2023年上海市崇明区某中学高二数学第二学期期末经典模拟试题（含解析）

2022-2023高二下数学模拟试卷

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知反=1—i（i为虚数单位），则2=

A.-1+zB.-1-iC.1+zD.\-i

2.某几何体的三视图如图所示，当。+。=4时，这个几何体的体积为（）

马国

正视图

k

但视图

142

A.1B.-C.-D.-

233

3.下列函数中，既是偶函数，又在区间（0,+8）上单调递减的函数是（）

3

A.y=xB.y=ln匕C.＞=画目D.y=2'|A1

4.一个盒子里有7只好的晶体管、5只坏的晶体管，任取两次，每次取一只，每一次取后不放回，在第一次取到好的

条件下，第二次也取到好的概率（）

3767

A.—B.—C.—D.—

8221112

5.给出以下命题：

（1）若［'/。）公＞0,则八＞）＞0；

（2）f|sin%|rfx=4；

Jo

ra+T

（3）f（x）的原函数为尸（幻，且尸（幻是以T为周期的函数，贝！|：fkx}dx

*0=Lf（x）dx

其中正确命题的个数为（）.

A.1B.2C.3D.4

6.某学校高三模拟考试中数学成绩X服从正态分布N（75,121）,考生共有1000人，估计数学成绩在75分到86分之

间的人数约为（）人.

参考数据：P（〃一cr<X<〃+b）=0.6826,P（〃—2cr<X<〃+2b）=0.9544）

A.261B.341C.477D.683

7.某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加某高校自主招生考试，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的

选法共有（）

A.34种B.35种C.120种D.140种

4

8.已知曲线y2=x与直线y=H围成的图形的面积为则4=（）

11

A.1B.-C.+1D.±-

22

9.期末考试结束后，甲、乙、丙、丁四位同学预测数学成绩

甲：我不能及格.

乙：丁肯定能及格.

丙：我们四人都能及格.

T：要是我能及格，大家都能及格.

成绩公布后，四人中恰有一人的预测是错误的，则预测错误的同学是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

10.若正项等比数列｛a,,｝满足S3=13,出4=1，〃=唾3可，则数列出｝的前20项和是（）

A.-25B.25C.-150D.150

2、2

11.已知双曲线匹-一二=1的离心率为近，则，"=

m2

A.4B.2C.72D.1

12.甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同

的站法总数是

A.210B.336C.84D.343

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.直线x+Gy-1=0的倾斜角为.

—|x+1|4-1,X0,

14.已知函数f(x)=1则/(%)的最大值是______.

—x,x>0,

I2

15.给出下列命题：

①“。>1”是“L<1”的充分必要条件；

a

②命题“若f<i，则x<l"的否命题是“若fzl，贝！JxNl”；

③设X,y^R,则“XN2且yN2”是“f+y224”的必要不充分条件；

④设。，b&R,贝!]“。。0”是“abwO”的必要不充分条件.

其中正确命题的序号是.

16.已知随机变量XN(l,〃)，且P(-2<X<l)=0.4,则P(X>-2)=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)如图，在多面体A8C0EE中，四边形A8QD是菱形，EB上平面ABCD且EB〃FD.

(1)求证：平面平面6£7T>;

(2)若AB=2,/BAZ)=60设E4与平面ABC。所成夹角为。，且cosa=工，求二面角A-EC-F的

5

余弦值.

18.(12分)已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率等于，2,它的一个顶点恰好是抛物线/=-4y的

2

焦点.

(I)求椭圆C的标准方程；

(II)若直线/：y=^+2与椭圆c相交于4、8两点，在y轴上是否存在点。，使直线也与切关于y轴对称？若存

在，求出点。坐标；若不存在，请说明理由.

19.(12分)将下列参数方程化为普通方程：

x-5cos(p

(1){一(。为参数)；

y=4sin0

x=1-3f

⑵1=4,0为参数）.

