（聚焦典型）高三数学一轮复习《几何概型》理 新人教B版

[第61讲几何概型](时间：35分钟分值：80分)eq\a\vs4\al\co1(基础热身)1．[2013·武汉武昌区调研]在区间[—1，1]上随机取一个数k，使直线y＝k(x＋2)与圆x2＋y2＝1相交的概率为()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(\r(3),2)2．[2013·衡水一中调研]有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是()图K61－13．[2013·石家庄质检]已知函数y＝sinx，x∈[－π，π]与x轴围成的区域记为M，若随机向圆O：x2＋y2＝π2内投入一米粒，则该米粒落在区域M内的概率是()A.eq\f(4,π2)B.eq\f(4,π3)C.eq\f(2,π2)D.eq\f(2,π3)图K61－24．为了测算如图K61－2所示阴影部分的面积，作一个边长为6的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷800个点．已知恰有200个点落在阴影部分，据此，可估计阴影部分的面积是________________________________________________________________________．eq\a\vs4\al\co1(能力提升)5．[2013·邯郸一模]某人睡午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，则他等待时间不多于15分钟的概率为()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,4)C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,4)6．已知长方形ABCD中，AB＝4，BC＝1，M为AB的中点，则在此长方形内随机取一点P，P与M的距离小于1的概率为()A.eq\f(π,4)B．1－eq\f(π,4)C.eq\f(π,8)D．1－eq\f(π,8)图K61－37．[2013·临沂模拟]扇形AOB的半径为1，圆心角为90°.点C，D，E将弧AB等分成四份．连接OC，OD，OE，从图K61－3中所有的扇形中随机取出一个，面积恰为eq\f(π,8)的概率是()A.eq\f(3,10)B.eq\f(1,5)C.eq\f(2,5)D.eq\f(1,2)8．[2013·汕头质检]已知实数x∈[－1，1]，y∈[0，2]，则点P(x，y)落在区域eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y＋2≥0，,x－2y＋1≤0，,x＋y－2≤0))内的概率为()A.eq\f(3,16)B.eq\f(3,8)C.eq\f(3,4)D.eq\f(1,2)9．[2013·武汉调研]有一根长为1m的细绳子，随机从中间将细绳剪断，则使两截的长度都大于eq\f(1,8)m的概率为________．图K61－410．图K61－4(2)中实线围成的部分是长方体(图(1))的平面展开图，其中四边形ABCD是边长为1的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是eq\f(1,4)，则此长方体的体积为________．图K61－511．如图K61－5，矩形OABC内的阴影部分是由曲线f(x)＝sinx，x∈(0，π)及直线x＝a(a∈(0，π))与x轴围成，向矩形OABC内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为eq\f(3,16)，则a的值是________．12．(13分)[2013·吉林一模]记不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤1，,x－y＋2≥0，,x＋y＋1≥0))表示的平面区域为M.(1)画出平面区域M，并求平面区域M的面积；(2)若点(a，b)为平面区域M中任意一点，求直线y＝ax＋b的图象经过第一、二、四象限的概率．图K61－6eq\a\vs4\al\co1(难点突破)13．(12分)[2013·青岛一模]已知关于x的一元二次函数f(x)＝ax2－4bx＋1.(1)设集合P＝{1，2，3}和Q＝{－1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率；(2)设点(a，b)是区域eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－8≤0，,x>0，,y>0))内的随机点，记A＝{y＝f(x)有两个零点，其中一个大于1，另一个小于1}，求事件A发生的概率．

课时作业(六十一)【基础热身】1．C[解析]由于试验的全部结果构成的区域长度为1－(－1)＝2，圆x2＋y2＝1的圆心为(0，0)，要使直线y＝k(x＋2)与圆x2＋y2＝1相交，则圆心到直线y＝k(x＋2)的距离d＝eq\f(|2k|,\r(k2＋1))≤1，解得－eq\f(\r(3),3)≤k≤eq\f(\r(3),3)，根据几何概型的概率公式，可得所求的概率P＝eq\f(\f(2\r(3),3),2)＝eq\f(\r(3),3)，故选C.2．A[解析]利用几何概型的概率公式，得P(A)＝eq\f(3,8)，P(B)＝eq\f(2,8)，P(C)＝eq\f(2,6)，P(D)＝eq\f(1,3)，∴P(A)＞P(C)＝P(D)＞P(B)，故选A.3．