第二章 一元二次函数、方程和不等式（压轴题专练）（解析版）

第二章一元二次函数、方程和不等式（压轴题专练）一、单选题1．实数，，满足且，则下列关系成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据等式可变形为，利用完全平方可得大小，由得，做差，配方法比较大小.【详解】由可得，则，由可得，利用完全平方可得，，，综上，故选：D【点睛】本题主要考查了做差法比较两个数的大小，考查了推理与运算能力，属于难题.2．已知，，且，则的最大值为（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】由已知条件可得，令，，可得，，，进一步可得，最后利用基本不等式求出最大值即可.【详解】，，配凑得：，两边同时除以4得：，即，令，，则，，，所以（当且仅当即时，等号成立）.故选：C.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查转化和划归思想，属于难题.3．已知，满足，则的最小值为（

）A． B．4 C． D．【答案】C【解析】由题意可得，结合目标式即可构造出，进而利用基本不等式求的最小值【详解】由知：，而，∴，则∴故选：C【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值，由已知方程得到目标式的等价形式，应用等价代换构造出基本不等式的形式求最值4．已知正实数满足，则的最小值为（

）A．10 B．11 C．13 D．21【答案】B【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【详解】解：正实数满足，则，，即：，当且仅当且，即时取等号，所以的最小值为11.故选：B.【点睛】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质的应用，同时考查转化思想和计算能力．5．已知，则的最大值是（

）A． B． C．0 D．【答案】A【解析】利用均值不等式及三角换元法，即可得到结果.【详解】令，等号在时取到．故选：A【点睛】本题考查利用基本不等式求最值问题，考查了三角换元法，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中档题.6．设，则取得最小值时，的值为（

）A． B．2 C．4 D．【答案】A【解析】转化条件为原式，结合基本不等式即可得解.【详解】，当且仅当，即，，时，等号成立.故选：A.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.7．已知实数，关于的不等式的解集为，则实数a、b、、从小到大的排列是(

)A． B．C． D．【答案】A【分析】由题可知，再利用中间量，根据与之间的关系求出的取值范围，即可判断a、b、、之间的关系.【详解】由题可得：，.由，，设，则.所以，所以，.又，所以，所以.故，.又，故.故选：A.8．若对任意实数，不等式恒成立，则实数a的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分离变量将问题转化为对于任意实数恒成立，进而求出的最大值，设及，然后通过基本不等式求得答案.【详解】由题意可得，对于任意实数恒成立，则只需求的最大值即可，，设，则，再设，则，当且仅当时取得“=”.所以，即实数a的最小值为.故选：D.9．已知正实数，，若，，则的取值范围是A． B．C． D．【答案】A【分析】可先对作变形处理，得，结合基本不等式进行放缩，可得，再进一步化简求值即可【详解】由，得，化简得，解得，即的取值范围为，故选A【点睛】本题考查根据不等式求解参数取值范围问题，形如变形成这种式子，应作为解题模型之一，强化应试技巧10．若、、均大于0，且，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】注意,而,从而沟通了问题与已知的联系,然后利用基本不等式求最值.【详解】解：、、均大于0,当且仅当时取“=”,的最大值为.故选:C【点睛】利用基本不等式求最值是高考考查的重点内容,对不符合基本不等式形式的应首先变形,然后必须满足三个条件：一正、二定、三相等.11．设集合，，，，其中，下列说法正确的是A．对任意，是的子集，对任意，不是的子集B．对任意，是的子集，存在，使得是的子集C．对任意，使得不是的子集，对任意，不是的子集D．对任意，使得不是的子集，存在，使得不是的子集【答案】B【分析】运用集合的子集的概念，令，推导出，可得对任意，是的子集；再由，，求得，，即可判断与的关系.【详解】解对于集合，，可得当即可得，即有，可得对任意，是的子集；当时，，可得是的子集；当时，，可得不是的子集；综上可得，对任意，是的子集，存在，使得是的子集.故选：【点睛】本题考查集合间的关系，一元二次不等式的解法，属于中档题.12．若正数、满足，设，则的最大值是A．12 B．-12 C．16 D．-16【答案】A【分析】根据则，将式子换元成关于的二次函数，利用二次函数的性质求最值，值得注意的取值范围.【详解】解：、解得当且仅当时取得最大值故选：【点睛】本题考查二次函数的性质，重要不等式的应用，属于中档题.13．已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】根据题意设，，由一次函数以及不等式分析得时，，变形后代入，然后利用基本不等式求解.【详解】设（），（），因为，所以当时，；当时，；当时，；由不等式恒成立，得：或，即当时，恒成立，当时，恒成立，所以当时，，则，即，则当时，，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故选：B.二、多选题14．下列关于基本不等式的说法正确的是（

