上海新古北中学高二数学理模拟试卷含解析

上海新古北中学高二数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知一个边长为1的正方体的8个顶点都在同一球面上，则该球的直径为（

）A.1

B.

C.

D.2参考答案：C略2.设F1、F2是椭圆（a>b>0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为(

)A． B． C． D．参考答案：C考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P为直线x=上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．解答：解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，∴|PF2|=|F2F1|∵P为直线x=上一点∴∴故选C．点评：本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题．3.把15个相同的小球放到三个编号为1,2,3的盒子中，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数，则共有多少种放法（

）A.18 B.28 C.38 D.42参考答案：B【分析】根据题意，先在1号盒子里放1个球，在2号盒子里放2个球，在3号盒子里放3.个球，则原问题可以转化为将剩下的9个小球，放入3个盒子，每个盒子至少放1个的问题，由挡板法分析可得答案．【详解】根据题意，15个相同的小球放到三个编号为1,2,3的盒子中，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数，先在1号盒子里放1个球，在2号盒子里放2个球，在3号盒子里放3个球，则原问题可以转化为将剩下的9个小球，放入3个盒子，每个盒子至少放1个的问题，将剩下的9个球排成一排，有8个空位，在8个空位中任选2个，插入挡板，有种不同的放法，即有28个不同的符合题意的放法；故选B．【点睛】本题考查排列、组合的应用，关键是将原问题转化为将个球放入个盒子的问题，属于基础题．4.在一次马拉松比赛中，30名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编号为1﹣30号，再用系统抽样方法从中抽取6人，则其中成绩在区间[130，151]上的运动员人数是（）A．3 B．4 C．5 D．6参考答案：C【考点】茎叶图．【分析】根据系统抽样方法的特征，将运动员按成绩由好到差分成6组，得出成绩在区间[130，151]内的组数，即可得出对应的人数．【解答】解：将运动员按成绩由好到差分成6组，则第1组为，第2组为，第3组为，第4组为，第5组为，第6组为，故成绩在区间[130，151]内的恰有5组，故有5人．故选：C．5.已知椭圆有相同的准线,则动点P(n,m)的轨迹为

A．椭圆的一部分

B．双曲线的一部分

C．抛物线的一部分

D．直线的一部分参考答案：解析:由已知得:,化简为,轨迹为椭圆的一部分.故选A.6.在面积为S的△ABC的边AC上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率是()A.

B.

C.

D.参考答案：C解析：如图，在△ABC中，点F是AC边的四等分点，设△ABC的高为AD，△FBC的高为FE，则FE＝AD，∴S△FBC＝S△ABC＝，要使△PBC的面积大于，则点P需在线段FA上选取，故P＝＝.答案：C7.曲线的参数方程为(t是参数)，则曲线是（

）A、线段B、双曲线的一支C、圆

D、射线参考答案：D8.准线为的抛物线的标准方程为（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C略9.已知函数的图象在点处的切线的斜率为3，数列的前项和为,则的值为

（

）参考答案：D略10.抛物线y2=12x上与焦点的距离等于7的点的横坐标是（）A．6 B．5 C．4 D．3参考答案：C【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线y2=12x的方程可得焦点F（3，0），准线方程为x=﹣3．再由抛物线的定义可得抛物线y2=12x上与焦点的距离等于7的点到准线x=3的距离也等于7，故有x+3=7，由此求得x的值，即为所求．【解答】解：∵抛物线y2=12x的焦点F（3，0），故准线方程为x=﹣3．根据抛物线的定义可得，抛物线y2=12x上与焦点的距离等于7的点到准线x=﹣3的距离也等于7，故有x+3=7，∴x=4，即与焦点的距离等于7的点的横坐标是4，故选C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.椭圆的焦点分别为,点P在椭圆上，如果线段的中点在y轴上，那么的

