大学物理-上海交通大学-第四版-下册课后题全部答案

习题11

11-1.直角三角形ABC的A点上，有电荷/“8x1°C,3点上有电荷%=<8xl°C,试求C点的电

场强度(设BC=0.04m,AC=0.03m)o

E=___%___i

解：％在。点产生的场强:「“儿

62=4®2j

“2在C点产生的场强:-4。

44

.「us4以四曲E=E.+E=2.7X10Z+1.8X10J

..c点的电场强度：12J

「£=JE2+琢=3.24x104

C点的合场强：N12

1Q

。=arctan——=33.7=3342'

方向如图：2.7

11-2.用细的塑料棒弯成半径为50cm的圆环，两端间空隙为2cm,电量为3.12xl(T9c的正电荷均匀分布在棒上,

求圆心处电场强度的大小和方向。

解：•.•棒长为，=2乃厂_4=3.12"?

2="OxiO-C-m-'X

电荷线密度：2cm

可利用补偿法，假设有一均匀带电闭合线圈，那么圆心处的合场强为0,变空隙，那么圆心处场强等于闭合线圈

产生电场再减去d=Q02，〃长的带电棒在该点产生的场强，即所求问题转化为求缺口处带负电荷的塑料棒在°点产生

的场强。

解法1：利用微元积分：

ARd0

dE(jxcos，

R2

a

Eo=[cosOdd----------2sintz®---------2tz=-。

兀兀

."4/R4/R4TT£0R-=0.72V-m

解法2：直接利用点电荷场强公式：

由于d«r,该小段可看成点电荷：/=Xd=2.0x1011C

1

Eo=q2=9.0X1()9X2・。义1?=0.72V•m

那么圆心处场强：4%&R~(0・5)。

方向由圆心指向缝隙处。

11-3.将一“无限长”带电细线弯成图示形状，设电荷均匀分布，电荷线密度为九，四分之一圆弧A3的半径为R,试

求圆心。点的场强。

解：以。为坐标原点建立x°y坐标，如下图。

①对于半无限长导线A0°在。点的场强：

用工=------(cos彳-COS")

4〃eR2

<0

Z7X/•乃.、

EA、,=-------(sm-----SIIITT)

右.〔'4G2

②对于半无限长导线§00在°点的场强:

4/..n

------(smyr-sm—

2

4

(/cos兀--cos、

③对于A5圆弧在。点的场强：有：

AX4..

.•.总场强：°X4万％R,°y4万％R,得：°4%/R'。

£=后或=焉45

或写成场强：%八，方向45。

11-4.一个半径为R的均匀带电半圆形环，均匀地带有电荷，电荷的线密度为力,求环心处。点的场强E。

dE=口,

解：电荷元向产生的场为：；

根据对称性有：』dE=0

丁，那么:

•^2/?sinOdd_2

E=JdEx=JdEsin6=

04万£户2兀

2.