）A．若，则的最大值为B．函数的最小值为2C．已知，，，则的最小值为D．若正数x，y满足，则的最小值是3【答案】AC【分析】根据均值不等式求最值，注意验证等号成立的条件.【详解】因为，所以，，当且仅当即时，等号成立，故A正确；函数，当且仅当，即时，等号成立，故B错误；因为，，，所以，当且仅当，即时，等号成立，故C正确；由可得，，当且仅当，即时等号成立，故D错误.故选：AC【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.15．已知，均为正实数，且，则（

）A．的最大值为 B．的最小值为C．的最小值为 D．的最小值为【答案】ACD【分析】对A，利用基本不等式即可解得；对B，将2换成，进而利用基本不等式得到答案；对C，将原式化简为，进而根据代换，然后得到答案；对D，将原式变化为，进而化简，然后设，而后用进行代换，最后用基本不等式得到答案.【详解】因为，均为正实数，且，对A,，当且仅当时取“=”，正确；对B，，当且仅当时取“=”，错误；对C，，当且仅当时取“=”，正确；对D，，设，则上式，当且仅当时取“=”，正确；故选：ACD.16．已知关于x的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】由一元二次不等式的解集可得判断A、D，再将题设转化为，结合二次函数的性质，应用数形结合的方法判断B、C.【详解】由题设，的解集为，∴，则，∴，，则A、D正确；原不等式可化为的解集为，而的零点分别为且开口向下，又，如下图示，∴由图知：，，故B错误，C正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：由根与系数关系得，结合二次函数的性质及数形结合思想判断各选项的正误.三、填空题17．设,则的最大值为．【答案】【详解】由两边同时加上得两边同时开方即得：（且当且仅当时取“=”），从而有（当且仅当,即时，“=”成立）故填：.考点：基本不等式.【名师点睛】本题考查应用基本不等式求最值，先将基本不等式转化为（a>0,b>0且当且仅当a=b时取“=”）再利用此不等式来求解.本题属于中档题，注意等号成立的条件.18．已知x＞0，y＞0，且，则的最大值为．【答案】-25【分析】，所以，即x+y=xy，且x＞1，y＞1，再结合基本不等式即可得到的最大值．【详解】解：依题意，x＞0，y＞0，且，所以x＞1，y＞1，且，即x+y=xy，所以=+=-9-4-（+），因为＞0，＞0，所以=-13-（+）≤-13-2=-13-2=-13-12=-25．当且仅当x=，y=时等号成立．故答案为-25．【点睛】本题考查了基本不等式，考查学生的计算能力，正确运用基本不等式是关键．本题属于难题．19．已知正数，满足，若恒成立，则实数的取值范围是．【答案】【分析】将变形为，利用均值不等式求的最小值即可求解.【详解】因为，所以，而，当且仅当，即时等号成立，所以，故知，故答案为：【点睛】本题主要考查了式子的变形化简，均值不等式，“1”的技巧，属于难题.20．若正数满足，则的最小值是.【答案】【分析】由题得，设，得到，令，则，解不等式即得解.【详解】由为正数，且所以，设，则有，上式转化为，即，由基本不等式易得，所以，（当且仅当时取等）令，则，上式转化为，即，解得或（舍去），所以的最小值为.故答案为：【点睛】本题主要考查基本不等式及其应用，考查一元二次不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21．已知，，，则的最小值为．【答案】-1【分析】由已知可得（关键转化），进而利用基本不等式求解.【详解】,当且仅当时取“=”，最小值为7，最小值为.故答案为：.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，关键在于化归与转化，属较难试题.22．已知实数，满足，，且，则的最小值为．【答案】5【分析】设，，则，可得，展开后利用基本不等式求解即可.【详解】设，，则，且，当且仅当，即时取等号．此时，有解．故答案为：5.【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.23．设，，是三个正实数，且，则的最大值为.【答案】3【分析】由得到，代入转化为，令，，得到，利用基本不等式求解.【详解】因为，所以，所以，令，所以，当且仅当，即时，取等号，所以所以的最大值为3故答案为：3【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于较难题.24．已知正实数满足则的最小值为.【答案】【解析】根据，利用一元二次方程的解法结合,得到，进而得到，利用基本不等式求解.【详解】因为正实数满足，所以，解得，因为，所以，所以当且仅当，取等号，所以的最小值为故答案为：【点睛】关键点点睛：本题关键是利用方程思想，由条件解得x，将问题转化为解决.25．若对任意实数，则最小值是.【答案】8【解析】令，则，然后利用基本不等式可得到答案.【详解】令，则，当且仅当，即取等号.