20.(12分)三棱锥A—BCD中，平面平面BCD,AB1AD,E，尸分别为BO，AD的中点.

(1)求证：EF平面ABC；

(2)若CB=CD,求证：AD_L平面CE产.

21.(12分)已知函数/(x)=a21nx+依一/.

(1)讨论/(x)在(1,卡功上的单调性；

⑵若七0e(0,+8),/(x0)>a--,求正数4的取值范围.

22.(10分)如图，OA,0B是两条互相垂直的笔直公路，半径0A=2km的扇形A0B是某地的一名胜古迹区域.当地政

府为了缓解该古迹周围的交通压力，欲在圆弧AB上新增一个入口P(点P不与A,B重合)，并新建两条都与圆弧AB

相切的笔直公路MB,MN,切点分别是B,P.当新建的两条公路总长最小时，投资费用最低.设NP0A=9,公路MB,

(1)求/(。)关于。的函数关系式，并写出函数的定义域；

(2)当。为何值时，投资费用最低？并求出/(。)的最小值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1,B

【解析】

1-/

由题得Z=—,再利用复数的除法计算得解.

i

【详解】

由题得2=±=匕必=3=—1—i,故答案为：B

ii-1

【点睛】

本题主要考查复数的运算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.

2、B

【解析】

三视图复原几何体是长方体的一个角，设出棱长，利用勾股定理，基本不等式，求出最大值.

【详解】

解：如图所不，可知AC=5。=1,"A3=a.

设CQ=x,A£>=y,

则x1+y2=6,x2+1=b2,y2+1=a2,

消去一,俨得力+/=82（“+”）一,

2

所以a+bK4,

当且仅当a=A=2时等号成立，此时x=G,y=8,

所以V=1X,X1X6X6=L.

322

故选：B.

【点睛】

本题考查三视图求体积，考查基本不等式求最值，是中档题.

3、B

【解析】

根据函数单调性和奇偶性的性质分别对选项进行判断即可

【详解】

对于A,y=J为奇函数，在区间（0,+8）为单调增函数，不满足题意；

对于B,y=为偶函数，在区间（0,+o。）上为单调递减的函数，故B满足题意；

对于C,y=kinx|为偶函数，在区间（0,+8）上为周期函数，故C不满足题意；

对于D,y=2.为偶函数，在区间（0,+8）为单调增函数，故D不满足题意；

故答案选B

【点睛】

本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质.

4,C

【解析】

第一次取到好的条件下，第二次即：6只好的晶体管、5只坏的晶体管中取到好的概率，计算得到答案.

【详解】

第一次取到好的条件下，第二次即：6只好的晶体管、5只坏的晶体管中取到好的概率

p=9

11

故答案选c

【点睛】

本题考查了条件概率，将模型简化是解题的关键，也可以用条件概率公式计算.

5、B

【解析】

⑴根据微积分基本定理,得出J：f（x）dx=F（h）-F（a）＞0,可以看到与/（%）正负无关.

⑵注意到sinx在［0,2句的取值符号不同,根据微积分基本运算性质,化为J：|sin尤|公=Jjsinx|a:+J：|sinx|dx

求解判断即可.

（3）根据微积分基本定理,两边分别求解,再结合F（a+T）=F（a）,F（T）=F（0）判定.

【详解】

⑴由f{x)dx=R/z)-F(a)>0,得F(/i)>*")沫必f(x)>0.⑴错误.

(2)j^|sinx|t£r=JJsinxItZr+J|sinx|tZr=sinx^Zr+j(-sinx)tix

=-cosx1^+cosxf=1—(—1)+1—(—1)=4,(2)正确.

⑶J("(x)dx=F(d)-F(0),£，rf(x)dx=F(6Z+T)-F(7')=F(a)-F(0)；

fara+T

故Jo/⑴公=J；/(*)办；(3)正确.

所以正确命题的个数为2,

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了命题真假的判定与定积分的计算，属于中档题.

