辽宁省抚顺市、葫芦岛市2023年数学中考试卷

辽宁省抚顺市、葫芦岛市2023年数学中考试卷

一、单选题

1.实数3的相反数是（）

A.3B.ɪC.-JD.-3

2.下列图形中、既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

3.下列运算正确的是（）

3324623325

A.X÷X=XB.X-2X=2XC.x+3x=4xD.（x）=x

4.下图是由5个完全相同的小正方体搭成的几何体、这个几何体的主视图是（）

正面

5.某校对部分参加夏令营的中学生的年龄进行统计，结果如下表:

年龄岁131415161718

人数/人58112097

则这些学生年龄的众数是（）

A.13岁B.14岁C.15岁D.16岁

6.在一个不透明的袋子中装有6个白球和14个红球，这些球除颜色外无其他差别、随机从袋子中摸出一

个球，则摸到白球的概率为（）

ʌ1R3C3PjJ_

ʌ-3b∙7c∙10υ∙10

7.如图，直线4B,CO被直线EF所截，AB||CD,41=122。，则/2的度数为（）

E

A.48oB.58oC.68oD.78°

F

8.《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送

到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天：如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天.已知

快马的速度是慢马的2倍，求规定时间.设规定时间为X天，则可列方程为（）

900ɔ900D900900

O900900v„2C.驾=噌X2

・x—÷rτl×2=—%—3ɔB∙Ξ+T=F≡3×X-Ix+3D-≡→×2^Ξ+3

9.如图，在AABC中，AB=AC,NCaB=30。，BC=3√2,按以下步骤作图：①分别以点A和点8为

圆心，大于*4B长为半径作弧，两弧相交于E尸两点；②作直线EF交AB于点交AC于点N.连接

BN.则力N的长为（)

A.3+√3C.2√3D.3√3

第10题图

10.如图，乙MAN=60。,在射线4N上分别截取4C=AB=6,连接BC,NM4N的平分线交BC于点

D,点E为线段上的动点，作EFjLZM交AM于点F,作EGllAM交射线/D于点G,过点G作GH_LAM

于点"，点E沿48方向运动，当点E与点B重合时停止运动.设点E运动的路程为X,四边形EFHG与小

4BC重叠部分的面积为S,则能大致反映S与X之间函数关系的图象是（)

二、填空题

若而7I有意义,则实数4的取值范围是

12.分解因式：2τ∏2_18=

13.若关于X的一元二次方程/一6%+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是

14.某跳远队准备从甲、乙两名运动员中选取一名成绩稳定的参加比赛，这两名运动员10次测试成绩

（单位：m）的平均数是无尹=6.01,Xz=6.01,方差是SJ=O.01,=0.02,那么应选.去参

加比赛.（填"甲''或"乙”）

15.如图，在Rt△4BC中，乙4CB=90。，点。为BC的中点，过点C作CE||交ZD的延长线于点E,若

AC=4,CE=5,贝"CD的长为

第15题图

16.如图，在平面直角坐标系中，点4的坐标为（0,2），将线段40绕点4逆时针旋转120。，得到线段4B,

连接。B,点B恰好落在反比例函数y=1（x>0）的图象上，则k的值是.

17.如图，平行四边形ABCz）的对角线/C,BD相交于点0,过点B作BEllAC,交ZM的延长线于点B,连接

18.如图，在矩形ABCD中，AB=8,4。=10,点M为BC的中点，E是BM上的一点，连接4E,作点B

关于直线AE的对称点8‘，连接。夕并延长交BC于点E当BF最大时，点B'到BC的距离是.

三、解答题

19.先化简，再求值：¾⅛÷⅛⅛-π⅛Γ-其中巾=2.

血乙一9Πl~ΓD∣IL~Γ1

20.为了推进“优秀传统文化进校园”活动，学校准备在七年级成立四个课外活动小组，分别是：A.民族

舞蹈组；B.经典诵读组；C.民族乐器组；D.地方戏曲组.为了了解学生最喜欢哪一个活动小组，学校

从七年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，每人必须选择且只能选择一项，并将调查结果绘制

成如下两幅统计图.

学生最喜欢的活动小组条形统计图学生最喜欢的活动小组扇形统计图

请根据图中提供的信息解答下列问题：

（1）本次调查的学生共有人；

（2）在扇形统计图中，求D组所对应的扇形圆心角的度数，并补全条形统计图；

（3）在重阳节来临之际，学校计划组织学生到敬老院为老人表演节目，准备从这4个小组中随机抽取2个

小组汇报演出，请你用列表法或画树状图法，求选中的2个小组恰好是C和D小组的概率.