E=

兀

方向沿x轴正向。即：2£°R

11-5.带电细线弯成半径为尺的半圆形，电荷线密度

为修。sin。,式中

。为一常数，°为半径R与％轴

所成的夹角，如下图.试求环心。处的电场强度。

eAdi儿sin。]。

dE=-----7=----------

解：如图，4兀,

dE=dEcoscp

<x

dE、,=dEsin0F=0

〔y,考虑到对称性，有：幺u

「「r7tsin(pd(p

E=\dE=\dEsm(p=\———^二——

J>JJo4TT%R47r/H

方向沿y轴负向。

11-6.一半径为R的半球面，均匀地带有电荷，电荷面密度为b,求球心。处的电场强度。

解：如图，把球面分割成许多球面环带，环带宽为dl=Rde,所带电荷：dq=2兀rodl。

,Z7_xdq_o兀rxdl

dH=r=7

222

利用例11-3结论，有：4^0(x+r)4乃+/)2

dE_A,2TT7?COS0-Rsm0-RdO

,一4乃£°[(Rsine)2+(Rcose)2]%"一一一

E=^Lplsin2^=-^E=^-i

化简计算得：2%Jo24&0.4邑。

11-7.图示一厚度为d的“无限大"均匀带电平板，电荷体密度为夕。求板内、外的场强分布，并画出场强随坐标x变

化的图线，即E—x图线(设原点在带电平板的中央平面上，°尤轴垂直于平板)。

解：在平板内作一个被平板的中间面垂直平分的闭合圆柱面Si为高斯面，

\\<^L[EdS=2EASVz,"cAV

当㈤X一2时，由上和手=2卯史

£=小

有：/；

\x\>4-[E-dS=2E，kS\a-2doAS

当门2时，由Js?和乙“一〃2"，

E*

厂--、、有：2%。图像见右。

11-8.在点电荷"的电场中，取一半径为R的圆形平面（如下图），

平面到q的距离为d,试计算通过该平面的E的通量.

解：通过圆平面的电通量与通过与A为圆心、A5为半径、圆的平面

为周界的球冠面的电通量相同。

【先推导球冠的面积：如图，令球面的半径为r,有厂=、4一+火

球冠面一条微元同心圆带面积为：dS=27irsin0-rd0

5=[2^-rsin3-rdO=Inr2cos00”

J。cos6=—

，球冠面的面积：一

二17ir2（l-—）

ri

q二47尸卬闭合球面一

•・•球面面积为：©球面，通过闭合球面的电通量为：%,

2^=纽①…2=41__d）

由：①球面S球冠,.・.球总2丁%2%J-+/。

11-9.在半径为R的“无限长〃直圆柱体内均匀带电，电荷体密度为p,求圆柱体内、外的场强分布，并作Ev关系曲线。

JLEMS=J=

解：由高斯定律%S内,考虑以圆柱体轴为中轴,半径为「，长为/的高斯面。

27irl-E=p7Vr1

(1)当时，£o

Op兀NI

271rl-E=-..........

(2)当r>H时，£o

即：[2%厂

图见右。

11-10.半径为凡和^2（与<氏2）的两无限长同轴圆柱面，单位长度分别带有电量力和一X,试求：（1）r<Rl.

⑵尺1<"氏2；⑶厂〉R2处各点的场强。

■丁二=6%

解：利用高斯定律：既s内。

丫RF—0

[1）<1时，高斯面内不包括电荷，所以：I—U

2

27rr

IE7——E?

(2)时，利用高斯定律及对称性，有：£。,那么：2兀%丁

(3〕丫>R时，利用高斯定律及对称性，有：[乙n"Y"I乙F3——0U,那么：£F3—0U；

E=0r<R]

E=\E=2rR.<r<R,

c1z

LTis^r

BP：k=。"2。

11-11.一球体内均匀分布着电荷体密度为夕的正电荷，假设保持电荷分布不变,在该球体中挖去半径为厂的一个小球体,

球心为两球心间距离°°'=d,如下图。求：

(1)在球形空腔内，球心。’处的电场强度冠。；

(2)在球体内P点处的电场强度E,设°'、°、P三点在同一直径上，且°P=d。

解：利用补偿法，可将其看成是带有电荷体密度为夕的大球和带有电荷体密度为一夕的小球的合成。

(1)以。为圆心，过。'点作一个半径为d的高斯面，根据高斯定理有：

fE-dS=2・+兀(]3E°=M

，S,£。3n35,方向从o指向O；

(2)过尸点以。为圆心，作一个半径为d的高斯面。根据高斯定理有：

\E-dS^^---7vd3£八=过

S'13n34,方向从o指向p,

过尸点以。'为圆心，作一个半径为2d的高斯面。根据高斯定理有：

3

E-dS=—B~•匕兀户Ep,pr

*/3n

3sod~

E=Ep+Ep,=P(d------)

23%47,方向从0指向p。

n-12.设真空中静电场E的分布为“=。"'，式中c为常量，求空间电荷的分布。

解：如图，考虑空间一封闭矩形外外表为高斯面，

ff-A5

EdS=cxQ

启'.JJs

,(J-A5►%

由高斯定理：与S内，

-A5=--------------

cx0

设空间电荷的密度为夕(X),有：气

，可见Q(x)为常数n夕=£°c

p(x}dx=\\ocdx

ii-i3.如下图，一锥顶角为°的圆台，上下底面半径分别为凡和氏2,在它的侧面上均匀带电，电荷面密度为c,求

顶点。的电势.(以无穷远处为电势零点)

n'解：以顶点为原点，沿轴线方向竖直向下为X轴，在侧面上取环面元，如图示，易知，环面圆半

7cC77c9（1X

aS-271r-al=2〃・xtan----------

20

cos—

2

利用带电量为4的圆环在垂直环轴线上无。处电势的表达式:

1q

C.odx

•xtan---------万

20

cos—a

dU=-^-2-------tan—dx

4宓0（xtan^）2+x22、2

有:

QQ

%2~^2~

xx=&cot—

考虑到圆台上底的坐标为：2

rx2c0,c?广嘿dx='（4-N）

--tan—dx=------tan-

2J&co弓2s

・U=2%22%0

11-14.电荷量。均匀分布在半径为R的球体内，试求：离球心'处（r

解:利用高斯定可求电场的分布。

4"E内=,小=Qr

4兀名代

⑴厂＜H时，&o八；有：

7QQ

4万rE外=—_E外

/；

[2）时，《；有：

rRpoo

=[E^-dr+E外-dr

离球心r厂处（r＜HD）的电势：人内R外,即：

'8-^.dr=3。Qr2

7"小R418兀%R8兀%N

11-15.图示为一个均匀带电的球壳，其电荷体密度为夕，球壳内外表半径为R1,外外表半径为区2.设无穷远处为电

势零点，求空腔内任一点的电势。

r＜RF—

解：当1时，因高斯面内不包围电荷，有：1,

433

E.丁（厂-凡）-3）

当与＜厂＜七时，有：2派2

40/3s0r

E咫——）夕（咫_用）

当"冬时，有：3-4宓。产-3%产

以无穷远处为电势零点，有：

00一吊）pco

RfP（y3

uC2dr+Edr=dr+

=\Rl^\R^i.^^k

11-16.电荷以相同的面密度。分布在半径为八=1°。阴和4=2°c冽的两个同心球面上，设无限远处电势为零，球心

处的电势为U°=300V。

（1）求电荷面密度；

（2）假设要使球心处的电势也为零，外球面上电荷面密度为多少？

（4=8.85xl（）T2c2.N-imj

r<r有：.

解：（1）当1时，因高斯面内不包围电荷,

O-

■~~~2

vV尸Vr

当।2时，利用高斯定理可求得:£。丁,

E=

r>r'3

当2时，可求得：

r2•8一_

E-dr+E-dr~-dr+4)

23口既广r2

「2%

-12

_8.85xiox300=8.85xIO-c//

r+r30x10-3

那么：I2

（2）设外球面上放电后电荷密度b，那么有:

,=b

Uo'=（g+。工）/£（）=。.0一G一2

，••

那么应放掉电荷为：

,.3

A^=4^-r2（（T-cr）=-o--4^r2=4x3.14x8.85x10-12x300x0.2=6.67x10-9（7。

11-17.如下图，半径为R的均匀带电球面，带有电荷4,沿某一半径方向上有一均匀带电细线，电荷线密度为X,长

度为/,细线左端离球心距离为不。设球和线上的电荷分布不受相互作用影响，试求细线所受球面电荷的电场力和细线

在该电场中的电势能（设无穷远处的电势为零）。

解：（1）以。点为坐标原点，有一均匀带电细线的方向为x轴，

（O_）।"E=q2

均匀带电球面在球面外的场强分布为：4兀‘or（厂>尺）。

取细线上的微元：dq=Adl=Adr有：dF=Edq

F=尸q，九打=—皿—

r

°4乃包无4-7T£0r0（r0+/）（户为厂方向上的单位矢量）

U二」—

（2）♦.•均匀带电球面在球面外的电势分布为：（r>Rco为电势零点）。

dW=—―Adr

对细线上的微元=所具有的电势能为：4万名广，

q1o+i4drq,r+Z

WTT7=-------=----In——n

Jr

.4乃%or4乃4r0

11-18.一电偶极子的电矩为P,放在场强为E的匀强电场中，0与E之间夹角为夕，如下图.假设将此偶极子绕通过

其中心且垂直于P、E平面的轴转180°,外力需作功多少？

P/―解：由功的表示式：dA=MdB

—矛-E

—---------考虑到：M=pxE,有：A=J«pEsmOd0=2pEcos0

n-19.如下图，一个半径为R的均匀带电圆板，其电荷面密度为）（>0）今有一质量为机，电荷为一q的粒子（“>（））

沿圆板轴线（X轴）方向向圆板运动，在距圆心。（也是X轴原点）为〃的位置上时，粒子的速度为“。，求粒子击中圆

板时的速度（设圆板带电的均匀性始终不变）。

b

解：均匀带电圆板在其垂直于面的轴线上X。处产生的电势为:

u=(7^2+xo-xo)