6、B

【解析】

分析：正态总体的取值关于X=75对称，位于(64,86)之间的概率是0.6826,根据概率求出位于(64,86)这个范围中的

个数，根据对称性除以2得到要求的结果.

详解：正态总体的取值关于x=75对称，位于(64,86)之间的概率是PC5—11<X<75+11)=0.682?,则估计数学

成绩在75分到86分之间的人数约为‘X600网<10.682?«人.

2

故选B.

点睛：题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成绩X关于X=75对称，

利用对称写出要用的一段分数的频数，题目得解.

7、A

【解析】

分析：根据题意，选用排除法，分3步，①计算从7人中，任取4人参加志愿者活动选法，②计算选出的全部为男生

或女生的情况数目，③由事件间的关系，计算可得答案.

详解：分3步来计算，

①从7人中，任取4人参加志愿者活动，分析可得，这是组合问题，共C74=35种情况；

②选出的4人都为男生时，有1种情况，因女生只有3人，故不会都是女生，

③根据排除法，可得符合题意的选法共35-1=34种；

故选A.

点睛：本题考查计数原理的运用，注意对于本类题型，可以使用排除法，即当从正面来解所包含的情况比较多时，则

采取从反面来解，用所有的结果减去不合题意的结果.

8、D

【解析】

分析：首先求得交点坐标，然后结合微积分基本定理整理计算即可求得最终结果.

y2=x[x=0k2

详解：联立方程：7可得：।

17=日=°%」

,'2k

C11A

即交点坐标为（0,0）,7T,7,

当攵>0时，由定积分的几何意义可知围成的图形的面积为：

%（2-1\

j^y/x-kxjdx=§"~一5区恃=0，

,11

整理可得：r=-,则上=—,

82

同理，当k<0时计算可得：k=~-.

2

本题选择O选项.

点睛：（1）一定要注意重视定积分性质在求值中的应用；

（2）区别定积分与曲边梯形面积间的关系，定积分可正、可负、也可以为0,是曲边梯形面积的代数和，但曲边梯形面

积非负.

9,A

【解析】分析：若甲预测正确，显然导出矛盾.

详解：若甲预测正确，则乙，丙，丁都正确，乙：丁肯定能及格.

丙：我们四人都能及格.丁：要是我能及格，大家都能及格.，即四人都及格显然矛盾，

故甲预测错误.

故选A.

点睛：本题考查推理与论证，根据已知分别假设得出矛盾进而得出是解题关键.

10、C

【解析】

设正项等比数列｛%｝的首项为4”公比为q,由已知列式求得首项与公比，可得数列｛%｝的通项公式，代入bn=log,a„求

得数列｛a｝的通项公式，可得数列｛2｝是以2为首项，以-1为公差的等差数列,再由等差数列的前〃项和公式求解.

【详解】

设正项等比数列｛4｝的首项为《，公比为心

2

a}+a}q+a]q=13।

由邑=13,。2。4=1，得：＜/*2，解得q=w，q=9

(4切=13

••・4=而1=9(；)=33-"也.=log34=log333T

3—”,

则数列｛包｝是以2为首项，以-1为公差的等差数列,

20x19x(7)750.

贝US-20x2+

202

故选:C.

【点睛】

本题考查等差数列和等比数列的通项公式，考查等差数列的求和公式，难度较易.

11、B

【解析】

根据离心率公式计算.

【详解】

_c_当三=血，解得加=2.

由题意c—\jm+2>•,*e

a

故选B.

【点睛】

本题考查双曲线的离心率，解题关键是掌握双曲线的标准方程，由方程确定。,民

12、B

【解析】

由题意知本题需要分组解决，共有两种情况，对于7个台阶上每一个只站一人，若有一个台阶有2人另一个是1人,

根据分类计数原理得到结果.

【详解】

由题意知本题需要分组解决，

••,对于7个台阶上每一个只站一人有A73种；

若有一个台阶有2人另一个是1人共有CJA7?种，

:.根据分类计数原理知共有不同的站法种数是A73+C31A72=336种.