21.某超市销售甲、乙两种驱蚊手环，某天卖出3个甲种驱蚊手环和1个乙种驱蚊手环，收入128元；另

一天，以同样的价格卖出1个甲种驱蚊手环和2个乙种驱蚊手环收入76元.

（1）每个甲种驱蚊手环和每个乙种驱蚊手环的售价分别是多少元？

（2）某幼儿园欲购买甲、乙两种驱蚊手环共10（）个，总费用不超过2500元，那么最多可购买甲种驱蚊手

环多少个？

22.小亮利用所学的知识对大厦的高度CD进行测量，他在自家楼顶B处测得大厦底部的俯角是30。，测得

大厦顶部的仰角是37。，己知他家楼顶8处距地面的高度BA为40米（图中点A,B,C,。均在同一平面

内）.

（1）求两楼之间的距离4C（结果保留根号）；

D

，IMI

,IMI

■M

♦IwwI

，Iini

♦∙*l

ft√37o

冲力3声.

■II■■

∖'¼I!1

.∙∣、l∙*∣

Cl

AC

（2）求大厦的高度CD（结果取整数）.（参考数据:sin37o≈0.60,cos37°≈0.80,tan37o≈0.75,

√3≈1.73）

23.电商平台销售某款儿童组装玩具，进价为每件10（）元，在销售过程中发现，每周的销售量y（件）与

每件玩具售价X（元）之间满足一次函数关系（其中100≤x≤160,且X为整数）.当每件玩具售价为120

元时，每周的销量为80件；当每件玩具售价为140元时，每周的销量为40件.

(I)求y与X之间的函数关系式;

(2)当每件玩具售价为多少元时，电商平台每周销售这款玩具所获的利润最大？最大周利润是多少元?

24.如图，△ABC内接于。。，4B是G)O的直径，CE平分NACB交。。于点£,过点E作EFll4B,交以

的延长线于点F.

(1)求证：EF与。。相切；

(2)若NGIB=30。，AB=8,过点E作EG1/C于点M,交。。于点G,交AB于点、N,求府的长.

25.aABC是等边三角形，点E是射线BC上的一点(不与点B,C重合)，连接AE,在AE的左侧作等边三角

交DE于点M.

(1)如图1,当点E为BC中点时，请直接写出线段Z)M与EM的数量关系;

(2)如图2.当点E在线段BC的延长线上时，请判断(1)中的结论是否成立？若成立，请写出证明过

程；若不成立，请说明理由;

(3)当BC=6,CE=2时，请直接写出AM的长.

26.如图，抛物线y=£^2+[x+£：与X轴交于点4和点8(3.0),与y轴交于点C(0,4),点P为第一象限

内抛物线上的动点过点P作PE1X轴于点E,交BC于点F.

(1)求抛物线的解析式；

(2)当的周长是线段PF长度的2倍时，求点P的坐标;

(3)当点P运动到抛物线顶点时，点。是y轴上的动点，连接BQ,过点B作直线/IBQ,连接Q尸并延

长交直线[于点当BQ=BM时，请直接写出点的坐标.

答案解析部分

L【答案】D

【解析】【解答】解：实数3的相反数是-3.

故答案为：D

【分析】求一个数的相反数就是在这个数的前面添上号，即可求解.

2.【答案】B

【解析】【解答】解：A、此图形不是中心对称图形，故A不符合题意；

B、此图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故B符合题意；

C、此图形不是轴对称图形，故C不符合题意；

D、此图形不是中心对称图形，故D不符合题意；

故答案为：B.

【分析】中心对称图形是图形绕某一点旋转180。后与原来的图形完全重合，轴对称图形是将一个图形沿某

直线折叠后直线两旁的部分互相重合，再对各选项逐一判断.

3.【答案】B

【解析】【解答】解：A、χ3÷χ3=l,故A不符合题意；

B、x2∙2x4=2x6,故B符合题意；

C、x+3χ2不能合并，故C不符合题意；

D、(x3)2=χ6,故D不符合题意；

故答案为：B.

