝45°，＝，∴∠ECF＝∠BCA，＝，∴∠ACF+∠ACE＝∠BCE+∠ACE，∴∠ACF＝∠BCE，∵＝，∴△CAF∽△CBE，∴＝＝，∴＝仍然成立．②四边形AECF是平行四边形．理由如下：如图3，过点D作DG⊥BF于点G，由旋转得：DE＝BD＝BC，∵∠BGD＝∠BFC＝90°，∠DBG＝∠CBF，∴△BDG∽△BCF，∴＝＝＝，∵BD＝DE，DG⊥BE，∴BG＝EG，∴BG＝EG＝EF，∵EF＝CF，∴CF＝BG＝BF，由①知，AF＝BE＝BG＝CF＝CE，∵△CAF∽△CBE，∴∠CAF＝∠CBE，∠ACF＝∠BCE，∵∠CEF＝∠CBE+∠BCE＝45°，∠BCE+∠ACE＝∠ACB＝45°，∴∠CBE＝∠ACE，∴∠CAF＝∠ACE，∴AF∥CE，∵AF＝CE，∴四边形AECF是平行四边形．2.解：（1）由旋转知，AM＝AN，∠BAC＝∠NAM，∴∠BAC﹣∠BAM＝∠NAM﹣∠BAM，即：∠MAC＝∠NAB∵AB＝AC，∴△CAM≌△BAN（SAS），∴MC＝NB，故答案为∠NAB＝∠MAC，MC＝NB；（2）（1）中结论仍然成立，理由：由旋转知，AM＝AN，∠BAC＝∠NAM，∴∠BAC﹣∠BAM＝∠NAM﹣∠BAM，即：∠MAC＝∠NAB，∵AB＝AC，∴△CAM≌△BAN（SAS），∴MC＝NB；（3）如图3，取A1C1的中点O，则C1O＝A1O＝A1C1，在Rt△A1B1C1中，∠C1＝30°，∴A1B1＝A1C1，∠B1A1C1＝90°﹣∠C1＝60°，∴C1O＝A1O＝A1B1＝8，由旋转知，A1P＝A1Q，∠QA1P＝60°，∴∠B1A1C1＝∠QA1P，∴∠PA1C1＝∠B1A1Q，∴△PA1O≌△QA1B1（SAS），∴OP＝B1Q，要线段B1Q长度的最小，则线段OP长度最小，而点O是定点，则OP⊥B1C1时，OP最小，在Rt△OPC1中，∠C1＝30°，OC1＝8，∴OP＝OC1＝4，即：线段B1Q长度的最小值为4．3.解：（1）如图1，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵四边形CDEF是正方形，∴EF＝CF，∠F＝90°，∴∠FEC＝∠FCE＝45°，∴∠FEC＝∠B，∠FCE＝∠ACB，∵点E与点A重合，∴∠FEC＝∠FAC＝∠B，∠FCE＝∠FCA＝∠ACB，AB＝BE，∴△ACF∽△BCE；∴，∵＝sinB＝sin45°＝，∴＝，∴BE＝AF．（2）BE＝AF．证明：如图2，由（1）得，＝sinB＝sin45°＝，∵四边形CDEF是正方形，∴EF＝CF，∠EFC＝90°，∴∠FEC＝∠FCE＝45°，∴＝sin∠FEC＝sin45°＝，∴＝＝，∵∠ACF＝∠BCE＝45°﹣∠ACE，∴△ACF∽△BCE，∴＝，∴BE＝AF．（3）如图1，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为BC的中点，∴AD＝BC，AD⊥BC，∴BC＝2AD，∵△ABC的面积为8，∴BC•AD＝8，∴AD2＝8，∴AD＝，∴BC＝，∵点E与点A重合，四边形CDEF是正方形，∴EF＝CF＝DE＝AD＝；如图2，B、E、F三点共线且点E在线段BF上，∵∠BFC＝90°，∴BF＝＝＝，∴BE＝BF﹣EF＝﹣，∵BE＝AF．∴AF＝﹣，∴AF＝；如图3，B、E、F三点共线且点F在线段BE上，则BE＝BF+EF＝+，∵BE＝AF．∴AF＝+，∴AF＝，综上所述，线段AF的长为或．4.