湖北省名校2023届高三3月联合测评数学试卷（含答案）

湖北省名校2023届高三3月联合测评数学试卷

学校：姓名：班级：考号：

一、选择题

1、设集合4={x∈R∣y=J尤2-2x-3卜β={x∈R∣y=lnx},则AB=()

A.0B.(O,+∞)C.(→o,-1]D.[3,+∞)

2、设复数Z满足z+2+π=0,则∣z∣=()

Z

A.ʌ/eB.VπC.eD.π

3、已知等比数列｛q｝满足4=2,且％,%，旬成等差数列，则为=（）

A.-2B.-lC.lD.2

4、已知机＞0,则是“处丝＞2”的（）

a+ma

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5、如图是函数/(ɪ)=sin(<yχ+φ)yω>Q,∖φ∖<^的部分图象，则/)

Cʌ/ð+V2

D.1

'4

6、新高考数学中的不定项选择题有4个不同选项，其错误选项可能有0个、1个或2

个，这种题型很好地凸显了“强调在深刻理解基础之上的融会贯通、灵活运用，促进

学生掌握原理、内化方法、举一反三”的教考衔接要求.若某道数学不定项选择题存在

错误选项，且错误选项不能相邻，则符合要求的4个不同选项的排列方式共有（）

A.24种B.36种C.48种D.60种

7、过点作抛物线V=2R（P＞0）的两条切线，切点分别是A,B,若4M4β

面积的最小值为4,则〃=（）

A.lB.2C.4D.16

/照“OOI—，001,C=L],则（）

8、设实数α,b,C满足LoOIe"=eux'∣00

VIOOi

∖.b<c<aB.b<a<cC.c<b<aD.a<c<b

二、多项选择题

22

9、已知居是椭圆E:亍+3~=1的两个焦点，点P在椭圆E上，则()

A.点"，尸2在X轴上

B.椭圆E的长轴长为4

C.椭圆E的离心率为1

2

D.使得aKPK为直角三角形的点P恰有6个

10、爆竹声声辞旧岁，银花朵朵贺新春.除夕夜里小光用3D投影为家人进行虚拟现实

表演，表演分为“燃爆竹、放烟花、辞旧岁、迎新春”4个环节.小光按照以上4个环

节的先后顺序进行表演，每个环节表演一次.假设各环节是否表演成功互不影响，若每

个环节表演成功的概率均为:，则()

A.事件“成功表演燃爆竹环节”与事件“成功表演辞旧岁环节”互斥

B.“放烟花”、“迎新春”环节均表演成功的概率为2

16

C.表演成功的环节个数的期望为3

D.在表演成功的环节恰为3个的条件下“迎新春”环节表演成功的概率为士

4

11、已知圆G：/+y2=9,C√(X-1)2+(>-+1)2=16,则()

A.直线C]C2的方程为y=-X

B.过点(-3,-3)作圆G的切线有且只有1条

C.两圆相交，且公共弦长为叵

2

D.圆G上到直线V=X距离为2的点有4个

12、如图，在正四面体ABeO中，棱AB的中点为M,棱C。的中点为N,过MN的平

面交棱BC于P，交棱A。于Q,记多面体CAMPNQ的体积为匕，多面体8。MPN。的

体积为匕，则()

A.直线MQ与PN平行

nAQBP

ADBC

C.点C与点。到平面MPNQ的距离相等

D.½=V,

三、填空题

13、已知向量利=(-2,4),n=(x,-l)»若机〃”，则X=.

14、在(x-2y)"的展开式中，所有项的二项式系数之和为64,则展开式中第3项的系

数为(用数字作答).

15、葫芦是一种爬藤植物，在我国传统文化中，其枝密集繁茂，象征着儿孙满堂、同

气连枝；其音近于“福禄”，寓意着长寿多福、事业发达；其果口小肚大，代表着心

胸开阔、和谐美满.如图，一个葫芦的果实可以近似看做两球相交所得的几何体Ω,

其中Q的下半部分是半径为36的球。的一部分，Q的上半部分是半径为3的球

。2的一部分，且。。2=6,则过直线。。2的平面截。所得截面的面积为

16、已知α,。为实数，若对任意x∈R,都有(Ina+5)e'-∕eχ≥O恒成立，则巳的最

a

小值为.

四、解答题

17>已知数列｛α,,｝满足α∣=2,(〃一I)q+”/*=θ("≥2,"∈N*).

(1)求数列｛4｝的通项公式；

⑵设S,为数歹U｛4｝的前〃项和,求S2023.