故答案为：B.

【点睛】

分类要做到不重不漏，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数.分步要做到步骤

完整--完成了所有步骤，恰好完成任务.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、150

【解析】

由直线x+Jiy—l=0的斜率为女=-无，得到tana=—X3,ae[O°,18O°),即可求解.

33

【详解】

由题意，可知直线x+Gy-l=0的斜率为％=-正，

3

设直线的倾斜角为a,则tana=-弓,a€[()0,180°),解得a=150°，

即换线的倾斜角为150°.

【点睛】

本题主要考查直线的倾斜角的求解问题，其中解答中熟记直线的倾斜角与斜率的关系，合理准确计算是解答的关键，

着重考查了运算与求解能力，属于基础题.

14、1

【解析】

分别在xW—l、一IWXWO和x>0三种情况下求解了(可在区间内的最大值，综合即可得到结果.

【详解】

当尤<一1时，〃x)=—(—X—l)+l=x+2,此时：=l

当一时，/(x)=—(x+l)+l=-x,此时：1)=1

当x>()时，=此时：/(x)<0

综上所述；1。)皿=1

本题正确结果：1

【点睛】

本题考查分段函数最值的求解，关键是能够通过函数每一段区间上的解析式分别求解出在每一段区间上的最值.

15、@@

【解析】

逐项判断每个选项的正误得到答案.

【详解】

①当。=一1时，L<1成立，但“>1不成立，所以不具有必要性，错误

a

②根据否命题的规则得命题“若f<1,则x<1”的否命题是“若/2],则%»1”；，正确.

③因为xN2且yN2”是“f+y2N4”的充分不必要条件，所以错误

④因为。力30oa。()且人用，所以“a。0”是“。匕w0”的必要不充分条件.正确.

故答案为②④

【点睛】

本题考查了充分必要条件，否命题，意在考查学生的综合知识运用.

16、0.9

【解析】

根据正态分布性质计算概率.

【详解】

由正态分布密度曲线知尸(XV1)=0.5,又。(―2<XWl)=0.4,所以P(X4—2)=0.1,

所以P(X>—2)=0.9.

【点睛】

本题考查正态分布的性质，由正态分布曲线的对称性得若XN.,吟,则P(X<〃)=P(X>〃)，

P(X<〃一〃)=P(X>〃+a).

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)见解析；(2)逅.

4

【解析】

(1)根据已知可得和AC_LE8,由线面垂直判定定理可证AC，平面8EFD,再由面面垂直判定定理证

得平面AEC，平面BEFD.

(2)解法一：向量法，设6DcAC=O,以。为原点，作Oz//EB,以。4,08的方向分别为x轴，轴的正方向，

建空间直角坐标系，求得AC,民厂的坐标，运用向量的坐标表示和向量的垂直条件，求得平面AEC和平面ECF的

的法向量，再由向量的夹角公式，计算即可得到所求的值.

解法二：三垂线法，连接AC交BD于O,连接EO、FO,过点F做FMJ_EC于M,连OM,由已知可以证明

FOJ_面AEC,NFMO即为二面角A-ECF的平面角，通过菱形的性质、勾股定理和等面积法求得cos/FMO,得到

答案.

解法三：射影面积法，连接AC交BD于O,连接EO、FO,根据已知条件计算5叮4，S。卬，二面角的余弦值

S

COS0=T-^,即可求得答案.

'EFC

【详解】

(1)证明：连结8。

四边形ABC。是菱形，,ACJ.8。，

ABCD,ACU平面ABC£),

:.AC±EB,

EBcBD=B,EB,BDu平面BEFD,

：.AC_L平面庞

ACu平面AEC,...平面AECJ•平面BEED.

