第11讲对数与对数函数（精讲）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

第11讲对数与对数函数（精讲）

题型目录一览

①对数式的化简与求值

②对数函数的图像与性质

③解对数方程与不等式

④对数函数的综合应用

★【文末附录-对数运算与对数函数思维导图】

、知识点梳理

1.对数式的运算

⑴对数的定义：一般地，如果"=N（a>0且axl）,那么数x叫做以“为底N的对数，记作x=log.N,读

作以。为底N的对数，其中。叫做对数的底数，N叫做真数.

（2）常见对数:

①一般对数：以且为底，记为log"读作以〃为底N的对数;

②常用对数：以10为底，记为IgN；

③自然对数：以e为底，记为InN；

（3）对数的性质和运算法则：

①log〉。；log>l；其中a>0且awl；②ak*；：=N(其中〃>0且awl,N>0)；

③对数换底公式：1。8»=譬*；

④log.(MN)=log„M+log„N；

log,“

M⑥；

⑤log"—=log"M-log„N-log(/„b"='log,,b(m,"eR)

⑦/*=匕和log/”=6；⑧log*=

log—

2.对数函数的定义及图像

（1）对数函数的定义：函数丁=1。8产（。>。且“声1）叫做对数函数.

对数函数的图象

a>\0<a<1

图象1\l（h0）

q/（i,o）-v

定义域：（0,+8）

值域：R

性质过定点（1，0）,即X=1时，y=0

在（0,+8）上增函数在（0,+8）上是减函数

当0vx<l时，y<。当时,y之0当0<x<i时，y>0,当xNi时，yK。

【常用结论】

在同一坐标系内，当时，随“的增大，对数函数的图象愈靠近X轴；当0<。<1时，对数函数的图象随

4的增大而远离X轴.（见下图）

。增大

。增大

二、题型分类精讲

刷真题明导向

一、单选题

1.（2020.山东.统考高考真题）函数f（x）=J的定义域是（

）

lgx

A.（0,+力）B.（0,1）（1,+w）C.[0,l）U（l,^o）D.（l,+8）

【答案】B

【分析】根据题意得到]：>°八，再解不等式组即可.

[igXHO

fx>0

【详解】由题知：,,、，解得x>0且XK1.

[igxwO

所以函数定义域为（0,1）（1,茁）.

故选：B

2.（2022•天津.统考高考真题）化简⑵og43+log83）（log32+log92）的值为（）

A.1B.2C.4D.6

【答案】B

【分析】根据对数的性质可求代数式的值.

[详解]原式=（2xglog?3+Jog23）（log,2+|log,2）

43

=-log23x-log,2=2,

故选：B

3.（2021•天津•统考高考真题）若2"=5〃=10,则（）

ab

A.-1B.Ig7C.1D.log,10

【答案】C

【分析】由已知表示出〃力，再由换底公式可求.

10lo10

【详解】T=5*=10»­'•«=log2^=g5（

+\八+I1s=lg2+lg5=lg[0=l.

ablog210log510

故选：C.

4.（2021•全国•高考真题）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记

录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足A=5+lgV.已知某同

学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据为（）（晒=1.259）

A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

【答案】C

【分析】根据LW关系，当L=4.9时，求出IgV,再用指数表示V,即可求解.

【详解】由乙=5+lgV,当L=4.9时，lgV=-0,l,

,JL11

则丫=10如=10|。=西”而‘08.故选：C.

5.（2020・全国•统考高考真题）Logisric模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公

布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数/（f）（r的单位：天）的Logistic模型：/（，）=1/两，其中K

为最大确诊病例数.当/（/）=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则「约为（）（Inl9a3）

A.60B.63C.66D.69

【答案】C

【分析】将f=f*代入函数/⑺=结合/（『*）=095K求得f即可得解.

【详解】/"）=]+"-所以MA»，3广0953贝！倒=19，

所以，0.23”*—53）=lnl9=3,解得r*^-^-+53~66.

、,0.23

故选：C.

【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.

6.（2020•海南•高考真题）已知函数"x）=lg（x2-4x-5）在（。,a）上单调递增，则。的取值范围是（）

A.（2,+oo）B.[2,+oo）C.（5,+oo）D.[5,+oo）

【答案】D

【分析】首先求出/（x）的定义域，然后求出/食）=怆（f-以-5）的单调递增区间即可.