18、在4ABC中，。是边BC上的点，ZCAZ)=-,丝=Yl也

4ACCD

⑴求ZBA£)；

(2)若AB=AD=2,求AABC的面积.

19、某国在实弹演习中分析现有导弹技术发展方案的差异，有以下两种方案：

方案1：发展一弹多头主动制导技术，即一枚一弹多头导弹的弹体含有3个弹头，每

个弹头独立命中的概率均为0.415,一枚弹体至少有一个弹头命中即认为该枚导弹命

中，演习中发射该导弹10枚；

方案2：发展一弹一头导弹的机动性和隐蔽性，即一枚一弹一头导弹的弹体只含一个

弹头，演习中发射该导弹30枚，其中22枚命中.

(1)求一枚一弹多头导弹命中的概率(精确到0.001),并据此计算本次实战演习中一弹多

头导弹的命中次数(取0.5853≈0.200,0.4153≈0.071,结果四舍五入取整数)；

(2)结合(1)的数据，根据小概率值α=0.050的独立性检验，判断本次实战演习中两种方

案的导弹命中率是否存在明显差异.

附：K?=--------皿l-bc)[------其中〃=α+8+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

2

p(κ≥k0)0.1000.0500.0100.0050.001

2.7063.8416.6357.87910.828

20、如图，在棱长为2的正方体ABeD-瓦GH中，点M是正方体的中心，将四棱锥

M-BCGV绕直线CG逆时针旋转q(0<α<兀)后，得到四棱锥M'-B'CGE'.

(1)若。=5，求证：平面MCG〃平面M5户；

⑵是否存在a,使得直线M户'，平面C?若存在，求出C的值；若不存在，请说

明理由.

22

21、已知离心率为6的双曲线C:j—[=l(α>O2>0),直线Ly=4x-3α-l与C的

b~

右支交于A,B两点,直线/与。的两条渐近线分别交于M,N两点，且从上至下依次

为M,A,B,N,∖MA∖=^∖AB∖.

⑴求双曲线C的方程；

⑵求/MOM的面积.

22、已知函数/(X)=为”一V+m,X∈[O,π].

ev

(1)求f(x)在(0,/(0))处的切线方程；

ɔιγι

(2)若/(X)=相存在两个非负零点x∣,X,求证：尼-xj≤兀-----.

2π+1

参考答案

1、答案：D

解析:集合4x∈(-∞,-l]"3,+oo),集合5:九∈(0,+8),AB=[3,+00),故选D.

2、答案：A

解析：方法1：方程变形为z2+πz+e=0,Δ=π2-4e<0,

于是∣zf=z∙z=e,故IZl=&;

方法2：设Z=Q+bi,其中α,h∈R,且h≠0,代入z+*+兀=0,

z

得。+〃id7+π=0，从而。+历+^^~~^p∙+π=O,

α+为a~-vb~

cr-Vb1=e,

进而IZI=Ja2+〃2=M.故选A.

3、答案：D

33

解析：设｛。〃｝的公比为夕，则%=44=2夕，a5=—=—,a9=ahq=2q,

由％,a5,%成等差数列，得%+。9=2%，即2q+2∕=3,

q

于是/+/一2=0,(√+2)(√-l)=0,故d=1,从而%=j⅜=2,故选D.

4、答案：A

A4七b+mba(b+m)-b(a+m)m(a-b)

胭^析：-------=---------------=-------.

a+maa(a+m)a{a-∖-m)

若a>b>O,结合m>0,则Δ±Z!I-∖=〃?("一")》0,故"α>b>O”是

a+maa(a+m)

“处场>2”的充分条件；若空3,则丝二-2=迺心>0,取α=3,

a+maaΛ-maa+maa(a+m)

m=2,h=-∖,满足「+〃，>」,但不满足〃>/?>(),故"不是

a+ma

ab+myb,,的必要条件.

a+ma

于是“α>6>0”是“小场〉2”的充分不必要条件.故选A.

a-∖-ma

5、答案：C

解析：由图可知，函数图象过点[,日)，(1,()),且(1,0)是“第三点”，

于是/(0)=#,三力+夕=兀+2&兀，Z∈Z.结合∣e∣<],解得0=1，ω=2+6k,

攵∈Z.

设函数/(X)的周期为T,则;T<g,∣Γ>∣,于是g<ey<3,故勿=2.所以

/(x)=Sin(2x+g),

UK/.(兀).(兀兀).πππ.πJ5+Jd、虫C

从[ft]/—=sιn—+—=sm—cos—+cos—sin—=----------.故选C.