(2)解：解法一：设BD^AC^O,

四边形ABC。是菱形，NBA。=60°，

■.MBD.ABCD为等边三角形，，BD=AB=2,

。是8。的中点，•••AO=CO=®

EBJ■平面ABC。，；.NE4B=a,

ARL

..在R/AE钻中有，EA=-------=J5,,・.EB=1,

cosa

以。为原点，忤OzHEB,以。A,03的方向分别为工轴，丁轴的正方向，建空间直角坐标系。-乎如图所示，则

A(G,0,0),C(—G,0,0),E(0,1,1),F(0,T1)

所以=EC=(-73,-1,-1),CF=(V3,-1,1)

设平面AEC的法向量为n=(x,y,z),

n•EA=0,A/3X-y-z=0,/、

由i得l-设y=i,解得〃=（0,1,T）.

[n-EC=0,-\/3x-y-z=0,

设平面Eb的法向量为加=（Q,4c）,

由卜.b=0,得[*"+c=0,设“解得利=（30,一3）.

[m-EC=0,[-^a-b-c=Q,''

।।m-n\3x/6

设二面角A-EC-F的为e,则cos。=-^7=L=--

m\-\n\V3+9-V1+14

结合图可知，二面角A-EC-厂的余弦值为直

4

解法二：

VEBlffiABCD,

AZEAB即为EA与平面ABCD所成的角

在RtAEAB中，cosZEAB=—=又AB=2,AE=道

AE5

.,.EB=DF=1

连接AC交BD于O,连接EO、FO

菱形ABCD中，ZBAD=60°,；.BD=AB=2

矩形BEFD中，FO=EO=V2,EF=2,EO2+FO2=EF2,AFO±EO

又AC±ffiBEFD,FO£®BEFD,.\FO±AC,

ACnEO=O,AC、EO£®AEC,.\FO±ffiAEC

又ECU面AEC,/.FO±EC

过点F做FM_LEC于M,连OM,

又FO±EC,FMDFO=F,FM、FO£面FMO,.^.EC_L面FMO

OMcffiFMO,，ECJLMO

:.ZFMO即为二面角A-EC-F的平面角

AC±®BEFD,EOc®BEFD,AAC±EO

又O为AC的中点，，EC=AE=J^

RtAOEC中，OC=G，EC=后,二OE=0,:.OM=°"'%=也

ECV5

R3OFM中，OF=0,OM=更,4

AFM=-^

V5

.八〃八OM屈

..cosNFMO=------=-----

FM4

即二面角A-EC-F的余弦值为迈

4

解法三：

连接AC交BD于O,连接EO、FO

菱形ABCD中，NBAD=60。，.,.BD=AB=2

矩形BEFD中，FO=EO=0,EF=2,EO2+FO2=EF2,FO±EO

又AC_1_面BEFD,FOU面BEFD,.'.FO±AC,

ACnEO=O,AC、EOSffiAEC,.*.FO±®AEC

XVEB±®ABCD,

:.NEAB即为EA与平面ABCD所成的角

在RtAEAB中，cosZEAB=_=又AB=2,.\AE=6

AE5

二EB=DF=1

在RtAEBC、RtAFDC中可得FC=EC=&

在AEFC中，FC=EC=逐，EF=2,.\SEFC=2

在AAEC中,AE=EC=V^,O为AC中点，/.OE±OC

在RtAOEC,OE=72,OC=瓜:.S0EC=半

设AEFC、AOEC在EC边上的高分别为h、m,

二面角A-EC-F的平面角设为0,

A/6

则cosO=in_SOEC_2_屈

hSEFC24

V6

即二面角A-EC-F的余弦值为

4

【点睛】

本题考查平面垂直的证明和二面角的计算，属于中档题.

18、（1）y+y2=1；（2）见解析.

【解析】

-£=2/2

a2

分析：（1）由题意得b=l,求解即可；

a2=b2+c2

（2）假设存在点。满足条件，则原0+3。=0,设。（0,%），4（%,y），8（马,％），联立方程，从而可得

8%

:，又由如+3=0,得迎二旦+上&=0,从而求得答案.