【详解】由》2-4》-5>0得x>5或x<T

所以f（x）的定义域为（7>,-1）55,收）

因为>=/-4》-5在（5,物）上单调递增

所以/（x）=lg（x2-4x-5）在（5,+8）上单调递增

所以故选：D

7.（2021.天津.统考高考真题）函数），=野的图像大致为（）

x+2

【分析】由函数为偶函数可排除AC,再由当xe(O,l)时，/(x)<0,排除D,即可得解.

【详解】设y=〃x)="号，则函数“力的定义域为{巾工0},关于原点对称，

又〃一司=胃¥=〃刈，所以函数“X)为偶函数，排除AC；

当xe(O,l)时，ln|x|(0,x2+2)0,所以〃x)<0,排除D.

故选：B.

8.(2022•北京•统考高考真题)在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷

制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和IgP的关系，其

中了表示温度，单位是K：P表示压强，单位是bar.下列结论中正确的是()

A.当7=220,尸=1026时，二氧化碳处于液态

B.当7=270,尸=128时，二氧化碳处于气态

C.当7=300,P=9987时，二氧化碳处于超临界状态

D.当7=360,P=729时，二氧化碳处于超临界状态

【答案】D

【分析】根据T与IgP的关系图可得正确的选项.

【详解】当7=220,尸=1026时，怆尸>3,此时二氧化碳处于固态，故A错误.

当T=270,P=128时，2<lgP<3,此时二氧化碳处于液态，故B错误.

当T=3（X）,尸=9987时，IgP与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，对应的是非超临界状态，故C错

误.

当7=360,P=729时，因2<lgP<3,故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确.

故选：D

9.（2021・天津•统考高考真题）设。=噫03力=%0.4,°=0.4。3,贝九。，乩。的大小关系为（）

A.a<b<cB.c<a<bC.h<c<aD.a<c<b

【答案】D

【分析】根据指数函数和对数函数的性质求出。力，。的范围即可求解.

【详解】log20.3<log21=0,6«0,

log10.4=-log,0.4=log,|>log,2=1,

22

0<0.403<0.4°=1,.,.0<C<1,

:.a<c<b.

故选：D.

10.（2022.天津•统考高考真题）已知a=2%6=（；）,c=k）g],则（）

A.a>c>bB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b

【答案】c

【分析】利用塞函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出a、6、C的大小关系.

>0=logl>log1

【详解】因为2°7>22故a>b>c.

故答案为：C.

2

11.（2020•全国•统考高考真题）设a=log32,fe=log53,c=则（）

A.a<c<bB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b

【答案】A

【分析】分别将改写为a=Jog32)^=1log53\再利用单调性比较即可.

112112

33

【详解】0>^a=-log32<-log39=-=c,fr=-log53>-log525=-=c,

所以a<c<b.

故选:A.

【点晴】本题考查对数式大小的比较，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.

12.(2021•全国•统考高考真题)设a=21nl.01,b=lnL02,c=Em-1.则()

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

【答案】B

【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c,b与c的大小关系，

将0.01换成x,分别构造函数/(x)=21n(l+x)-VI7m+l,g(x)=ln(l+2x)-卢^+l,利用导数分析其在

。的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c,b与c的大小关系.

【详解】［方法一J：

a=21nl.01=lnl,012=ln(l+0.01)2=ln(l+2x0.01+0.012)>Ini.02=/?,

所以

下面比较c与。涉的大小关系.

记f(x=21n(l+x—717^+1,贝！|〃0)=0,f'(x\=———=------，

V7l+x7174^(1+X)VF+4^

由于1+4X-(1+X)2=2x-x2=x(2-x)

所以当0<x<2时，1+4X-(1+X)2>0,即J1+4X>〈+X),盟X)>0,

所以〃x)在［0,2］上单调递增，

所以/(0。1)>/(。)=0,即21nl.01>Vn^T，即0>c；

令g(x)=ln(l+2x)-Jl+4x+l,贝!jg(0)=0,g'(x\=--------+,

、Jl+2x布瓦(l+x)5/l+4^

由于1+4X—(1+2X)2=TX2,在x>0时，1+4X-(1+2X)2<0,

所以g［x)<0,即函数g(x)在［0,+oo)上单调递减，所以g(0.01)<g(0)=0,BPlnl.02<>/L04-l,即b«；

综上，b<c<a,

故选：B.