解：（1）【问题背景】证明：∵△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，，∴∠BAD＝∠CAE，，∴△ABD∽△ACE，故答案为：△ABD∽△ACE；（2）【尝试应用】解：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，∴△ABC∽△ADE，∴＝，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE，∴，∠ACE＝∠B＝30°，在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，∴＝tan30°＝，∴，∵∠BAC＝90°，∠B＝30°，∴∠ACB＝60°，∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝90°；（3）【拓展创新】解：如图③，过点A作AB的垂线，过点D作AD的垂线，两垂线交于点M，连接BM，∵∠BAD＝30°，∴∠DAM＝60°，∴∠AMD＝30°，∴∠AMD＝∠DBC，又∵∠ADM＝∠BDC＝90°，∴△BDC∽△MDA，∴，又∠BDC＝∠ADM，∴∠BDC+∠CDM＝∠ADM+∠CDM，即∠BDM＝∠CDA，∴△BDM∽△CDA，∴＝，∵AC＝3，∴BM＝3，∴AM＝＝＝，∴AD＝AM＝．5.解：（1）∵∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，∴AC＝BC，∵BD＝BC，将线段DB绕点D顺时针旋转至DE，∴BD＝DE＝BC，BE＝CB，∴CE＝CB，∵∠CFE＝90°，∠ECF＝60°，∴∠CEF＝30°，∴CF＝CE＝CB，∴AF＝AC﹣CF＝CB，∴BE＝2AF；故答案为：BE＝2AF；（2）①结论仍然成立，理由如下：∵∠BCA＝∠ECF＝60°，∴∠BCE＝∠ACF，又∵，∴△CBE∽△CAF，∴，∴BE＝2AF；②∵B，E，F三点共线，∴∠CEB+∠CEF＝180°，∴∠CEB＝150°，∵△CBE∽△CAF，∴∠CEB＝∠AFC＝150°，∴∠EFA＝150°﹣90°＝60°，∴cos∠EFA＝cos60°＝；如图3，过点D作DH⊥BE于H，∵BD＝DE，DH⊥BE，∴BH＝HE，∵BE＝2AF，∴BH＝HE＝AF，∵DH⊥BE，CF⊥BE，∴DH∥CF，∴，∴HF＝2BH，∴EF＝HE＝BH，∴EF＝AF，∴△EFA是等边三角形，∴EF＝AE＝AF＝3，∴BE＝6，CF＝，∴BC＝＝2．6.解：（1）①如图1中，连接BE，设DE交AB于T．∵CA＝CB，∠CAB＝45°，∴∠CAB＝∠ABC＝45°，∴∠ACB＝90°，∵∠ADE＝∠ACB＝45°，∠DAE＝90°，∴∠ADE＝∠AED＝45°，∴AD＝AE，∵∠DAT＝∠EAT＝45°，∴AT⊥DE，DT＝ET，∴AB垂直平分DE，∴BD＝BE，∵∠BCD＝90°，DF＝FB，∴CF＝BD，∴CF＝BE．∵∠CBA＝45°，∠EAB＝45°，∴∠EAB＝∠ABC．故答案为：∠EAB＝∠ABC，CF＝BE．②结论不变．解法一：如图2﹣1中，取AB的中点M，BE的中点N，连接CM，MN．∵∠ACB＝90°，CA＝CB，AM＝BM，∴CM⊥AB，CM＝BM＝AM，设AD＝AE＝y．FM＝x，DM＝a，则DF＝FB＝a+x，∵AM＝BM，∴y+a＝a+2x，∴y＝2x，即AD＝2FM，∵AM＝BM，EN＝BN，∴AE＝2MN，MN∥AE，∴MN＝FM，∠BMN＝∠EAB＝90°，∴∠CMF＝∠BMN＝90°，∴△CMF≌△BMN（SAS），∴CF＝BN，∵BE＝2BN，∴CF＝BE．解法二：如图2﹣2中，取DE的中点G，连接AG，CG，并把△CAG绕点C逆时针旋转90°得到△CBT，连接DT，GT，BG．