【分析】利用同底数基相除，底数不变，指数相减，可对A作出判断；利用单项式乘以单项式的法则进

行计算，可对B作出判断；只有同类项才能合并，可对C作出判断；利用暴的乘方，底数不变，指数相

乘，可对D作出判断.

4.【答案】C

【解析】【解答】解：从正面看，有三列两行，第一行中间一个，第二行有三个小正方形故A、B、D不符

合题意；C符合题意；

故答案为：C.

【分析】主视图就是从几何体的正面所看到的平面图形，观察几何体，可得答案.

5.【答案】D

【解析】【解答】解：由表中数据可知，16出现了20次，是出现次数最多的数，

.∙.这组数据的众数是16岁.

故答案为：D.

【分析】利用众数就是一组数据中出现次数最多的数，据此可求解.

6.【答案】C

【解析】【解答】解：Y在一个不透明的袋子中装有6个白球和14个红球,

.∙.随机从袋子中摸出一个球，则摸到白球的概率为AR=条.

JL4十。IU

故答案为：C.

【分析】根据题意可知一共有20种结果数，随机从袋子中摸出一个球，摸到白球的情况有6种，然后利

用概率公式进行计算.

7.【答案】B

【解析】【解答】解：如图,

VBA√CD,

.∙.N1=/3=122°,

VZ2=180o-Z3,

ΛZ2=180o-122o=58o.

故答案为：B.

【分析】利用平行线的性质可求出N3的度数，再利用邻补角的定义求出/2的度数.

8.【答案】A

【解析】【解答】解：设规定的时间为X天，根据题意得

900900

-

%+i1TX2=x-3ɔ

故答案为：A.

【分析】此题的等量关系为：慢马送的时间=规定的时间+1;快马送的时间=规定的时间-3；再根据快马

的速度是慢马的2倍，列方程即可.

9.【答案】B

【解析】【解答】解：过点C作CG_LBN于点G,

ΛZBGC=90o,

由作图可知EF垂直平分AB,

，AN=BN,

ΛZA=ZABN=30o,

VAB=AC,

ΛZABC=ZACB=i(I80O-30O)=75°,

.∙.NCBG=NABC-NABN=75°-30°=45°,

...△BCG是等腰直角三角形，

∙*∙CG=BG=ɪBC=芋X3^2=3)

：ZCNG=ZA+ZABN=30o+30o=60o,

ZGCN=90o-60o=30o,

∙*∙∕VG=CGtan30°=3×2y=√3>

；.AN=BN=NG+BG=3+y∕3.

故答案为：B.

【分析】过点C作CGLBN于点G,由作图可知EF垂直平分AB,利用线段垂直平分线的性质可证得

AN=BN,利用等边对等角可证得NA=NABN=30。，利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出

/ABC的度数，再根据/CBG=/ABC-/ABN,代入计算去除NCBG的度数，可证得△BCG是等腰直角

三角形，利用解直角三角形求出BG的长；然后证明/GCN=30。，利用解直角三角形求出NG的长，即可

求出AN的长.

10.【答案】A

【解析】【解答】解：∙.∙∕MAN=60o,AB=AC,

Λ∆ABC是等边三角形，

.∖AD平分/CAB,

ΛZCAD=ZBAD=30o,AD±BC,CD=BD=3,

当矩形EFGH全部在△ABC中时,此时()<x<3,图1到图2,

AEEB

图1

VEG//AC,

...ZNAD=ZAGE=ZCAD=30o,

二AE=EG=x,

在Rt∆AEF中，

EF=AEsmLCAB=孚》，

∙"∙s=EF-EG=亨公；

图3,AE+AF=AC,即％+5%=6

解之：x=4,由图2到图3,此时3Vxa;

如图4,易证AEQB是等边三角形，

ΛEQ=EB=BQ=6-x,

.*.GQ=x-(6-x)=2x-6,

∙*∙S=S矩形EFGH-SaPQG=^^X2_i×√3ζ2x—6)2-——^―+12-18^35

图6,x=6,由图3变到图6,此时4VxW6;

如图5,由题意可知AEKB是等边三角形，

・・EKEB=BK=6-x,FC=AC-AF=6—X，EF=号X，

∙*∙S=S梯形EFcκ=i(6—x+6—3%)•苧％=—X2+3V3χ;

字/(θ<x≤3)

综上所述，s与X的函数解析式为S=，一竽％2+12√3%-18√3(3<x≤^)

、+3Λ∕3X(4<x≤6)

三段函数都是二次函数，第1段是开口向上，第2、3段是开口向下的抛物线，

故B、C、D不符合题意，A符合题意.