[方法二]:

,、fr2l>

令f(x)=1n-+----x-l(x>l)

I2J

,<0,即函数/(x)在(1,+8)上单调递减

')x2+l

/(Vl+0.04)</(l)=0„-.b<c

,<X2+3^

令g(x)=21n------x+l(l<x<3)

、4，

g，(x)=(x：*x)>0,即函数g(x)在(1,3)上单调递增

g(Vl+0.04)(g(l)=0,.-.a)c

综上，b<c<a,

故选：B.

【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数,

利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.

二、填空题

13.(2020•北京•统考高考真题)函数/*)=—1+lnx的定义域是____________.

X+1

【答案】(0，”)

【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.

[x>0

【详解】由题意得,：.x>0

[X+1R0

故答案为：(。,+8)

【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.

14.(2020.山东.统考高考真题)若Iog2*-logi4=°,则实数x的值是.

2

【答案】7

4

【分析】根据对数运算化简为log?》=-2,求解X的值.

【详解】l°g2X-l°gL4=0olog2x+log24=0.

即logzX=-2,解得：.故答案为：1

44

三、双空题

15.（2022•全国•统考高考真题）若〃x）=In〃+丁!一+6是奇函数，则“=,b=

【答案】In2.

【分析】根据奇函数的定义即可求出.

【详解】［方法一］：奇函数定义域的对称性

若。=0,则/（x）的定义域为{xlxwl},不关于原点对称

:,a^0

若奇函数的〃加加"+占地有意义‘则x"且"占X。

」.xwl且工wl+L

a

函数/（X）为奇函数，定义域关于原点对称,

'"『f解得a=j

由"0)=0得,%+b=0,

b=In29

故答案为：-；；加2.

［方法二］:函数的奇偶性求参

/(x)=lna-\-—|+Z?=ln\--|+Z?=ln\~—~-+b

\—x1-x\—X

or+a+1

f(-x)=In+b

1+x

函数人刈为奇函数

ax-a-\i।ox+a+1

•••f(x)+f(-x)=lnl-x""1+x+2b=0

a2X2-(4+1)2

In+2b=0

x2-l

—2b=In—=—2ln2=>b=ln2

4

1L，C

/.a=—,b=/n2

2

［方法三］:

因为函数〃x)=lna++6为奇函数，所以其定义域关于原点对称.

由"+「_*()可得，(1—x)(a+l—奴片0,所以x=±tl=-i,解得：«=-'即函数的定义域为

\—xci2

再由f(O)=O可得，b=ln2.即y(x)=ln-：+J-+ln2=ln手，在定义域

内满足〃T)=-〃X),符合题意.

故答案为：In2.

题型一对数式的化简与求值

令策略方法对数运算的一般思路

首先利用黑的运算把底数或真数进行变形，

拆一化成分数指数早的形式，使嘉的底数最简，然

后利用对数运算性质化简合并

、r将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运

合一算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对

数真数的积、商、嘉的运算

①利用换底公式将不同底的对数式转化为同

底的对数式；

,r

且是解决

转化一②J=N0b=logQA^(a>0,aW1)

有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应

注意互化

【典例1］解答下列问题:

3/，4

⑴用111"”』”2表示111^^；

+3y

⑵已知2、=3、'=M，且——=1,求M的值.

孙

【答案】(l)；lnx+41ny-；lnz；

(2)72.

【分析】(1)根据对数的运算公式化简即可;

⑵由题意可得x=logzM,y=log3M,再根据换底公式可得1=log“22=logM3,由生包=1,可得

xyxy

23

一+—=1,代入计算即可.

y%

【详解】(1)解：因为In^i-=In&/1-InG=ln五+ln-lnG=Jnx+41ny-glnz；

(2)解：因为2*=3>=M,所以x=log2M,y=log3M,

所以1=10gM2,1=log.”3,

xy

又因为土羽=1,即2+之=1,

xyyx

所以210gM3+3喻2=%72=1，所以M=72.

【题型训练】

一、解答题

1.(2023•全国•高三专题练习)计算：(1)lg25+lg21g50+(lg2)2；

2

,n35

⑵e+logF25+(0.125)--

【答案】(1)2；(2)11.

【分析】(D根据对数的运算法则，逐步计算，即可得出结果；

(2)根据指数幕的运算法则，以及对数的运算法则，直接计算，即可得出结果.