⑻(43J43434

6、答案：B

解析：当错误选项恰有1个时，4个选项进行排列有A：=24种；

当错误选项恰有2个时，先排2个正确选项，再将2个错误选项插入到3个空位中,

有A；A；=12种.故共有24+12=36种.故选B.

7、答案：B

解析:设Aa,y),B(A2,%)，直线AB的方程为:y0y=p(xT),

联立一)消去得产二

"=P(X1'X,2>°y-2p=0.Δ=4yθ+8〃>0.

y=2px,

点M到直线AB的距离:d=吐2P∣,

¥+“

于是AWLB的面积S=JdlA8=)+2"

2

2λRT√∖

当No=O时，ZWLS面积最小为2而=4,,p=2,故选B.

8、答案：B

解析：设X=Loo1,则九e"=eλ,a=x-∖nχb=X-∖∕~x+ʌ/—,

9VX

因为a-I)=«一?-Inx,而InX

,从而1116,即

∖nx<y[x——^j=,所以α-b>O,故a〉/?；c-a=InX>0,故c〉a.于是6<a<c,故

√x

选B.

9、答案：BC

解析：椭圆E的焦点在y轴上，A错误；椭圆E的长轴长为4,B正确；

椭圆E的离心率为g,C正确；椭圆的左顶点M(√i,0),焦点耳(0,-1),6(0,1),

所以M=MF,=(-√3,l),CoS(ME,=I∣=,〉O,

^\/∣MfJ∣∙∣M^∣2

(加耳,加玛卜(0,5),使得aKPE2为直角三角形的点P恰有4个，D错误.故选BC.

10、答案：BCD

解析：事件“成功表演燃爆竹环节”与事件“成功表演辞旧岁环节”可以同时发生，

故不互斥，A错误；“放烟花”、“迎新春”环节均表演成功的概率为±x±=2,B

4416

正确；

记表演成功的环节个数为X,则期望为4x1=3,C正确；

记事件M：“表演成功的环节恰为3个”，事件M“迎新春环节表演成功”，

27

64

由条件概率公式P(MM)JNM)=3,D正确.故选BCD.

P(M)4

11、答案：ACD

解析：直线C]G的方程为y=-χ,A正确；

过点(-3,-3)作圆C的切线有x=-3,丁=-3,有2条，B错误；

ICIGl=3，｛+弓=3+4=7,卜一目=∣3-4∣=1,满足卜-目<∣C∣C2∣<4+G,

两圆相交，公共弦所在直线为L2x-2y+5=0,G至U/的距离d=f，由垂径定

272

理，公共弦长为2，C正确;

圆心G到直线y=X距离为0，4-√2>2,故圆上到直线y=X距离为2的点有4

个，D正确.故选ACD.

12、答案：BCD

解析：直线MQ与PN可能平行，可能相交，A错误；

点C与点。在平面MPNQ两侧，且N是C。的中点，故点C与点。到平面MPN。的

距离相等，C正确；

若Q是Ao中点，则MQHBD,8。u平面BCD,MQ仁平面BCD,故MQHPN.

又MQHBD,故PN〃8D.又N是CO的中点，故尸是CB的中点，从而丝=L="；

AD2BC

若。不是中点，则M。，3。不平行，结合MQ,Bo在同一平面内，故M。，BD

相交，设交点为T,点T在直线B。上，故点T在平面BC。上，点T在直线MQ上，

故点T在平面MPNQ上，于是T是平面BCD与平面MPNQ的公共点，进而T在平面

BCD与平面MPNQ的交线PN上，即直线MQ,PN,BD交于点T.

在平面ABo内，过A作AG//MT交直线BT于点G,于是MT是aABG的中位线，故

TG=BT,进而翳=怒，故第=熹

同理，在平面CB。内可得变=—^—,故箜="，综上，些="，B正确.

BCBT+DTADBCADBC

设四棱锥A—BCO的体积为匕K=VCrWWQ+LTM<2,K=V°_MPNjVNMP，由点C与

AM-AQ,

点。到平面MPNQ的距离相等得：VJMPNQ=VD-MPNQ•①匕MMQy

ABAD，

f7BMBPS,ɪʌAQBPAMBM,+/rVZG

VD—BMP=.父"V，一口口"TH二万K'~ΓR~^ΓR故L-AMQ=%-8Λ∕p，②

AD∙nCALJnCADΛD

由①②相加得K=%,D正确.故选BCD.

⑶答案：i

解析：由m∕∕n得：4x=2,X=L

2

14、答案：60

解析：因为所有项的二项式系数之和为64,所以2"=64,解得〃=6,展开式中第3

项为C江4Q2y)2=6(1y2,故展开式中第3项的系数为60.