故答案为：A.

【分析】利用有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形，可证得AABC是等边三角形，利用等边三角形

的性质可得到/CAD=NBAD=30。，AD±BC,CD=BD=3,分情况讨论：当矩形EFGH全部在△ABC中

时，此时()<x≤3,图1到图2,可得至IJAE=EG=x,利用解直角三角形表示出EF的长，利用矩形的面积公

式可得到S与X的函数解析式；由图3可知AE+AF=AC,可得到关于X的方程，解方程求出X的值，由图

2到图3,此时3<xW4;如图4,易证△EQB是等边三角形，可表示出EQ、GQ的长再根据S=SJWEFGH-

SAPQG,可得到S与X的函数解析式；图6,x=6,由图3变到图6,此时4<x≤6;如图5,由题意可知

△EKB是等边三角形，可表示出EK,FC,EF的长，根据S=SMEFcκ,利用梯形的面积公式可得到S与X

的函数解析式；综上所述可得到S与X的函数解析式，由此可得到三段函数都是二次函数，第1段是开口

向上，第2、3段是开口向下的抛物线，观察各选项可得答案.

11.【答案】a≥2

【解析】【解答】解：由题意得a-2K),

解之：aN2.

故答案为：aN2.

【分析】利用二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，可得到关于a的不等式，然后求出不等式的解

集.

12.【答案】2(m+3)(m-3)

【解析】【解答】解：2m2-18

=2(m2-9)

-2(m+3)(m-3).

故答案为：2(m+3)(m-3).

【分析】先提取公因数2,再利用平方差公式继续分解即可.

13.【答案】k<9

【解析】【解答】解：：关于X的一元二次方程χ2-6x+k=0有两个不相等的实数根，

Λb2-4ac>0即36-4k>0,

解之：k>9

故答案为：k>9.

【分析】利用一元二次方程aχ2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根，可得到b2-4ac>0,由此可得到关

于k的不等式，然后求出不等式的解集.

14•【答案】甲

【解析】【解答】解：..∙0∙01=0∙01,0.01<0.02,

二两人的平均水平相同,SMVSz.2,

•••甲的成绩稳定，应该选甲去参加比赛.

故答案为：甲.

【分析】利用己知可知两人的平均数相同，再比较两人成绩的方差大小，根据方差越小，成绩越稳定，

据此可求解.

15.【答案】I

【解析】【解答】解：Y点D是BC的中点，

ΛBD=CD,

VCEZzAB,

/.ZBAD=ZE,

在^ABD和^ECD中

∆BAD=Z-E

Z-ADB=乙EDC

BD=CD

Λ∆ABD^∆ECD(AAS),

ΛAB=CE=5,

在Rt∆ABC中，

BC=y∣AB2—AC2=√52-42=3，

ACD=∣SC=|.

故答案为：|.

【分析】利用线段中点可证得BD=CD,利用平行线的性质可得到NBAD=/E,利用AAS证明

ΔABD^∆ECD,利用全等三角形的性质可得到AB的长；再利用勾股定理求出BC的长，继而可求出

CD的长.

16.【答案】3√3

【解析】【解答】解：过点B作BCLy轴于点C,

y

ɪπ—vɪ

ΛZBCA=90o,∙.∖⅛(A(0,2),ΛOA=2,；将线段40绕点A逆时针旋转120。，得到线段4B,

二AO=AB,ZOAB=120o,

ΛZCAB=180o-120o=60%

在Rt∆ABC中，

AC=∣AB=1,BC=CAtanZCAB=tan60o=√3,

.∙.CO=OA+CA=1+2=3,

.∙.点B(3,√3),

Y点B在反比例函数图象上，

∙,.k=3√3

故答案为：3√5∙

【分析】过点B作BCly轴于点C,利用点A的坐标可求出OA的长，利用旋转的性质可求出AB的

长，同时求出/CAB=60。，利用解直角三角形求出AC,BC的长，即可得到点B的坐标；然后将点B的

坐标代入函数解析式求出k的值.