【详解】⑴原式=21g5+lg2x(lgl00-lg2)+(lg2)2

=21g5+lg2x(2-lg2)+(lg2)2

=2x(lg5+Ig2)

=21gl0

=2・

_2

(2)原式=3+log]52+[(0.5)'「

2Z

=3+ylog55+(0.5)'

2

=3+4+(2-')2

=3+4+22=11.

2.(2023•全国•高三专题练习)⑴计算3嗝2+273+ig50+lg2；

(2)已知Iog2[log3(lgx)]=l,求实数x的值；

(3)若18"=5,1gi89=b,用a,b,表示log—.

【答案】(1)7；(2)109；(3)缺.

2-b

【解析】(1)利用对数恒等式和对数的运算法则计算即可；

(2)利用指对互化可得实数x的值；

(3)先求出。，再利用换底公式结合对数的运算法则求得结果.

【详解】(D原式=2+3+lg(5xl0)+lg2=5+lg5+l+lg2=6+lg5+lg2=6+lgl0=7；

(2)因为嘎2[1083(怆*)]=1,所以log3(lgx)=2,所以lgx=3z=9,所以x=109；

⑶因为⑻3所以*5”，所以皿5二雷|二黑胃脸。：靠:小

10gl85+log|x9=a+b

logl818+log(818-logl892-b

二、单选题

[x2+\x<0

3.(2023秋•河南许昌•高三校考期末)若函数f(x)=,；-八，则/(/(-2右))=()

[log2(x+3),x>0

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】先求得“-26)=13,再代入x>0的解析式即可得答案.

【详解】解：因为"八，

log2(x+3),x>0

所以/(一2百)=(-26尸+1=13,

所以/(/(-2^))=/(13)=log2(13+3)=4.

故选：D.

4.(2023•新疆乌鲁木齐・统考二模)已知alog43=2,则3-"=()

A.—B.9C.—D.16

916

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用对数运算性质、指数式与对数式互化，及指数运算计算作答.

【详解】因为alog“3=2,则log43"=2,因此3"=4?=16,

所以3T=-L=_L.

3"16

故选：C

5.（2023・新疆•统考二模）人们用分贝（dB）来划分声音的等级，声音的等级d（x）（单位：dB）与声音强

度x（单位：W/mD满足d（x）=10・lg涡.一般两人正常交谈时，声音的等级约为60dB,燃放烟花爆竹

时声音的等级约为150dB,那么燃放烟花爆竹时声音强度约为两人正常交谈时声音强度的（）

A.IO,倍B.1。8倍C.1（）9倍D.同。倍

【答案】C

【分析】根据解析式分别求出对于声音强度可得.

【详解】分别记正常交谈和燃放烟花爆竹时的声音强度分别为占，电，

则有10/g/=60,10-lg渝=150,

解得占=10，々=103,则£=益=1（）9.

故选：C

三、多选题

6.（2023•重庆九龙坡•统考二模）若mb,c都是正数，且2"=3"=6则（）

112c111〃，n

A.—+—=—B.—+—=—C.a+b>^cD.ab>4c27

abcabc

【答案】BCD

【分析】设2"=3、6<=f,得到，=log,2,。=1。&3,1=log,6,再逐项判断.

abc

【详解】解：设2"=3〃=6』，

则=,-=log,2,

log,2a

,,11

b=log3f="ir,-=log,3,

log,3b

,-=logz6,

所以工+：二」，

abc

(a+Mf-+-l=2+-+->2+2./^=4,因为标

b,所以则等号不成立,

\ab)ab\abab

4

所以(a+叫+讣4,则"+〃>114C

4+b

所以必>E=心

因为(〃+/?)=〃Z?>4c

ab

故选：BCD

四、填空题

7.(2023•上海黄浦•统考二模)已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f(x)=^.若

/(ln2)=-4,则实数。的值为.

【答案】-2

【分析】根据给定条件，确定ln2>0,再借助奇函数性质及给定值列式计算作答.

【详解】函数丫=/(幻是定义在R上的奇函数，且当x<0时，〃x)=e",而ln2>0,

于是/(In2)=-/(-In2)=-/(In-)=-e"♦=一心⑵"=-Ta=-4,解得a=-2,

所以实数a的值为-2.

故答案为：-2

8.(2023•全国•东北师大附中校联考模拟预测)大气压强p=如,它的单位是“帕斯卡”(Pa,

受力面积

1Pa=IN/m2),已知大气压强p(Pa)随高度〃(m)的变化规律是p=pQ助,其中P。是海平面大气压强，

当地高山上一处大气压强是海平面处大气压强的

%=0.000126mT.g则高山上该处的海拔为

米.(答案保留整数，参考数据ln3"l.l)

【答案】8730

【分析】根据题意解方程。声幼即可得解.