15、答案：四+9省

2

解析：设N是两球面的一个公共点，且位于截面上，由。解+。?^=。。；，得

OtNlO2N,故tanNO.N=黑∙=G从而NOQ?N=三,NQaN=F.所以截面

2

面积为生x32+—×(3√3)+9√3=^+9Λ5∙

362

16、答案：1

解析：对任意xeR，都有(Ina+h)e*-∕ex20恒成立，故Ina+bN——-.

ev

由e*≥x+l,得e*τ≥x,所以e*≥ex,

从而曰41,VXeR恒成立，故Ina+b≥∕,于是2.一2.

ejaa

r/、Inx,,.l-lnɪx2-∖+∖nx

设VL/(x)=X-------,x>0n,/r'(X)=I1---------=-------5-----•

XXX

设g(x)=Y一ι+inx,χ>0'g，(X)=2x+'>0∙

X

故g(x)在(0,+∞)上单调递增，结合g⑴=0,

当0<x<l时，g(x)<O,∕,(%)<0,/(x)在(0,1)上单调递减；

当x>l时，g(x)>O,f'(x)>0,/(x)在(l,+∞)上单调递增.

h

故/(x)min=/⑴=1，所以2的最小值为1，此时α=O=I.

a

17、答案：(IM=(T严2〃

(2)2024

解析：(1)当〃≥2时，由(〃T)a,=0,

得'=_/_,况=_忙1,......,&=二，

an-X〃Tan-2〃-241

累乘，得5=(-1)"-】？，结合4=2,得α,,=(-1)"T2〃.

q1

检验，4=2满足上式，所以为=(-1)12〃.

⑵由(1)知4=(-1严2〃，所以，对任意kwN*,

α2*+α2*+∣=(-l)2"'4左+(_1)2*2(2%+1)=2,

丁ZES2023=4+(。2+%)++(‰22+¾G3)

=2+2++2=2024.

18、答案：(I)NBAD=]

(2)4ABC的面积为2+75

解析：(1)在AACD中，由正弦定理，得0=sm/CA'①,

ACsinNADC

在aABO中，由正弦定理，得些=SinNBAD②,

ABsinNADB

因为ZAZ)C+ZAT>B=τι,所以SinZAr)C=SinZAr)3,

,AB-JlBD.CC.π∖∣2,曰./…八1

由二-----及tlsinZCAD=SIn—=——,得sinZBAD=—.

ACCD422

因为NB4r>G(0,π),所以NBAo=3或NBAO=里.

66

5τr

当NA4D=e时，不满足Nβ4D+NC4D=NfiAC<兀，舍；

6

当Ns4。=三时，满足题意.综上，ZBAD=-.

66

-JT，兀

(2)在AABO中，AB=AD,ZBAD=-,故NAOB=NA8。=一,

6J12

进而NABC=NA4C=H,CA=CB,ZVLBC是等腰三角形.

过C作CE,AB于E,

ππ.ʌ/ɜ

U/∖tan—Ftan-1-\-----

则CE=AE-tan-=tan∣—+—I=--------------=-----=2+百.

12U6)ITanMZ

463

所以S3Bc=gAB∙CE=gx2x(2+√5)=2+G,故4ABC的面积为2+G.

19、答案：(1)一枚一弹多头导弹的命中率为0.800,一弹多头导弹的命中次数为8

(2)本次实战演习中不同研发方案命中率不存在明显差异

解析：(1)由题可知，一枚一弹多头导弹的命中率为

P=I-(1-0.415)3=1-0.5853w0800,

所以，发射10枚一弹多头导弹，命中次数为l()χ().800=8∙

故一枚一弹多头导弹的命中率为0.800,一弹多头导弹的命中次数为8.

⑵不同研发方案的列联表如下：

一弹多头一弹一头合计

命中82230

末命中2810

103040

零假设本次实战演习中不同研发方案命中率存在明显差异,

40x(64—44)2

故长=—≈0.178<3.841

10×30×30×1090

根据小概率值α=0.050的独立性检验，零假设”。不成立，故本次实战演习中不同研

发方案命中率不存在明显差异.

20、答案：(1)证明见解析

⑵不存在«，使得直线MF'，平面MjBC

解析：(1)若a=',则平面OCG“、平面CB'F'G为同一个平面，且M是中点,

2

“是B尸中点，

故W是AB”广的中位线，所以MM'"GF',MM'=LHF=GF.