O

玉

详解：（I）由题意，设椭圆方程为二+区=l(a>b>0)9

'£_贝

2

a2a=2

，y2

则有<b=l解得〃=1,所以椭圆。的方程为2+丁=].

,2=12.

a2=b2+c2

（n）假设存在点。满足条件，则kAD+kBD=0.

《+2-1

设0（0,%）,A（%，x）,3（孙必），联立方程了+，=，得（1+2公）f+8丘+6=0,

y=kx+2

8k

1+2/

△=64/_240+2&2)=16父-24>0,■

6

If一］+2公

,,一n组乂一%+%一%一0日0v—*2弘+%%_2向々-3+?-1

由左犯+左9=0，得------+-------_U，即为-------------------+2——彳+2—7，

X]x2玉+工2%+1222

综上所述，存在点。(0,；｝使直线也与物关于y轴对称.

点睛：对题目涉及的变量巧妙的引进参数，利用题目的条件和圆锥曲线方程组成二元二次方程组，再化为一元二次方

程，从而利用根与系数的关系进行整体代换，达到“设而不求，减少计算”的效果，直接得结果.

19、(1)—+-^-=1；(2)4x+3y-4=0.

2516

【解析】

试题分析：(D分别分离处参数中的sin。,cos。，根据同角三角函数的基本关系式sin2e+cos2°=l,即可消去参

数得到普通方程；(2)由参数方程中x=l-3r求出乙代入y=小整理即可得到其普通方程.

X

cos922

x=5cos05

试题解析：(1)V{(.,：.{,两边平方相加，得工+匕=cos-2e+si•rr2cp,

y=4sm°y2516

sin夕

4

即"L

x=1—3/

(2)v{i

...由/=£代入x=l—3r,得x=l—3xf,

44

二4x+3y-4=0.

考点：曲线的参数方程与普通方程的互化.

20、(1)详见解析；(2)详见解析.

【解析】

试题分析：

(1)利用题意证得EF//AB,由线面平行的结论有石尸//平面ABC；

(2)利用题意可得：CE1AD,AD±EF,结合线面垂直的结论则有49_L平面CEF.

试题解析：

(1):E,F分别为BD,AO的中点

AEF//AB

VEE(Z平面ABC,ABu平面ABC

£F//平面ABC

(2)，；CB=CD,E为BO的中点

：.CE±BD

•平面AB。J•平面BCD,平面ABE>c平面3co=BO,CEu平面BCD

二CE_L平面ABDADu平面ABD：.CE±AD

VEF//AB,AB±ADAADLEF：C£u平面CEb,EFu平面CEF,CEcEF=E

：•AD,平面CE/L

点睛：注意使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无

数条直线，就垂直于这个平面”

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21、(1)见解析；(2)0,e2ue2,+oo

\J\/

【解析】

分析：⑴求出函数的导数/'(x)=—(2x+")(xi)(x>0),通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可;

(2)求出f(x)的最大值，得到关于a的函数，结合函数的单调性求出a的范围即可.

详解：(1)1(x)上+加2尤=--+")(…)(一。),

XX

当—2WaW0时,/'(x)<0,/(x)在(l,w)上单调递减；

当”一2时，若》>—j/'(x)<。；若l<x<一胃，/,(x)>0.

.I/(X)在(一£,+8］上单调递减，在［1,一上单调递增.

当0<aVl时,f'(x)<0,/(x)在(1,+8)上单调递减；

当a>l时，若x>。，f'(x)<0；若l<x<a,/'(x)>0,

.•./(X)在(a,+8)上单调递减，在(l,a)上单调递增.

综上可知，当-2WaWl时，/(x)在(1,田)上单调递减;

当"一2时，在［-■!，+8］上单调递减，在卜,一向上单调递增;

当。>1时，/(力在(4,+8)上单调递减，在(1,。)上单调递增.

(2)la〉。，.,.当x>a时,/