,那么，

—mv~=—mVg-(~qUob)---mVg+(R+b-yjR^+b2)

2

由能量守恒定律，222%,

v=卜;+"(R+b—•+高

有：V吟

思考题11

ii-i.两个点电荷分别带电4和2q,相距/,试问将第三个点电荷放在何处它所受合力为零?

qQ2qQ

答：由4f好4万£o(/-x)2,解得：x=/(W-l),即离点电荷4的距离为/(0T)。

11-2.以下几个说法中哪一个是正确的？

(A)电场中某点场强的方向，就是将点电荷放在该点所受电场力的方向；

(B)在以点电荷为中心的球面上，由该点电荷所产生的场强处处相同；

(C)场强方向可由石=歹/4定出，其中4为试验电荷的电量，q可正、可负，b为试验电荷所受的电场力；

(D)以上说法都不正确。

答：(C)

11-3.真空中一半径为R的的均匀带电球面，总电量为4(4<0),今在球面面上挖去非常小的一块

面积4S(连同电荷)，且假设不影响原来的电荷分布，那么挖去/S后球心处的电场强度大小和方

向.

答：题意可知：4%£oR2,利用补偿法，将挖去局部看成点电荷,

七=bAS

有：,方向指向小面积元。

11-4.三个点电荷0、％和一“3在一直线上，相距均为2R,以％与“2的中心。作一半径为2尺的球面，A为球

面与直线的一个交点，如图。求：

厂一、⑴通过该球面的电通量肛"S；

/1：了30

[；'(2)A点的场强EA。

\/

解.⑴"s£q_4叫(3R)4兀％R-4叫我一

11-5.有一边长为。的正方形平面，在其中垂线上距中心。点。/2处,

有一电荷为q的正点电荷，如下图，那么通过该平面的电场强度通量

为多少？

解：设想一下再加5个相同的正方形平面将q围在正方体的中心，

通过此正方体闭合外外表的通量为：①闭合=4/%,那么，

①=-^-

通过该平面的电场强度通量为：6既。

11-6.对静电场高斯定理的理解，以下四种说法中哪一个是正确的？

(A)如果通过高斯面的电通量不为零，那么高斯面内必有净电荷；

(B)如果通过高斯面的电通量为零，那么高斯面内必无电荷；

(C)如果高斯面内无电荷，那么高斯面上电场强度必处处为零；

(D)如果高斯面上电场强度处处不为零，那么高斯面内必有电荷。

答：(A)

11-7.由真空中静电场的高斯定理0可知

(A)闭合面内的电荷代数和为零时，闭合面上各点场强一定为零；

(B)闭合面内的电荷代数和不为零时，闭合面上各点场强一定都不为零;

(C)闭合面内的电荷代数和为零时，闭合面上各点场强不一定都为零;

(D)闭合面内无电荷时，闭合面上各点场强一定为零。

11-8.图示为一具有球对称性分布的静电场的石〜r关系曲线.请指出该静电场是由以下哪种带电

体产生的。

(A)半径为R的均匀带电球面；

(B)半径为R的均匀带电球体；

(c)半径为尺、电荷体密度夕=Ar(A为常数)的非均匀带电球体；

(D)半径为R、电荷体密度夕=人/厂(A为常数)的非均匀带电球体。

答：(D)

11-9.如图，在点电荷g的电场中，选取以q为中心、R为半径的球面上一点尸处作电势零点，那么与点电荷q距离为r

的P'点的电势为

4兀^。(厂一尺)(口)4兀£()r)

答：(B)