倍.参考答案：712.直线与平行,则实数______.参考答案：13.已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱和底面垂直，且所有棱长都相等，若该三棱柱的各顶点都在球O的表面上，且球O的表面积为7π，则此三棱柱的体积为．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体．【分析】通过球的内接体，说明几何体的中心是球的直径，由球的表面积求出球的半径，设出三棱柱的底面边长，通过解直角三角形求得a，然后由棱柱的体积公式得答案．【解答】解：如图，∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，6个顶点都在球O的球面上，∴三棱柱为正三棱柱，且其中心为球的球心，设为O，再设球的半径为r，由球O的表面积为7π，得4πr2=7π，∴r=．设三棱柱的底面边长为a，则上底面所在圆的半径为a，且球心O到上底面中心H的距离OH=，∴r2=（）2+（a）2，即r=a，∴a=．则三棱柱的底面积为S==．∴==．故答案为：．14.数列{an}中的前n项和Sn=n2﹣2n+2，则通项公式an=．参考答案：【考点】数列递推式．【分析】由已知条件利用公式求解．【解答】解：∵数列{an}中的前n项和Sn=n2﹣2n+2，∴当n=1时，a1=S1=1；当n＞1时，an=Sn﹣Sn﹣1=（n2﹣2n+2）﹣[（n﹣1）2﹣2（n﹣1）+2]=2n﹣3．又n=1时，2n﹣3≠a1，所以有an=．故答案为：．15.椭圆的半焦距为,若直线与椭圆的一个交点的横坐标恰为,则椭圆的离心率_________________.参考答案：16.已知函数，的最大值为4，则实数a的值为_______．参考答案：－5【分析】求导后，若，则，可验证出不合题意；当时，求解出的单调性，分别在，，三种情况下通过最大值取得的点构造关于最值的方程，解方程求得结果.【详解】由题意得：当时，，则在上单调递增，解得：，不合题意，舍去当时，令，解得：，可知在，上单调递减；在上单调递增①当，即时，解得：，不合题意，舍去②当，即时，，解得：③当，即时解得：，不合题意，舍去综上所述：本题正确结果：【点睛】本题考查根据函数的最值求解参数值的问题，关键是对于含有参数的函数，通过对极值点位置的讨论确定最值取得的点，从而可利用最值构造出方程，求解出参数的取值范围.17.一份试卷有10个题目，分为两组，每组5题，要求考生选择6题，且每组至多选择4题，则考生有

种不同的选答方法．参考答案：200略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知，函数．（1）当时，求函数在[0,2]上的最值；（2）若函数在(－1,1)上单调递增，求a的取值范围．参考答案：(1)见解析；(2)a≥.【分析】(1)当a＝2时，求得函数的导数，利用导数得出函数的单调性，即可求解函数的最值；(2)根据函数f(x)在(－1,1)上单调递增，转化为在(－1,1)上恒成立，再利用分离参数，转化为函数的最值问题，即可求解．【详解】(1)当a＝2时，f(x)＝(－x2＋2x)ex，f′(x)＝(－x2＋2)ex.令f′(x)=0，则x=－或x=当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x0(0，)(，2)2f′(x)

+0-

f(x)f(0)=0↗极大值f()↘f(2)=0所以，f(x)max=f()=(-2+2),f(x)min=f(0)=0.(2)因为函数f(x)在(－1,1)上单调递增，所以f′(x)≥0在(－1,1)上恒成立．又f′(x)＝[－x2＋(a－2)x＋a]ex，即[－x2＋(a－2)x＋a]ex≥0，注意到ex>0，因此－x2＋(a－2)x＋a≥0在(－1,1)上恒成立，也就是a≥＝x＋1－在(－1,1)上恒成立．设y＝x＋1－，则y′＝1＋>0，即y＝x＋1－在(－1,1)上单调递增，则y<1＋1－＝，故a≥.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性与，以及函数单调性，求解参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用．19.如图是某直三棱柱（侧棱与底面垂直）被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图，在直观图中，是的中点，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示.（Ⅰ）求出该几何体的体积;（Ⅱ）若是的中点，求证：平面；（Ⅲ）求证：平面平面.参考答案：如图是某直三棱柱（侧棱与底面垂直）被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图，在直观图中，是的中点，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示.（Ⅰ）求出该几何体的体积;（Ⅱ）若是的中点，求证：平面；（Ⅲ）求证：平面平面.解：(Ⅰ)由题意可知：四棱锥中，平面平面，

…………2分平面平面=所以，平面

…………4分又，则四棱锥的体积为：

…………6分(Ⅲ)

,是的中点,又平面平面平面

…………12分由(Ⅱ)知：平面

又平面所以，平面平面.

…………14分20.（本小题共13分）设数列的前项和．（Ⅰ）证明数列是等比数列；ks5*u（Ⅱ）若，且，求数列的前项和参考答案：（本小题共13分（Ⅰ）证：因为

，，所以当时，，整理得.由，令，得，解得.所以是首项为，公比是的等比数列.………6分（Ⅱ）解：由，得.所以从而.

.…………13分略21.设Sn是数列[an}的前n项和，．（1）求{an}的通项；（2）设bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．参考答案：【考点】数列递推式；数列的求和．【专题】计算题．【分析】（1）由条件可得n≥2时，，整理可得，故数列{}是以2为公差的等差数列，其首项为，由此求得sn．再由求出{an}的通项公式．（2）由（1）知，，用裂项法求出数列{bn}的前n项和Tn．【解答】解：（1）∵，∴n≥2时，，展开化简整理得，Sn﹣1﹣Sn=2Sn﹣1Sn，∴，∴数列{}是以2为公差的等差数列，其首项为．∴，．由已知条件可得．（2）由于，∴数列{bn}的前n项和，∴．【点