17.【答案】I

【解析】【解答】解：Y四边形ABCD是平行四边形，

ΛAD/7BC,OA=OC,

VBE√AC,

.∙.四边形AEBC是平行四边形，

ΛAC=BE=2OA,

Λ∆OAF^∆EBF,

.AO_0F_1

•屈=丽=2

•s∆AOF_fA0\2-1

••玲向T

•∙SΔBEF~~4SΔAOFf

-S&AFE_EF一？

•∙SΔAEF~2SΔAOF,

同理可证SΔBEF=2SΔOBF,

SΔOBC=S∆AOB,

设SAAOF=X,则S^BEF=4X,SΔAEF=2X,SΔOBF=2X,

•・SΔOBe=SAAOB~3X,

S四边形BCOF=S△BOC+SΔBOF=3X+2X=5X,

.∙.四边形BCOF的面积与^AEF的面积之比为”=⅜.

ZxL

故答案为：去

【分析】利用平行四边形的性质可证得AD〃BC,OA=OC,利用有两组对边分别平行的四边形是平行四

边形，可证得四边形AEBC是平行四边形，利用平行四边形的性质可推出AC=BE=20A,同时可证得

ΔOAF∞∆EBF,利用相似三角形的性质，可求出OF与EF的比值，同时可证得SABEF=4SAAOF,

SAAEF=2SAAOF,SABEF=2SAOBF,SAOBC=SAAOB,设SAAcIF=x,可表示出ABEF,AAEF,ΔOBF,△OBC的

面积，再根据SmwBCOF=SABoC+SABOF,可表示出四边形BCOF的面积，然后求出四边形BCoF的面积与

∆AEF的面积之比.

18.【答案】.

【解析】【解答】解：过点B作B,H±BC于点H,

ΛZABE=90o,AD/7BC,

；点B关于直线AE的对称点为点BT

ΛAB=AB,,BE=B,E,NAEB=∕AEB',NABE=∕AB'E=90°,

当DFLAB，时，BF有最大值，

ΛZAB,F=ZAB,E=90o,

.∙.点E与点F重合，

VADBC,

.∙.NDAE=NAEB=NAEB',

AAD=DE=IO,

，CE=√DF2-CD2=√100-64=6,

ΛBE=B,E=4,

VB,H1BC,DClBC,

ΛB,H√CD,

Λ∆EB,H^>∆EDC,

.EB'B'Hβ∖↑4B1H

••亚=B即IU=丁

解之：HB'=岩

故答案为：号.

【分析】过点B，作BH_LBC于点H,利用矩形的性质可证得/ABE=90。，AD〃BC,利用轴对称的性质可

得至IJAB=AB-BE=B,E,ZAEB=ZAEBf,ZABE=ZAB,E=90o,当DF_LAB，时，BF有最大值，此时点E

与点F重合，利用平行线的性质可推出NDAE=NAEB=NAEB，，可得到DE的长，利用勾股定理求出CE

的长及EB，的长；再证明AEB，HSaEDC,利用相似三角形的对应边成比例可求出HB，的长.

【答案】解∙2m~62m+2-ɪ-

ι1y9

∙Ln杀J≡-∙m2_9-m+3m+1

_2(m-3)2(m+1)m

-(m+3)(m-3)m+3m+1

2(m-3)m+3m

(τπ+3)(τπ-3)2(τn+l)m+1

1m

~m+1m+1

一m÷l,

当m=2时，

原式=祭=V∙

【解析】【分析】先将分母能分解因式的先分解因式，同时将分式除法转化为乘法运算，约分化简，再利用

分式减法法则进行计算，然后将m的值代入化简后的代数式进行计算.

20.【答案】(1)100

(2)解：D组所对应的扇形圆心角的度数为：360。X播=36。，

选择B组的人数为：Ioo-15-35-10=40(人)，

补全条形统计图如下：

（3）解：用树状图表示所有等可能出现的结果如下：

开始

第1组

第2组

共有12种等可能出现的结果，其中2个小组恰好是C和D小组的有2种，

所以选中的2个小组恰好是C和D小组的概率为212=16.

【解析】【解答］解：（1）本次调查的学生共有35÷35%=100人.

故答案为：100.

【分析】（1）利用两统计图可知本次调查的学生人数=C组的人数÷C组的人数所占的百分比，列式计算.

（2）D组所对应的扇形圆心角的度数=360。XD组的人数所占的百分比，列式计算；再求出B组的人数，

然后补全条形统计图.

（3）根据题意可知此事件是抽取不放回，列出树状图，根据树状图可得到所有等可能的结果数及选中的2

个小组中恰好是C、D小组的情况数，然后利用概率公式进行计算.