【详解】由题意可知：p=pL=(po,解得-败=-ln3,

所以人=苧”8730(m).故答案为：8730.

K-

题型二对数函数的图像与性质

畲策略方法1.利用对数函数的图象解决的两类问题及技巧

⑴对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性（单调区间）、值域

（最值）、零点时，常利用数形结合思想.

⑵一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.

2上匕较对数值大小的常见类型及解题方法

常见类型解题方法

底数为同一常数可由对数函数的单调性直接进行判断

底数为同一字母需对底数进行分类讨论

底数不同，真数相同可以先用换底公式化为同底后，再进行比较

底数与真数都不同常借助1,0等中间量进行比较

【典例1］若对数log（i）（4x-5）有意义，则x的取值范围是（)

D.[2,3]

【答案】C

【分析】由对数式有意义列不等式求x的取值范围.

【详解】由对数1。&1）（4%-5）有意义可得

%—1>0

,X-1¥1,

4x-5>0

所以且xw2,

4

所以X的取值范围为g,2）（2,+8）,

故选：C.

【典例2］在同一平面直角坐标系中，函数丫=〃一'，丫=11〃》+“。＞0且。/1）的图象可能是（）

【分析】假设指数函数图象正确，结合对数函数单调性和X=1处函数值的正负可得到正确图象.

【详解】对于AB,若？="-*=(£),图象正确，贝！.elogf+a单调递减，

又x=l时，y=log“1+。=。>0,A正确，B错误；

对于CD,若y=「=(：J图象正确，贝!，y=log.x+a单调递增，CD错误.

故选：A.

【典例3】已知直线2〃四+"丫-4=0(机>0,〃>0)过函数丫=280。-1)+2(〃>(),且“力1)的定点T,则

14

上+2的最小值为()

mn

A.4B.6C.3+2&D.3+2限

【答案】C

【分析】根据y=iog〃(x-1)+2求出点T,再代入直线方程得到“+]=1,最后利用基本不等式里“1”的妙

用求最值.

【详解】函数旷=1。8〃(工一1)+2过定点(2,2),所以7(2,2),

将7(2,2)代入直线2/皿+•-4=0,得4m+2〃=4,BR/H+-=1,

因为机>0,n>0,

所以_1+」=(_1+£||；"+』］=1+网+2+222、］网.2+3=20+3,

mn\m〃八2Jn2mvn2m

当且仅当网=9_,即加=0_i,〃=4-2五时“=”成立.

n2m

故选：c.

【典例4】分别比较下列各组数的大小：

(l)log382.5,log,82.9,log284.6；

⑵产,log,0.8,log080.7；

⑶log?5与log,5.

［答案］(l)log3,s2.5<log:82.9<log284.6

-07

⑵logo.s0.7>O.8'>log70.8

(3)log,5>log35

【分析】(D对于同底数的对数，利用函数单调性，对于不同底数的对数，利用中间值法；

(2)对数与指数之间的比较，利用中间值法；

(3)对于真数相同的对数，利用函数图象.

【详解】⑴因为y=log2.sX在(0，+8)上是增函数，所以1呜.84.6>唾2,82.9>噬2.82.8=1.又y=l0g3sx在

(0,+8)上是增函数，所以log"2.5<log3,83.8=1,所以晦.82.5<log2,82.9<log2.84.6.

⑵因为y=8、在R上是增函数，所以0<8"<8°=1.因为y=log,x在(。,也)上是增函数，所以

log70.8<log7l=0.因为y=log。，x在(0,+8)上是减函数，所以log。,0.7>log。*0.8=1.所以

7

log080.7>0.8"0->log70.8.

(3)方法一：函数V=log2X和丫=1。83》的图象如图所示.

当X>1时，y=log2*的图象在y=log3X的图象的上方,所以log?5>log.35.

方法二：因为bg25=^j~~log35=-^—,又Iog53>log52>0,所以Iog25>log35.

logsZI°g5。

【题型训练】

一、单选题

1.（2023•湖南长沙♦雅礼中学校考一模）己知集合A={x[y=U，B={y|y=lnx},则AB=（）

X

A.{x|x>0jB.{x|x<0}

C.{x|xeR且XHO}D.0

【答案】C

【分析】根据幕函数的性质及对数函数的性质分别求出集合A,B,再根据交集的定义求解即可.

