2023年九年级中考数学一轮专题复习考点突破练习－特殊三角形

特殊三角形1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，则∠ACD的度数为()A．70° B．100° C．110° D．140°2．△ABC的三边长a，b，c满足(a－b)2＋eq\r(2a－b－3)＋|c－3eq\r(2)|＝0，则△ABC是()A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形3．如图，△OAB的顶点O(0，0)，顶点A，B分别在第一、四象限，且AB⊥x轴．若AB＝6，OA＝OB＝5，则点A的坐标是()A．(5，4) B．(3，4) C．(5，3) D．(4，3)4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，D是BC上的点，DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，那么四边形AEDF的周长是()A．5 B．10 C．15 D．205．在△ABC和△A′B′C′中，∠B＝∠B′＝30°，AB＝A′B′＝6，AC＝A′C′＝4，已知∠C＝n°，则∠C′的度数为()A．30° B．n° C．n°或180°－n° D．30°或150°6．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点D在边AC上，且BD平分△ABC的周长，则BD的长是()A.eq\r(5) B.eq\r(6) C.eq\f(6\r(5),5) D.eq\f(3\r(6),4)7．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线．若AB＝5，BC＝6，则AD的长度为________．8．若(a－3)2＋eq\r(b－5)＝0，则以a，b为边长的等腰三角形的周长为____________．9．将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α＝60°，点B，C表示的刻度分别为1cm，3cm，则线段AB的长为________cm.10．如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，点E为AC的中点．若AC＝8，CD＝5，则DE＝________.11．如图，△ABC中，若AB＝AC，AD＝BD，∠CAD＝24°，则∠C＝________°.12.如图，BD是等边三角形ABC的中线，以点D为圆心，DB的长为半径画弧，交BC的延长线于点E，连接DE.求证：CD＝CE.13．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D，AE⊥BC于点E.已知∠ABC＝60°，∠C＝45°.(1)求证：AB＝BD；(2)若AE＝3，求△ABC的面积．14．如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段AB，CD交于点F.若∠CFB＝α，则∠ABE等于()A．180°－α B．180°－2α C．90°＋α D．90°＋2α15．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝45°，以AB为腰作等腰直角三角形BAE，顶点E恰好落在CD边上．若AD＝1，则CE的长是()A.eq\r(2) B.eq\f(\r(2),2) C．2 D．116．如图，O是等边三角形ABC内一点，OA＝2，OB＝1，OC＝eq\r(3)，则△AOB与△BOC的面积之和为()A.eq\f(\r(3),4) B.eq\f(\r(3),2) C.eq\f(3\r(3),4) D.eq\r(3)17．我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a，b，斜边长为c.若b－a＝4，c＝20，则每个直角三角形的面积为________．18．如图，边长为2的等边三角形ABC的两个顶点A，B分别在两条射线OM，ON上滑动．若OM⊥ON，则OC的最大值是________．19．如图，C为线段AB上一点，分别以AC，BC为等腰三角形的底边，在AB的同侧作等腰三角形ACD和等腰三角形BCE，且∠A＝∠CBE.在线段EC上取一点F，使EF＝AD，连接BF，DE.如图，求证：DE＝BF.20．如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上运动，满足AD＝BE＝CF.(1)求证：△ADF≌△BED；(2)设AD的长为x，△DEF的面积为y，求y关于x的函数表达式；(3)结合(2)所得的函数，描述△DEF的面积随AD的增大如何变化．

参考答案1．C2.D3.D4.B5.C6.C 7．C8.A9.C10．411.11或1312.213.314.5215．证明：如图，∵BD为等边三角形ABC的中线，∴BD⊥AC，∠1＝60°，∴∠3＝30°.∵BD＝DE，∴∠E＝∠3＝30°.∵∠2＋∠E＝∠1＝60°，∴∠E＝∠2＝30°，∴CD＝CE.16．(1)证明：∵BD平分∠ABC，∠ABC＝60°，∴∠DBC＝eq\f(1,2)∠ABC＝30°.∵∠C＝45°，∴∠ADB＝∠DBC＋∠C＝75°，∠BAC＝180°－∠ABC－∠C＝75°，∴∠BAC＝∠ADB，∴AB＝BD.(2)解：在Rt△ABE中，∠ABC＝60°，AE＝3，∴BE＝eq\f(AE,tan∠ABC)＝eq\r(3).在Rt△AEC中，∠C＝45°，AE＝3，∴EC＝eq\f(AE,tanC)＝3，∴BC＝3＋eq\r(3)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)BC·AE＝eq\f(9＋3\r(3),2).17．9618.1＋eq\r(3)19．证明：∵△ACD和△BCE都是等腰三角形，∴AD＝CD，EC＝EB，∠A＝∠DCA.∵∠A＝∠CBE，∴∠DCA＝∠CBE，∴CD∥BE，∴∠DCE＝∠BEF.∵EF＝AD，∴EF＝CD.在△DCE和△FEB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(CD＝EF，,∠DCE＝∠FEB，,EC＝EB，))∴△DCE≌△FEB(SAS)，∴DE＝BF.20．(1)证明：∵△ABC是边长为4的等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC＝4.∵AD＝BE＝CF，∴AF＝BD＝CE.在△ADF和△BED中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AF＝BD，,∠A＝∠B，,AD＝BE，))∴△ADF≌△BED(SAS)．(2)解：如图，分别过点C，F作CH⊥AB，FG⊥AB，垂足分别为H，G.在等边三角形ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，AB＝BC＝AC＝4，∴CH＝AC·sin60°＝2eq\r(3)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)AB·CH＝4eq\r(3).设AD的长为x，则AD＝BE＝CF＝x，AF＝4－x，∴FG＝AF·sin60°＝eq\f(\r(3),2)(4－x)，∴S△ADF＝eq\f(1,2)AD·FG＝eq\f(\r(3),4)x(4－x)，同理(1)可知△ADF≌△BED≌△CFE，∴S△ADF＝S△BED＝S△CFE＝eq\f(\r(3),4)x(4－x)．∵△DEF的面积为y，∴y＝S△ABC－3S△ADF＝4eq\r(3)－eq\f(3\r(3),4)x(4－x)＝eq\f(3\r(3),4)x2－3eq\r(3)x＋4eq\r(3).(3)解：由(2)可知y＝eq\f(3\r(3),4)x2－3eq\r(3