21.【答案】（1）解：设每个甲种驱蚊手环的售价X元，每个乙种驱蚊手环的售价是y元，

根据题意得，胃；短啜，解得：岸：羿

答：每个甲种驱蚊手环的售价是36元，每个乙种驱蚊手环的售价是20元；

（2）解：设购买甲种驱蚊手环m个，则购买乙种驱蚊手环（IOO-∙m）个，

根据题意得：36m+20（100-m）≤2500,

解得m≤夸£，

又为正整数，

.∙∙m的最大值为31.

答：最多可购买甲种驱蚊手环31个.

【解析】【分析】（1）此题的等量关系为：3×每个甲种驱蚊手环的售价+Ix每个乙种驱蚊手环的售价

=128；IX每个甲种驱蚊手环的售价+2x每个乙种驱蚊手环的售价=76；据此设未知数，列方程组，求解即

可.

（2）此题的等量关系为：购买甲种驱蚊手环的数量+购买乙种驱蚊手环的数量=IO0；购买甲种驱蚊手环的

数量X其售价+购买乙种驱蚊手环的数量X其售价≤2500;设未知数，列不等式，然后求出不等式的最大整数

解.

22.【答案】（1）解：如图，作BEICO于点E,则BEIl力C,

由题意知NBCA=乙EBC=30o,∆BAC=90o,BA=40,

40

故AC==40√3,

tan∆BCAtan30o

即两楼之间的距离ZC为40百米;

(2)解：由题意知NBAC=∆ECA=Z.BEC=90°,

•••四边形ABEC是矩形，

.∙.BE=AC=40√3,CE=AB=40,

•：Rt△BED中,乙DBE=37。,

.∙.DE=BE∙tan∆DBE=40√3×tan37o≈40×1.73X0.75=51.9,

.∙.CD=DE+CE=51.9+40=91.9≈92,

即大厦的高度CD为92米.

【解析】【分析】（1）过点B作BE,De于点E,在RtZiABC中，利用解直角三角形求出AC的长.

（2）利用已知易证四边形ABEC是矩形，利用矩形的性质可得到BE,CE的长；再在RtABED中，利

用解直角三角形求出DE的长；然后根据CD=DE+CE,代入计算求出CD的长.

23.【答案】（1）解：设y与X之间的函数关系式为y=kx+b,

由F知科,12°k+b=80

由知行tl40k+b=40,

解得忆3⅛

因此y与X之间的函数关系式为y=-Ix+320（其中Ioo≤x≤160,且X为整数）；

（2）解：设每周销售这款玩具所获的利润为W,

由题意得VV=(-2x+320)(x-100)=-2(%-130)2+1800,

-2<0>

.∙∙W关于X的二次函数图象开口向上，

•••100≤%≤160,且X为整数，

••・当X=130时，W取最大值,最大值为1800,

即当每件玩具售价为130元时，电商平台每周销售这款玩具所获的利润最大，最大周利润是1800元.

【解析】【分析】(1)设y与X之间的函数关系式为y=kx+b,再将χ,y的两组对应值分别代入函数解析

式，可得到关于k、b的方程组，解方程组求出k、b的值，可得到函数解析式.

(2)利用总利润W=每一件的利润X销售量，可得到W与X的函数解析式，将其函数解析式转化为顶点

式，利用二次函数的性质可求出结果.

24.【答案】(1)证明：如图，连接OE,

∙∙∙∕B是。。的直径，

ʌZ.ACB=90°,

∙.∙CE平分乙4CB交。。于点E,

.∙.∆ACE=∣ZΛCB=45°.

.∙.∆AOE=2∆ACE=90°,

・•・OE1AB,

•・•EFHAB,

・•・OE1EF,

∙∙∙OE是。。的半径，

•••EF与G)O相切；

(2)解：如图，连接OG,OC,

C

・・・∆CAB=30o,Z.ACB=90o,

.•・Z-B=60°,

•・・OB=OC,

・•.△OBC是等边三角形，

・・・乙CoB=60°,

Λ乙AOC=180°-ZroB=120°,

V∆ACE=45o,EGLAC,

・・・Z.MEC=45°,

・・.乙GOC=2乙MEC=90°,

・・.∆AOG=乙AoC-∆GOC=30°,

"AB=8,AB是G)O的直径，

・••OA=OG=4,

«30τr×42π

二府=

即府的长为学.