B[解析]构成试验的全部区域为圆内的区域，面积为π3，正弦曲线y＝sinx(x∈[－π，π])与x轴围成的区域记为M，根据图形的对称性，得区域M的面积为S＝2eq\i\in(0,π,)sinxdx＝－2cosxeq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(,)))eq\s\up12(π)0＝4，所以由几何概型的计算公式可得，随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率P＝eq\f(4,π3)，故选B.4．9[解析]点落在阴影部分的频率是eq\f(200,800)＝eq\f(1,4)，由于是随机的投掷点，点落在正方形内各点是随机的，因此我们就有理由相信阴影部分的面积就是整个正方形面积的eq\f(1,4)，故阴影部分的面积约为eq\f(1,4)×36＝9.【能力提升】5．B[解析]由题意知问题与时间长度有关，可作为几何概型求解，因为电台整点报时，则事件总数包含的时间长度是60，设事件A表示“他等待的时间不多于15分钟”，事件A包含的时间长度是15，由几何概型的概率公式得到P(A)＝eq\f(15,60)＝eq\f(1,4)，故选B.6．C[解析]构成试验的全部区域为长方形ABCD的内部，长方形ABCD的面积为S＝4×1＝4；以M点为圆心，以1为半径在长方形ABCD中作半圆，则该半圆内的任一点与M的距离小于1，半圆的面积S1＝eq\f(1,2)π·12＝eq\f(1,2)π，因此P与M的距离小于1的概率为eq\f(\f(π,2),4)＝eq\f(π,8)，故选C.7．A[解析]依题意得知，图中共有10个不同的扇形，分别为扇形AOB，AOC，AOD，AOE，EOB，EOC，EOD，DOC，DOB，COB，其中面积恰为eq\f(π,8)的扇形即相应圆心角恰为eq\f(π,4)的扇形共有3个(即扇形AOD，EOC，BOD)，因此所求的概率等于eq\f(3,10)，故选A.8.B[解析]所求概率为图中阴影部分的面积与正方形面积的比值．正方形的面积为4，阴影部分的面积为正方形面积减去三个小直角三角形面积所得的差，其值为4－1－1－eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)，所以所求概率为P＝eq\f(3,2)÷4＝eq\f(3,8)，故选B.9.eq\f(3,4)[解析]选择长度为相应测度，试验的全部结果构成的区域长度为1，用A表示事件“两截的长度都大于eq\f(1,8)m”，则从中间将细绳剪断，剪得两段的长都大于eq\f(1,8)m，临界处为1－eq\f(1,8)×2＝eq\f(3,4)m，故使两截的长度都大于eq\f(1,8)m的概率P(A)＝eq\f(\f(3,4),1)＝eq\f(3,4).10．3[解析]设长方体的高为h，则图(2)中虚线围成的矩形长为2＋2h，宽为1＋2h，面积为(2＋2h)(1＋2h)，展开图的面积为2＋4h.由几何概型的概率公式知eq\f(2＋4h,（2＋2h）（1＋2h）)＝eq\f(1,4)，得h＝3，所以长方体的体积是V＝1×3＝3.11.eq\f(2π,3)[解析]构成试验的全部区域为长方形OABC的内部，长方形OABC的面积为S＝a×eq\f(8,a)＝8；阴影部分的面积S1＝eq\i\in(0,a,)sinxdx＝－cosxeq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(,)))eq\s\up12(a)0＝1－cosa，由几何概型的概率公式，得eq\f(S1,S)＝eq\f(3,16)，即eq\f(1－cosa,8)＝eq\f(3,16)，解得cosa＝－eq\f(1,2)，则a的值是eq\f(2π,3).12．解：(1)如图，△ABC的内部及其各条边就表示平面区域M，其中A－eq\f(3,2)，eq\f(1,2)，B(1，3)，C(1，－2)，∴平面区域M的面积为eq\f(1,2)×eq\f(5,2)×5＝eq\f(25,4).(2)要使直线y＝ax＋b的图象经过第一、二、四象限，则a<0，b>0，又点(a，b)的区域为M，故使直线y＝ax＋b的图象经过第一、二、四象限的点(a，b)的区域为第二象限的阴影部分，故所求的概率为P＝eq\f(2－\f(1,2)×\f(1,2)×1,\f(25,4))＝eq\f(7,25).【难点突破】13．解：(1)∵函数f(x)＝ax2－4bx＋1的图象的对称轴为x＝eq\f(2b,a)，要使f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，当且仅当a>0且eq\f(2b,a)≤1，即2b≤a.当a＝1时，b＝－1；当a＝2时，b＝－1，1；当a＝3时，b＝－1，1.记B＝{函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数}，则事件B包含基本事件的个数是1＋2＋2＝5，∴P(B)＝eq\f(5,15)＝eq\f(1,3).(2)依条件可知试验的全部结果所构成的区域为Ω＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（a，b）\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a＋b－8≤0，,a>0，,b>0))))))，其面积SΩ＝eq\f(1,2)×8×8＝32，事件A构成的区域A＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（a，b）\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a＋b－8≤0，,a>0，,b>0，,f（1）<0))))＝\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（a，b）\b\lc\|(\a\vs4\