【详解】解：由题意可得A=（e,0）（0,4W）,B=R,

A3={x|xeR且x#0}.

故选：C.

2.（2023•全国♦高三专题练习）已知函数y=log〃（x+6）（小b为常数,其中a>0且awl）的图象如图所示,

C.a=0.5,b=0.5D.a=2fb=0.5

【答案】D

【分析】由函数在定义域上单调递增，可得。>1,排除A,C；代入(050)，得人=0.5,从而得答案.

【详解】解：由图象可得函数在定义域上单调递增，

所以。>1,排除A,C；

又因为函数过点(050),

所以匕+0.5=1,解得b=0.5.

故选：D

3.(2023・全国•模拟预测)函数/(x)=2xln(/-i)的部分图象为()

【答案】A

【分析】首先求出函数的定义域，即可判断函数的奇偶性，再根据函数的取值情况或零点，利用排除法判

断即可.

【详解】因为/(x)=2xln(x2—1),令解得x>l或x<T,

所以f(x)的定义域为(Y,-1)5L”)，

又/(-x)=-2xln(x2-i)=_/(x),所以/(x)为奇函数，其图象关于原点对称，排除B,C；

当X-+8时，“X)—,或当=即时，/(x)=0,故排除D.

故选：A.

c=lo3

4.(2023•陕西榆林•统考二模)已知a=1.2%b=log43,§>>则()

2

A.b>a>cB.a>b>c

C.a>c>bD.c>a>b

【答案】B

【分析】引入中间值，4力与1比较大小，C与0比较大小即可.

【详解】因为a=0<6=log43<log44=l,。=1陶3=-隰3<0,

2

所以a>b>c.

故选：B.

111」

5.（2023・北乐・高三专题练习）设4=log2《，b=log3《，c=（―）5，则"，b,。的大小关系是（）

A.c>b>aB.c>a>b

C.b>a>cD.a>b>c

【答案】A

【分析】根据对数函数的单调性即可比较0>b>a,由指数的性质即可求解c>b>a.

【详解】a=log21=-log25<-2,Z?=log,|=-log35>-2,所以0>/?>a,

c=g）3>0,故c>b>a,

故选：A

6.（2023♦福建莆田•统考模拟预测）已知a=logs3,/?=0.2心，c=logi；,则（）

6Z

A.c<a<bB.a<b<c

C.c<b<aD.h<c<a

【答案】A

【分析】取中间值;」，根据指、对数运算估算范围，进而比较大小.

【详解】<log,75<log,3<log55=1,即:<a<l,

b=0.2^-3=（0.2-1）03=503>1,

clo

=gi-=嚏62,且0<log61<log62<log6底=工即0<c<!，

6222

所以cvav。.

故选：A.

7.（2023•河北承德•统考模拟预测）已知a=f，^=IoSs9>。=1。氏8,则（）

A.b>c>aB.c>a>bC.a>b>cD.a>c>b

【答案】D

【分析】构造函数."x)=e'-x-l,利用单调性得a=e；2；+l=2,进而根据指对数的运算性质即可比较.

【详解】令贝4'(x)=e-l,当x>0时，f^x)>0,当x<0时，/'(x)<0,所以/(x)在

(0,+8)单调递增，在(-8,0)单调递减，

所以当x=0时，f(x)取极小值也是最小值，故〃x)“(0)=0,因此e*2x+l,

故a=e?>—+1=—»

77

/7、”阮9x-\log89/7\log«9/7\log88

,og89log9

7咽9=(8X1=8xR=9x1jl<9x(=^<8,Hlft7'<8^1og89<log78=>i><c,

又2097152=8,<78=5764801,所以8<7)进而log'Scg,故c<a,

因此a>c>6，

故选：D

【点睛】比较值的大小，是对函数性质综合运用的考查.一般常采用以下方法：

利用指对募函数的单调性比较大小，

构造函数，利用导数求解单调性比较大小，

利用不等式的性质以及基本不等式，进行放缩比较.

二、多选题

8.(2023•全国•高三专题练习)若则下列关系成立的是()

A.Iog„(l-a)>log„(l+a)B.log„(l+a)<0

u

C.(1-«)5<(1-«)1D.a'-<1

【答案】ABD

【分析】根据对数函数和指数函数的单调性进行判断即可.