故答案为：8【点睛】方法点睛：在多次运用基本不等式求最值时，一定要检验等号成立的条件是否一致，不一致的话求出来的最值是取不到的.26．已知为正实数，则的取值范围是.【答案】【解析】先将分式的分子分母同除以，然后采用换元的方法令，根据基本不等式的变形求解出原式的最小值，再根据分析原式的最大值，由此求解出原式的取值范围.【详解】因为，令，因为，所以，所以原式，又因为，所以，所以，所以原式，取等号时，即，又因为时，，综上可知原式的取值范围是，故答案为：.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.27．若对，使得成立，则实数a的取值范围是.【答案】【分析】构造函数，，由已知可知，代入即可求解.【详解】令函数，开口向上，对称轴为，在时函数单调递减；令函数，函数在R上单调递增；由对，使得成立，即则需，即即，解得：所以实数a的取值范围是故答案为：【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数，（1）若，，总有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；28．已知实数，且满足，则．【答案】【分析】先分析当时，推出，不符合题意；再分析时，将已知条件变形为关于的一元二次方程，即，由已知该方程有解，可求出的值，代入求出的值，进而求得结果.【详解】当时，，又，，则，不符合题意；当时，整理成关于的一元二次方程，即①判别式当时，，要使方程有解，则不符合，，即，即又，将代入方程①得，，解得：故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查利用方程有解求参数，解题的关键是先分析不符合题意，再看时，将已知条件转化成关于的一元二次方程，利用方程有解求参数，考查学生的转化与化归能力与运算求解能力，属于较难题.四、双空题29．已知正实数满足，则的最大值为；的最小值为.【答案】1【分析】由已知可得，利用基本不等式可得解，第二空变形代数式结合运用“1”妙用的代换，再利用基本不等式求最值，即可得答案；【详解】，，当且仅当，即时等号成立，的最大值为，，，等号成立当且仅当，即时等号成立，的最小值为1.故答案为：；1.五、解答题30．解关于的不等式.【答案】答案不唯一，见解析【分析】先讨论不等式是否为一元二次不等式,若为一元二次不等式，则解出其等式的两个根,讨论其开口方向与两根的大小关系，即可得出结论.【详解】解：（1）当时，原不等式可化为，此时不等式的解集为；（2）时，方程的解为，.①当时，因为，所以不等式的解集为；②当时，因为，所以不等式的解集为；③当时，因为，所以不等式的解集为；④当时，因为，所以不等式的解集为.【点睛】本题考查含参不等式的解法.属于中档题.解含参不等式.首先需确定不等式的类型：一次、二次、分式、绝对值.确定类型后再利用相应的解法求解.31．（1）关于x的不等式的解集为，求实数a的取值范围；（2）解关于x的不等式；（3）设（1）中a的整数值构成集合A，（2）中不等式的解集是B，若中有且只有三个元素，求实数m的取值范围.【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析；（3）.【解析】（1）根据题意，分，和三种情况讨论，结合二次函数的性质，即可求解；（2）化简不等式为，转化为且，结合一元二次不等式的解法，分类讨论，即可求解.（3）由（1）得，根据中有且只有三个元素，结合不等式的解集，分类讨论，得出不等式组，即可求解.【详解】（1）当时，不等式可化为无解，满足题意；当时，不等式化为，解得，不符合题意，舍去；当时，要使得不等式的解集为，则满足，解得，综上可得，实数a的取值范围是.（2）由不等式，可得，即且，当时，不等式等价于，解得；当时，由，不等式且的解集为，当时，且，当时，解集为，当时，解集为，当时，解集为，综上，当时，解集为，当时，解集为，当时，解集为，当时，解集为，当时，解集为.（3）由（1）得，当中有且只有三个元素，显然不可能，当时，因为，不合题意，舍去，当时，，因为中有且只有三个元素，所以，，解得，综上，实数m的取值范围是.【点睛】解含参数的一元二次不等式的步骤：（1）若二次项含有参数，应先讨论参数是等于0、小于0，还是大于0，然后整理不等式；（2）当二次项系数不为0时，讨论判别式与0的关系，判断方程的根的个数；（3）确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集的形式.32．已知为一个数集，集合.（1）设，求集合的元素个数；（2）设，证明：若，则；（3）设，，且，，若，求的最小值.【答案】（1）8个；（2）证明见解析；（3）.【分析】（1）对的取值分类讨论，即得集合的元素个数；（2）因为，设，再证明；（3）由题得，设，利用基本不等式和判别式法求最小值.【详解】（1）时，；；；时，；时，；时，；时，；时，；时，；所以，它有8个元素；（2）因为，所以设，.所以得证.（3），设，∴，，设，整理得，由得，即.【点睛】本题主要考查集合的表示，考查集合和元素的关系，考查基本不等式和最值的求法，意在