强基计划专题练01 集合与常用逻辑用语（原卷版）

专题训练01集合与常用逻辑用语一、单选题1．已知椭圆的两焦点为，，x轴上方两点A，B在椭圆上，与平行，交于P.过P且倾斜角为的直线从上到下依次交椭圆于S，T.若，则“为定值”是“为定值”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不必要也不充分条件2．已知数列为正项等比数列，且，则“”是“”的（）A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．若集合且，则称构成的一个二次划分.任意给定一个正整数，可以给出整数集的一个次划分，其中表示除以余数为的所有整数构成的集合.这样我们得到集合，称作模的剩余类集.模的剩余类集可定义加减乘三种运算，如，（其中为除以的余数）.根据实数中除法运算可以根据倒数的概念转化为乘法，因此要定义除法运算只需通过定义倒数就可以了，但不是所有中都可以定义除法运算.如果该集合还能定义除法运算，则称它能构成素域.那么下面说法错误的是（）A．能构成素域当且仅当是素数 B．C．是最小的素域（元素个数最少） D．4．设集合，集合是集合的非空子集，中最大元素和最小元素的差称为集合的长度，那么集合所有长度为的子集的元素个数之和为（）A． B． C． D．5．设集合，，下列说法正确的是（）A． B． C． D．二、多选题6．设数集满足下列两个条件：（1）；（2），若则.则下论断正确的是（）A．中必有一个为0B．a，b，c，d中必有一个为1C．若且，则D．，使得三、解答题7．已知集合，若集合，且对任意的，存在，，使得（其中），则称集合为集合的一个元基底．(1)分别判断下列集合是否为集合的一个二元基底，并说明理由；①，；②，．(2)若集合是集合的一个元基底，证明：；(3)若集合为集合的一个元基底，求出的最小可能值，并写出当取最小值时的一个基底．8．给定整数，由元实数集合定义其相伴数集，如果，则称集合S为一个元规范数集，并定义S的范数为其中所有元素绝对值之和.(1)判断、哪个是规范数集，并说明理由；(2)任取一个元规范数集S，记、分别为其中最小数与最大数，求证：；(3)当遍历所有2023元规范数集时，求范数的最小值.注：、分别表示数集中的最小数与最大数.9．我们称为“花式集合”，如果它满足如下三个条件：（a）；（b）的每个元素都是包含于中的闭区间（元素可重复）；（c）对于任意实数中包含的元素个数不超过1011.对于“花式集合”和区间，用表示使得的对的数量.求的最大值.10．设数集满足：①任意，有；②任意x，，有或，则称数集具有性质.(1)判断数集和是否具有性质，并说明理由；(2)若数集且具有性质.（i）当时，求证：，，…，是等差数列；（ii）当，，…，不是等差数列时，求的最大值.11．已知定义城为的函数，若存在实数，使得对任意，都存在满足，则称函数具有性质．(1)判断下列函数是否具有性质，无需说明理由；①；②(2)若函数的定义域为，且具有性质，则“有解”是“”的__________条件（横线上填“充分非必要”、“必要非充分”、“充分必要”、“既非充分又非必要”），并证明你的结论；(3)若存在唯一的实数，使得函数，具有性质，求实数的值．12．令.(1)若，，试写出的解析式并求的最小值；(2)已知是严格增函数，是周期函数，是严格减函数，，求证：是严格增函数的充要条件：对任意的，，.13．A是由定义在上且满足如下条件的函数组成的集合：①对任意的，都有；②存在常数，使得对任意的，都有．(1)设，证明：；(2)设，如果存在，使得，那么这样的是唯一的；(3)设，任取，令，证明：给定正整数k，对任意的正整数p，不等式成立．14．已知正整数，集合.对于中的元素，，定义，令.(1)直接写出的两个元素及的元素个数；(2)已知，，…，，满足对任意，都有，求m的最大值；(3)证明：对任意，，…，，总存在，使得.15．设集合中至少有两个元素，且S，T满足：①对于任意，若，都有；②对于任意，若，则．(1)分别对和，求出对应的；(2)如果当S中恰有三个元素时，中恰有4个元素，证明：S中最小的元素是1；(3)如果S恰有4个元素，求的元素个数．16．设为实数，定义生成数列和其特征数列如下：（i）；（ii），其中.(1)直接写出生成数列的前4项；(2)判断以下三个命题的真假并说明理由；①对任意实数，都有；②对任意实数，都有；③存在自然数和正整数，对任意自然数，有，其中为常数.(3)从一个无穷数列中抽出无穷多项，依原来的顺序组成一个新的无穷数列，若新数列是递增数列，则称之为原数列的一个无穷递增子列.求证：对任意正实数生成数列存在无穷递增子列.17．给定正整数m，数列，且.对数列A进行T操作，得到数列.(1)若，，，，求数列；(2)若m为偶数，，且，求数列各项和的最大值；(3)若m为奇数，探索“数列为常数列”的充要条件，并给出证明.18．设且，集合，若对的任意元子集，都存在，满足：，，且为偶数，则称为理想集，并将的最小值记为.(1)当时，是否存在理想集？若存在，求出相应的；若不存在，请说明理由；(2)当时，是否存在理想集？若存在，直接写出对应的以及满足条件的；若不存在，请说明理由；(3)证明：当时，.19．对非空数集，，定义与的和集.对任意有限集，记为集合中元素的个数.(1)若集合，，写出集合与；(2)若集合满足，，且，求证：数列，，，是等差数列；(3)设集合