【详解】因为所以l-a<l+a,因此有k)g"(l-a)>log«(l+a),所以选项A正确；

因为0<a<1,所以+因此log“(l+a)<0,所以选项B正确;

因为0<a<l,所以因此（l-a>>（1-4尸，所以选项C不正确；

因为所以0<1-<7<1,因此有力"=1,所以选项D正确，

故选：ABD

【点睛】关键点睛：判断底数与1的大小关系，结合指数函数和对数函数的单调性是解题的关键.

三、填空题

9.（2023,全国•高三专题练习）〃刈=Jog式x_1）的定义域为

【答案】（2,+8）

【分析】根据解析式，求出使解析式有意义的自变量的范围，即可得出结果.

【详解】因为‘（'）=而离，

所以log2（R-l）>0,x-l>0,

解得x>2,

即函数"力二鬲E的定义域为（2，内）・

故答案为：（2,+8）

10.（2023秋•江西鹰潭•高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知a>0且awl,若函数f（x）=优+'”+〃与

g（X）=log„（x-1）+4的图象经过同一个定点，则m+n=.

【答案】1

【分析】由咋/=0可得出函数g（x）所过定点，再由*=1可得出相，”的值，得出答案.

【详解】函数8（力=1毁,（犬-1）+4的图象经过定点（2,4）

所以“X）=优+川+〃的图象也过定点（2,4）,即/（2）=/"+〃=4

则〃7=-2,〃=3,所以忆+〃=1

故答案为：1

11.（2023・全国•高三专题练习）函数〃x）=k>g2«-log&（2x）,xw1,4的最小值为.

【答案】-丁/-0.25

4

【分析】利用换元法，结合对数函数的运算法则和二次函数的性质即可得出结论.

【详解】显然%>0,，/(犬)=10824—108①(2同=31082*082(4/)

[2

=-log2A-(log24+2log2X)=log,X+(log2X)',

令logzX*,Vxe1,4,2],贝!]g(r)=1+；J

当且仅当1=-3即乂=孝时，有〃

故答案为：

4

四、解答题

12.(2023秋•山东潍坊•高三统考期中)定义在(-覃)上的函数/(幻和以幻，满足/*)+g(r)=0,且

g(X)=R)g.-y,其中々>1.

(1)若=求/(x)的解析式；

⑵若不等式/。)>1的解集为1-»,求，…的值.

2，

【答案】(i)y=log2；—(-1<%<1)•

1—X

【分析】(D由题意/(x)=-g(-x)求“X)解析式，再由求参数a,即可得解析式;

2

(2)由(1)及题设得1—-<工<1,结合解集列方程组求m、a,即可得结果.

a

【详解】(D由题意知，/(x)=-g(-x)=log,,^-,又/(£|=2,

所以log.4=2,即0=2.

所以函数/(X)的解析式y=log,六(T<X<1).

1—X

(2)由/(x)>l,得分>〃，

1-X

2

由题意知1-*>0,所以1--<X<\,

a

1-------Cl——I

所以1a3,即12,所以加一。二一二.

112

tn=\[m=[

题型三解对数方程与不等式

加策略方法求解对数不等式的两种类型及方法

类型方法

借助y=log°x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分与OVa

log()x>log«/j

<1两种情况讨论

10goX>。需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助y=logd的单调性求解

【典例1］（1）当log3（7x-2）>0时，求实数X的取值范围；

（2）当logi（7x-2）>0时，求实数x的取值范围；

3

（3）当log3,（7x-2）恒取正值时，求实数x的取值范围.

【答案】⑴仔+8）；⑵黑｝⑶第卜（/）

【分析】（D由增函数性质去解不等式即可；

（2）由减函数性质去解不等式即可；

（3）分类讨论底数，由函数单调性去解不等式即可.

【详解】（D1咆（7*-2）>0,即叫3（7犬-2）>1（g1,因为丫=1叫1为增函数，故7x-2>l,x>^.

（2）log1（7x-2）>0）gplogl（7x-2）>logll>因为）'=”为减函数，故0<7x-2<l,解得心信,与

3333<77J

1Q3

⑶若3x>l,x>］尸1叫0-2）为增函数，当尸1嗝,（7、-2）>0=喝」时，7x-2>l,x>|,故

J//

若3xe（O,l）,时，>=1呜,（7>2）为减函数,当丫=喻(7彳-2)>0=*1时，0<7x-2<l,解得

xf）‘故TM），

综