∵AD＝AE，∠EAD＝90°，EG＝DG，∴AG⊥DE，∠EAG＝∠DAG＝45°，AG＝DG＝EG，∵∠CAB＝45°，∴∠CAG＝90°，∴AC⊥AG，∴AC∥DE，∵∠ACB＝∠CBT＝90°，∴AC∥BT∥BD，∵AG＝BT，∴DG＝BT＝EG，∴四边形BEGT是平行四边形，四边形DGBT是平行四边形，∴BD与GT互相平分，∵点F是BD的中点，∴BD与GT交于点F，∴GF＝FT，∵△GCT是等腰直角三角形，∴CF＝FG＝FT，∴CF＝BE．（2）结论：BE＝2CF．理由：如图3中，取AB的中点T，连接CT，FT．∵CA＝CB，∴∠CAB＝∠CBA＝30°，∠ACB＝120°，∵AT＝TB，∴CT⊥AB，∴AT＝CT，∴AB＝2CT，∵DF＝FB，AT＝TB，∴TF∥AD，AD＝2FT，∴∠FTB＝∠CAB＝30°，∵∠CTB＝∠DAE＝90°，∴∠CTF＝∠BAE＝60°，∵∠ADE＝∠ACB＝60°，∴AE＝AD＝2FT，∴＝＝2，∴△BAE∽△CTF，∴＝＝2，∴BE＝2CF．7．解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴△ABC为等腰直角三角形，∠B＝45°，∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠B＝45°，∠CDE＝∠A＝90°，∴△DEC为等腰直角三角形，∴cosC＝＝，∵DE∥AB，∴＝＝，故答案为：；（2）由（1）知，△BAC和△CDE均为等腰直角三角形，∴＝＝，又∠BCE＝∠ACD＝α，∴△BCE∽△ACD，∴＝＝，即＝；（3）①如图3﹣1，当点E在线段BA的延长线上时，∵∠BAC＝90°，∴∠CAE＝90°，∴AE＝＝＝，∴BE＝BA+AE＝3+；②如图3﹣2，当点E在线段BA上时，AE＝＝，∴BE＝BA﹣AE＝3﹣，综上所述，BE的长为3±故答案为：3±8.解：问题发现∵△ABC，△AMN为等边三角形，∴AB＝AC，AM＝AN且∠BAC＝∠MAN＝∠B=60°∴∠BAC﹣∠CAM＝∠MAN﹣∠CAM，∴∠BAM＝∠CAN，在△BAM与△CAN中，∴△BAM≌△CAN，∴BM＝CN．∠ACN=∠B=60°∴∠BAC＝∠ACN=60°∴AB//CN变式探究：∵BA=BC，MA=MN，∠AMN=∠ABC，∴且∠ABC＝∠AMN，∴△ABC～△AMN，∵AB＝BC，∠ABC=∠α，∴，∵AM＝MN，∠AMN=∠ABC=∠α，∴，∴∠BAC＝∠MAN，∴∠BAM＝∠CAN，∴△ABM～△ACN，解决问题：如图3，连接AB，AN．∵四边形ADBC，AMEF为正方形，∴∠ABC＝∠BAC＝45°∠MAN＝45°，∴∠BAC﹣∠MAC＝∠MAN﹣∠MAC即∠BAM＝∠CAN，∵N为正方形AMEF对角线的交点，AB为正方形ACBD对角线，∴△ABM～△ACN，∴∴，∴∴BM＝2，设AC＝x，在Rt△AMC，AC2+CM2＝AM2即x2+（x﹣2）2＝10，解得：x1＝3，x2＝﹣1（舍去），答：边长为3．9.解：（1）∠ADE＝30°．理由如下：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠ABC＝∠ACB＝30°，∵∠ACM＝∠ACB，∴∠ACM＝∠ABC，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE，∴AD＝AE，∠CAE＝∠BAD，∴∠DAE＝∠BAC＝120°，∴∠ADE＝30°；（2）（1）中的结论成立，证明：∵∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝30°．∵∠ACM＝∠ACB，∴∠B＝∠ACM＝30°．在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE．∴AD＝