高等数学习题解答十一章无穷级数

常数项级数的概念和性内容概例题分 ，(2n常数项级数的概念和性内容概例题分 ，(2n1)(2n★1.u1,1)写出此级数的前二项;计算部分和s1,s2计算第n项部分和s1用级数收敛性定义验证这个级数是收敛的，并求其和un （un为常数sns则u收敛，（s:n项部分和 unvn收敛(unvn)收敛,且(unvn)un k0kun与un un加入有限项或去掉有限项,不改变级数的敛散性un收敛limun0(收敛的必要条件 arn当r1时收敛其和 ，当r1时发散 1知识nsn,常数项级数的收敛性 1,u 1解 u1 12 31su 3suu111(11)1(11)1(1 3 2 1(1 1 3)n(2n1)(2n 22n 2nsuu 1(11)1(11)111)1(11) n知识nsn,常数项级数的收敛性 1,u 1解 u1 12 31su 3suu111(11)1(11)1(1 3 2 1(1 1 3)n(2n1)(2n 22n 2nsuu 1(11)1(11)111)1(11) n22n 2n 2n 2 111112) ,4)limsn 收敛,s.2n nn1(2n1)(2nn1★★★2.求常数项级数a1知识nsnn1思路: (nr nna2a3an解令s11ann3asna2a 1n以上两式相减得(a1)sna1aa211a1n1a11n a a aaan11a11aanalimsn，)(a1aa a(a2(a21r1和是常用的方法★★3．设u1(unu;.un知识点：常数项级数的收敛性思路:利用常数项级数的性质解：1)lim(un0.0001)limun0.00010.0001(un0.0001)发散0，则un注：lim发散是判别级数发散常用的方法★★3．设u1(unu;.un知识点：常数项级数的收敛性思路:利用常数项级数的性质解：1)lim(un0.0001)limun0.00010.0001(un0.0001)发散0，则un注：lim发散是判别级数发散常用的方法un2)常数项级数的性质去掉un1000项得的级数un1000113) 0, 发散n1n课后习题全习题111.13(2n241★(2)12★nn1112131415132531 1 1 1 1 1357 24681 3(4)1 2.23456 ★(2)345 xa2a3a 9 xx ★ 2 24 2461112 x3 x★★(5)1 3(4)1 2.23456 ★(2)345 xa2a3a 9 xx ★ 2 24 2461112 x3 x★★(5)1 3 5 xx 246解：(1) (1)n1n1(1)n1n(n1,2,3)nnn(n1,2,3)n(2)unnxnx(n1,2,3)(3)246 (4)un(1)n1 (1)n1 2n2n1(5)un2n1(n1,2,3)(6)3.根据级数收敛与发散的定义判定下列级数的收敛性111★★(1)★ 1 6n2n1 n)(5n4)(5n1)66 ★★★(3)66n .n1解：(1)u n2nn2 n n1 s( )( )n3243 213 n2n n1 n2 n 21limsn,原级数收敛2 1(1 1 )n(5n4)(5n 55n 5ns1(11)1(11)1)1(1111)n 5 55n 5n 5n1所以limsn ,原级数收敛5sn 61666[cos(2k1)1limsn,原级数收敛2 1(1 1 )n(5n4)(5n 55n 5ns1(11)1(11)1)1(1111)n 5 55n 5n 5n1所以limsn ,原级数收敛5sn 61666[cos(2k1)cos(2k1)2 cos )(cos cos )1sn2(cos(2n1)cos(2n1) cos(2n 12limsn不存在,原级数发散注：另解 sin(6k60,6k6k0,ku6klimun不存在，原级数发散4.判定下列级数的收敛性8911111 ★(1)n 211cosn(1n nn1nlnn1nn1n1(n解：(1)q91119q11911(2)级数的一般项：un ,由调和级数 发散和级数的性质，知题设级数发散3n133 e(3)limun原级数发散1n n(1n21cos12(4)limulim0,原级数发散nn2 lnn 1ln23,2n3lnn解：(1)q91119q11911(2)级数的一般项：un ,由调和级数 发散和级数的性质，知题设级数发散3n133 e(3)limun原级数发散1n n(1n21cos12(4)limulim0,原级数发散nn2 lnn 1ln23,2n3lnn1lnn 1故原级数收敛,n3n1nn1nn(6)limu10原级数发散1nn1(n 5.求级数的和n1n(n1)(n 1(121).解：n 2 n ns1(12)1(121)1121)1(121n2 n n 2 2 1(121121)1(111 n n n 2 n n4slimnn之和3n1 n3s12 n解：,nn 3312s1111(上两式相减n 13311ns1n)3(n1n1n2 n311★★7.设级数ann nns及1解： ,ass 12s1111(上两式相减n 13311ns1n)3(n1n1n2 n311★★7.设级数ann nns及1解： ,ass n1n1n2n 11111slimsndxln2n1nn101n★★★★8.sin11(2)(1) ；；n 解：(1)对于任意自然数p(1)nun1unn nn11(1)p1 n nn1(11)(11) n(p为偶数n n n nn1 1 1))(p为奇数 n nnp n1（令1,解得 1n n故0不妨设1[1]0nN时，对于任意自然数p1n n由柯西审敛原理，知所给级数收敛(2)对于任意自然数psin(n1)xsin(n2)xsin(n n2nsin(n1)xsin(n2)xsin(n2n1(111)1(11)2(2)对于任意自然数psin(n1)xsin(n2)xsin(n n2nsin(n1)xsin(n2)xsin(n2n1(111)1(11)2 2 2故0不妨设1N]0nN时，对于任意自然数pln1 n由柯西审敛原理，知所给级数收敛11(3)n,有 nnun11cos11cos11cosn n n nn n1cos1cos1cos(n项n 1cos11cos(n 故取 1cos1,对于任意nN,p2n，使uu0 n0 由柯西审敛原理，知所给级数发散1.判定下列级数的收敛性 1n )n2cos(n)21 (n1)n1★★★★3)★★★★4)en nn11n )发散n5n52cos(n)(1)nn2)2cos(nlimunxln(11)x1)nn1lim(11)x23)limulim(1limnx11ln(1t11t2et0 et0 et 2 2cos(n)(1)nn2)2cos(nlimunxln(11)x1)nn1lim(11)x23)limulim(1limnx11ln(1t11t2et0 et0 et 2 11发散 n2n(n(n1)n1e(n1 en(n(11n(n1n1单调递增趋于e知：(1 n nnunu1，,1un发散(nu2n2.求下列级数的和12★★1)★★★★2);23n8n4n2n1 1(11解：1))n9n2 33n 3ns1(11)1(11)1)1(111