【解析】【分析】(1)连接OE,利用直径所对的圆周角是直角，可证得NACB=90。，利用角平分线的定义

可求出/ACE=45。，然后利用一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可求出/AOE的度数，然后利用切

线的判定定理可证得结论.

(2)连接OG、OC,利用三角形的内角和定理求出/B的度数，利用有一个角是60。的等腰三角形是等边

三角形，可证得AOBC是等边三角形，利用等边三角形的性质可求出NCoB的度数，利用邻补角的定义

求出NAoC的度数，同时可求出/MEC的度数；利用圆周角定理可证得NGOC=90。，由此可求出

ZAOG=30o,然后利用弧长公式求出弧AG的长.

25.【答案】(1)解：4BC是等边三角形，点E是BC的中点，

1

"BAC=60o,LBAE="BAL

：.Z-BAE=30°,

・・・ZXADE是等边三角形，

J.∆DAE=60o,AD=AE,

"BAD=Z.DAE一乙BAE=60°-30°=30°,

.*.∆DAE=Z-BAE,

：.DM=EM；

(2)解：如图hDM=E仞仍然成立，理由如下：连接B。、DF,

"即:

•・△ABC^Δ4DE是等边三角形，

乙

：.Z.ABC=Z.BAC=∆DAE=ACB=60°,/IB=AC9AD=AEf

：.∆BAC-∆DAC=∆DAE-∆DAC,

."BAD=乙CAE,

Λ∆BAD≡ΔCAE(SAS)f

.∖∆ABD=乙4CE=180°一∆ACB=120o,BD=CE,

：.∆DBE=Z.ABD-∆ABC=120°-60°=6()0,

LDBE+乙BEF=60°+120°=180°,

:・BDHEF,

VCE=EF9

：.BD=EF,

・・・四边形BDFE是平行四边形，

:・DM=EM；

(3)解：如图2,当点E在BC的延长线上时,作4G口BC于G,

⅛

图2

'J∆ACB=60°,

:∙CG=AC-cos60°=^AC=3>AG=AC-sin60o=*AC=3∙∖∕3,

：.EG=CG+CE=3+2=5,

-AE=√½C2+EC2=J(3√3)2+52=2√13∙

由(2)知：DM=EM,

：.AM1DE,

.".∆AME=90。，

J.∆AED=60o,

'-AM=AE-sin60o=2√13X畛=√39>

如图3,当点E在BC上时，作AGIBC于G,

由上知：AG=3√3,CG=3.

：.EG=CG-CE=3-2=1,

'-AE=√ΛG2+EG2=J(3√3)2+I2=2√7»

'-AM=2√7×^y=√21>

综上所述：√1M=√55或V∑f.

【解析】【分析】(1)利用等边三角形的性质可证得NBAC=NDAE=60。，同时可求出NBAE=30。，

AD=AE,再根据NBAD=NDAE-NBAE,代入计算求出/BAD的度数，可证得∕DAE=∕BAE,利用等角

对等边可证得AM与EM的数量关系.

(2)连接BD,DF,利用等边三角形的性质可证得/ABC=/BAC=/DAE=/ACB=60。，AB=AC,

AD=AE,可证得NBAD=NCAE,利用SAS证明△BAD之4CAE,利用全等三角形的性质可得到

ZABD=120°,同时可证得BD=CE;再证明NDBE+NBEF=180。，可推出BD〃EF,利用一组对边平行且

相等的四边形是平行四边形可证得四边形BDFE是平行四边形，利用平行四边形的对边相等，可证得AM

与EM的数量关系.

(3)分情况讨论：当点E在BC的延长线上时，过点A作AG,BE于点G,连接BD,利用解直角三角

形可求出CG的长，根据EG=CG+CE,代入计算求出EG的长，利用勾股定理求出AE的长；由(2)可

知DM=EM,由AMJ_DE,可得到/AME=90。，ZAED=60o,利用解直角三角形求出AM的长；当点E

在BC上时，过点A作AG_LBC于点G,同理可求出AG,CG,EG的长，利用勾股定理求出AE的长,

利用解直角三角形求出AM的长，综上所述可得到符合题意的AM的长.

26.【答案】(1)解：将B(3.0),C(0,4)代入y=α∕+∣χ+c,

可得,2α+∣×3+c=0ι

Ic=4

f_4

解得卜=一3，

Ic=4

48

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二抛物线的解析式为y=3