2

因为7∕GF',MM'=GF',所以平面四边形户'G是平行四边形，

所以MG∕∕M'F.

又MGU平面M笈尸，M'Fu平面MBF,所以MG〃平面MEk,

同理Me〃平面5'M户'，且MGU平面MCG,MCU平面MCG,MG'MC=M,

所以，平面MCG〃平面"5'尸.

⑵假设存在a,使得直线M尸，平面MBC

以C为原点，分别以CB,DC,CG为X,y,z轴正方向建立空间直角坐标系，

则C(0,0,0),3(2,0,0),M(1,-1,1),故CB=(2,0,()),CM=(1,-1,1).

、「,LJLdU_曰,mJ-CB,m∙CB=0,

设加=(x,y,z)是cz平面MBC的法向量，π贝∣j<即αtl<

m±CM,[m∙CM=0.

所以FX=Q取y=l,得〃7=(0,1,1)是平面MBC的一个法向量.

-y+z=0.

取CG中点P,B尸中点Q,连接PQ,PM',

则PMJ_CG,PQlCG,PM'±CG.

于是NMPAT是二面角M-CG-M'的平面角，NMPQ是二面角M-CG-Q的平面

_._TT

角，NQPA，是二面角Q—CG—M'的平面角，于是ZMPM'=a,NMPQ=—，

所以NMAQ=a—二，且CG_L平面Λ∕PΛ∕,MP=&

4

//∖/\\

故Λ∕'OCoSa--,>∕2sina--,1，同理F(2cosa,2sina,2),

II4jV4jJ

所以MF=2cosa-V5cos[a-(J,2sina-V∑sin[a-(,1

因为2cosa-V∑cosa--=2cosa-42cosacos--V∑sin(2sin—=cosa-sina,

I4J44

2sina-J∑sina--=2Sina-拒SinaCoS巴+后CoSaSin二=COSa+sina,

I4J44

所以M尸=(cosa-sina,cosa+sina,1).

若直线M尸，平面MBC,加是平面M8C的一个法向量，则M户7∕m∙

COSa-Sina=0,

若存在∕l∈R,使得M尸,=Bm,贝∣J<cosα+sina=2,此方程组无解.

I=Z

所以，不存在α,使得直线M尸J_平面MBC

2

21、答案：⑴"一匕=1

ɔ

(2)A40M的面积为∙∣

解析：⑴设A(X,χ),Ba2,必)，M(F,%)，N(/,M),

设MN的中点为P(X°,%),记t=-3α-l,

因为双曲线的离心率为石，所以£=6，故2=2,

aa

于是双曲线的渐近线为y=±2x.

P""''解得＜

联立，2

%=τ∙

同理，解得<

ʃ=4x÷r,

联立］尤2y2消去X,得126/+8/^-4/(r-16/)=0.

a24a2「

即3丁+2小一(尸—166)=0,Δ>0.

由韦达定理，得X+%=-17∙y%=-；(产-16a”

ɔ

所以，%+%=-/=%+%说明MN与AB的中点均为P,

所以，M,N关于点P对称，A,8关于点P对称，所以IMAl=IBN|,

因为IMAl=fA8∣,所以A,B是线段MN的两个四等分点，

5t_2t_

12,^T

于是y%=-g(∕-16α)=0，BPt--Aa,结合r=-3α-l,解得α=l,t--A.

2

故所求双曲线方程为χ2-2L=ι.

4

(2)由⑴可知，A(I'I)/(2,4),

于是QA=(W],OM=(2,4).

设ZAOM=α,败…=MHO"何府两百

=∣7∣OA∣2∙∣0Λ√I2-IOAI2∙∣0MI2COS2«

=∣7∣(9A∣2∙∣OΛ∕∣2-IOAOMI2,

CCQA

代入OA=-,-，OM=(2,4)>

(33)

x(22+42

2

故aAQW的面积为4.

3

22、答案：(l)y=(l+π)x

(2)证明见解析

解析:⑴由题可知/(0)=0,∕,(x)=(cosX-sinx)e^x-2x+π,

因为/"(O)=1+*所以，产/3在(0,/(0))处的切线方程为k(1+71)%.

(2)/(X)=相存在两个非负零点再，X2,设玉<*2，

由⑴可知y=/(x)在(O,/(O))处的切线方程为y=(1+兀)χ,

注意到/(π)=0,∕^'(π)=----π,

eπ

所以，y=/(X)在(兀,0)处的切线方程为y=(-^γ-π^(x-π).

下证：当Xe[0,π]时，f(x)≤(l+π)Λ,且/*)≤[一-y-πj(x-π).

2