11-10.密立根油滴实验，是利用作用在油滴上的电场力和重力平衡而测量电荷的，其电场由两块带电平行板产生.实验

中，半径为厂、带有两个电子电荷的油滴保持静止时，其所在电场的两块极板的电势差为012.当电势差增加到4012时,

半径为2r的油滴保持静止，那么该油滴所带的电荷为多少？

U4=p.[%(2»g

—lr2q=P--^r3g

解：d3—①,d3—②

...①②联立有：q'=2q=Ae.

ii-ii.设无穷远处电势为零，那么半径为尺的均匀带电球体产生的电场的电势分布规律为(图中的和人皆为常量)：

答：(C)

11-12.无限长均匀带电直线的电势零点能取在无穷远吗？

答：不能。见书中例11-12。

大学物理第12章课后习题

12-1.一半径为0.10米的孤立导体球，其电势为100V(以无穷远为零电势)，计算球外表的面电荷密度。

「QoR

解：由于导体球是一个等势体，导体电荷分布在球外表，...电势为：U="=——，

4万£q

,£，P8.85xlO-12xlOOoous-9「/,

那么：a=-^—=--------------=8.85x109Cm-.

R0.1/

12-2.两个相距很远的导体球，半径分别为6=6.0cm,r2=12.0cm,都带有3xl(y8c的电量，如果用一导线

将两球连接起来，求最终每个球上的电量。

解：半径分别为K的电量为41，4电量为12,

由题意，有：—%一①，0+夕2=6x108---(2)

4万4〃％马

①②联立，有：/=2xl()-8c,%=4x10-8。。

12-3.有一外半径为7?1，内半径1?2的金属球壳，在壳内有一半径为氏3的金属球，球壳和内球均带电量4，求球心的

电势.

解：由高斯定理，可求出场强分布：

%0R]

£2•dr+J氏E/

・•・Uo=J：%dr+j3

rR2q,「82q

二一^—rdr+-——dr=X

J24兀％产J%3

12-4.一电量为q的点电荷位于导体球壳中心，壳的小径分别为Rj、R2.求球壳内外和球壳上场强和电势的分布,

并画出E〜厂和V〜厂曲线.

解：由高斯定理，可求出场强分布：

...电势的分布为：

•0°q

当0<r<用时，U[=出qnd

r4%R24〃//o

q

当K<4时，U=qdr=——-——

2R24%//

r

'8qdr=q°F与

当〃区时，。0

223=2

r4^-^0r4乃”u

12-5.半径K=0.05加,，带电量q=3x10-8(2的金属球,被一同心导体球围，产壳内半径凡=0.07m,外

O'-----1-

半径4=0.09m，带电量。=—2x1(He。试求距球心一处的。点的场蹲与电势。(1)r=0.10m[2)r=0.06m

[3)r-0.03mo

解：由高斯定理，可求出场强分布:

，电势的分布为：

R2q,,8Q+q.dr-q(11)10+4

当r<N时，f-----"r+

&4兀&丁R34万4/47rq&R24»£0尺3

%q「Q+q,”_“J1)i”

当时，Uz=《dr+

万加厂万

44d/4TTS0rR24-7V£OR3

Q+qQ+q

当6<厂工R3时，。3=dr=

R34万4乃％R3’

当厂>凡时，。4=

r4乃20r47r/r

...(1)r=0.10m,适用于「〉氏3情况，有：

3。

F=g+g9X10N,=900V；

4〃竹厂244兀20r

(2)r-0.06m,适用于R1<r<情况，有：

6+

居=q:=7.5xlC)4N，U2=t^-(--^)+/,^=1.64X103V;

241地产2414>此

(3)r=0.03m,适用于r<R]情况，有:

TJ_q(1___1)1Q+q

E[=0,=2.54x103V。

1痴、&

R24TT£QR3

12-6.两块带有异号电荷的金属板A和B,相距5.0mm,两板面积都是150cmz,电量分别为土2.66义1CT'c,

A板接地，略去边缘效应，求：（1）B板的电势；（2）AB间离A板1.0mm处的电势。

解：（1）由石=—有：E=q

£0A

5mmy

那么：UAB=Ed=,而UA—0,

B

2.66X10-8X5XW3

UTT=-------------7：------------7=-1000V,

R8.85x1012x1.5xlO^2

1「

3

离A板1.0mm处的电势：Up=—x（-10）=-200V

12-7.平板电容器极板间的距离为d,保持极板上的电荷不变，忽略边缘效应。假设插入厚度为的金属板，求无金

属板时和插入金属板后极板间电势差的比；如果保持两极板的电压不变，求无金属板时和插入金属板后极板上的电荷的

比。

解：（1）设极板带电量为。0,面电荷密度为5,。+

无金属板时电势差为:Ui=E。•d=--d,

£o

有金属板时电势差为:U2=E0\d-t)=^(d-t),

A

U.d

电势差比为：,%

。22dT）J

*0

12）设无金属板时极板带电量为Qo,面电荷密度为b。，111

有金属板时极板带电量为。，面电荷密度为。。

由于有E。,d=E•（d—t）,即—d——（d—

£。£。

・Qo__dT

Qad1--112

解法二：U

无金属板时的电容为：C——，有金属板时的电容为：CQ=--—0那么:

odd-t

u、d

⑴当极板电荷保持不变时，利用C='知：」=—

UU2d~t

当极板电压保持不变时，利用旦知:Qo_d-t

⑵C=

U~Q~~d~

12-8.实验说明，在靠近地面处有相当强的电场E垂直于地面向下，大小约为130V/m.在离地面1.5km的高空的场

强也是垂直向下，大小约为25V/m.

（1）试估算地面上的面电荷密度（设地面为无限大导体平面）;

（2）计算从地面到1.5km高空的空气中的平均电荷密度.

解：（1）因为地面可看成无穷大导体平面，地面上方的面电荷密度可用或=己考察，选竖直向上为正向，考虑到靠近

%

地面处场强为EQ=-130V,所以：

CT=£OE=8.85X1OT2><(—130)=—1.15x10-9C/m2；

（2）如图，由高斯定理小石卷=;2功，有:

气S内

那么：一

E'AS+E0（-AS）=^-^,25—（—130）=^^^,

2。8.85xl0-

得:p=6.2xl0-13C/m3.

12-9.同轴传输线是由两个很长且彼此绝缘的同轴金属圆柱（内）和圆筒（外）构成，设内圆柱半径为A-电势为匕，外圆

筒的内半径为,电势为％.求其离轴为处（氏2）的电势。

R2rRi<r<

解：•.•&<r<7?,处电场强度为：E=--------，

2兀%丫

・••内外圆柱间电势差为：乂一%=------dr=------In」

2兀%丫2兀%显

2

那么：----（-K-K）

27r4g/居）

同理，r处的电势为：U-V,-----dr=-----In-[*)

rrIjcs^r27r痂r

2

U=V+

r22兀£°吟”>

ln(r/7?,)

【注：上式也可以变形为：U,==『（KT）与书后答案相同，或将（*）式用：

ln(&/RJ

rX/LT

V：—?7„=[-------dr--------In土计算，结果如上】

J%2兀£。丫27r%Rx

12-10.半径分别为〃和人的两个金属球，它们的间距比本身线度大得多，今用一细导线将两者相连接，并给系统带上电

荷Q求:

（1）每个求上分配到的电荷是多少？（2）按电容定义式，计算此系统的电容。

解：（1）首先考虑。和万的两个金属球为孤立导体，由于有细导线相连，两球电势相等：-=丁亥-----①，再

4万4万4%

由系统电荷为Q,有：%+为=。一②

两式联立得：二0”；

q=,qb

laa+bba+b

[2）根据电容的定义：C=g=———（或C=g=———）,将（1）结论代入，

u%U%

4%竹。4〃20b

有：C=（a+力。

12-11.图示一球形电容器，在外球壳的半径Z?及内外导体间的电势差U维持恒定的条件下，内球半径Q为多大时才能

使内球外表附近的电场强度最小？求这个最小电场强度的大小。

解：由高斯定理可得球形电容器空间内的场强为：E=-2^,

47120r

-a*7aQ7Qb-a

而电势差：U=E-dr=-^--dr=-.............，

J。Ja47r/ab

QUab_abU

：.^—=-----，那么，场强表达式可写为：E=---------o

47rqb—ab—ar

厂bU

因为要考察内球外表附近的场强，可令厂=。，有：E=---------