人教版九年级数学上册同步压轴题专题01韦达定理的四种考法（原卷版+解析）

专题01韦达定理的四种考法【基础知识点】根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2类型一、直接运用韦达定理求代数式的值例1.已知是一元二次方程的两个实数根，则的值是()A．0 B．1 C．2 D．-3【变式训练1】若x1，x2是一元二次方程x2+x﹣1＝0的两根，则x12﹣2017x1﹣2018x2的值为()A．2020 B．2019 C．2018 D．2017【变式训练2】已知关于x的一元二次方程x2－kx＋k－3＝0的两个实数根分别为，且，则k的值是()A．－2 B．2 C．－1 D．1【变式训练3】设α、β是方程x2+x﹣2018＝0的两个实数根，则α2+2α+β的值为_____．类型二、降幂思想求值例1.已知，是方程的两根，则代数式的值是(

)A． B． C． D．【变式训练1】若，则的值为_________________．【变式训练2】若a2+a﹣1=0，则代数式a4+3a的值为_____．【变式训练3】若，那么代数式的值是_________.类型三、构造方程思想求值例1.已知mn≠1，且5m2+2010m+9=0，9n2+2010n+5=0，则的值为()A．﹣402 B． C． D．【变式训练1】已知实数，满足等式，，则的值是______．【变式训练2】若m2+mn＝－1，n2－3mn＝10，则代数式m2+7mn－2n2的值为_______．【变式训练3】若实数、满足，，则代数式的值为______．【变式训练4】设实数s、t分别满足，并且st≠1，求____类型四、根的取值范围问题例1．方程的两根分别为，，且，则的取值范围是____．【变式训练1】已知x1，x2是关于x的方程ax2﹣(a+1)x+1＝0的两个实数根．(1)若x1≠x2，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a使得x12＝x22成立？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．【变式训练2】已知、是关于的一元二次方程的两实数根．(1)若，求n的值；(2)已知等腰三角形的一边长为7，若、恰好是△另外两边的长，求这个三角形的周长．【变式训练3】关于x的方程有两个不相等的实数根，求分别满足下列条件的取值范围：(1)两根都小于0；(2)两根都大于1；(3)方程一根大于1，一根小于1．【变式训练4】设关于的一元二次方程有两个实数根，．(1)求的值；(2)求证：，且；(3)若，试求的最大值．专题01韦达定理的四种考法【基础知识点】根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2类型一、直接运用韦达定理求代数式的值例1.已知是一元二次方程的两个实数根，则的值是()A．0 B．1 C．2 D．-3【答案】A【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根，∴，，∴==0，故选：A．【变式训练1】若x1，x2是一元二次方程x2+x﹣1＝0的两根，则x12﹣2017x1﹣2018x2的值为()A．2020 B．2019 C．2018 D．2017【答案】B【详解】x1，x2是一元二次方程x2+x﹣1＝0的两根，，，．故选B．【变式训练2】已知关于x的一元二次方程x2－kx＋k－3＝0的两个实数根分别为，且，则k的值是()A．－2 B．2 C．－1 D．1【答案】D【解析】关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，，，，，，整理得出：，解得：，故选：D．【变式训练3】设α、β是方程x2+x﹣2018＝0的两个实数根，则α2+2α+β的值为_____．【答案】2017【详解】解：∵α是方程x2+x﹣2018＝0的根，∴α2+α﹣2018＝0，∴α2＝﹣α+2018，∴α2+2α+β＝﹣α+2018+2α+β＝α+β+2018，∵α、β是方程x2+x﹣2018＝0的两个实数根，∴α+β＝﹣1，∴α2+2α+β＝﹣1+2018＝2017．故答案为2017．类型二、降幂思想求值例1.已知，是方程的两根，则代数式的值是(

)A． B． C． D．【答案】D【详解】∵a与b是方程的两根∴a+b=1，a2-a-1=0，b2-b-1=0，∴a2=a+1，b2=b+1∵，同理：∴故选：D．【变式训练1】若，则的值为_________________．【答案】【详解】，①．①等式两边同乘得，代回原式．．故答案为．【变式训练2】若a2+a﹣1=0，则代数式a4+3a的值为_____．【答案】2【详解】∵，∴，，∴.【变式训练3】若，那么代数式的值是_________.【答案】-6【详解】由已知条件得到x2+x=1；再将所求的代数式变形为：x(x2+x)+x2-7，然后将其整体代入求值即可．解：∵，∴x2+x=1，∴x3+2x2−7=x3+x2+x2−7=x(x2+x)+x2−7=x+x2−7=1-7=−6.故答案为−6.类型三、构造方程思想求值例1.已知mn≠1，且5m2+2010m+9=0，9n2+2010n+5=0，则的值为()A．﹣402 B． C． D．【答案】C【详解】将9n2+2010n+5=0方程两边同除以n2，变形得：5×()2+2010×+9=0，,又5m2+2010m+9=0，∴m与为方程5x2+2010x+9=0的两个解，则根据一元二次方程的根与系数的关系可得m•==．故选C【变式训练1】已知实数，满足等式，，则的值是______．【答案】【详解】解：∵实数，满足等式，，∴m，n是方程的两实数根，∴，，∴，故答案为：【变式训练2】若m2+mn＝－1，n2－3mn＝10，则代数式m2+7mn－2n2的值为_______．【答案】−21【详解】∵，，∴原式=(m2＋mn)−2(n2−3mn)=−1−20=−21，故答案为：−21．【变式训练3】若实数、满足，，则代数式的值为______．【答案】98【解析】∵实数、满足，，∴、是方程的两个根，∴，，∴==，故答案是：98．【变式训练4】设实数s、t分别满足，并且st≠1，求____【答案】-5【详解】由题意得s与是方程的两个根，由根与系数的关系分别求出两根的和与两根的积，代入代数式即可求出结果．把方程转化为∴s与是方程的两个根∴，∴类型四、根的取值范围问题例1．方程的两根分别为，，且，则的取值范围是____．【答案】【详解】根据根与系数的关系得到x1+x2=﹣m，x1x2=m﹣3，∵x1＜0＜x2＜1，∴x1x2＜0，x1﹣1＜0，x2﹣1＜0，∴m﹣3＜0，(x1﹣1)(x2﹣1)＞0，x1x2﹣(x1+x2)+1＞0，即m﹣3+m+1＞0，解得m＞1，∴1＜m＜3．【变式训练1】已知x1，x2是关于x的方程ax2﹣(a+1)x+1＝0的两个实数根．(1)若x1≠x2，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a使得x12＝x22成立？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)且；(2)存在，a的值为1或-1【详解】解：(1)由题意得，解得：a≠0且a≠1．故实数a的取值范围是：a≠0且a≠1；(2)存在；①若x1＝x2，则，解得：a＝1；②若x1+x2＝0，则，解得：a＝﹣1．综上所述，a＝1或﹣1．【变式训练2】已知、是关于的一元二次方程的两实数根．(1)若，求n的值；(2)已知等腰三角形的一边长为7，若、恰好是△另外两边的长，求这个三角形的周长．【答案】(1)6；(2)17.【详解】解：(1)由题意得：，∴解得：∵、是关于的一元二次方程的两实数根，∴得：∴(2)①当7为底，即时，则，即解得把n=2代入方程得∴∵3+3＜7(舍去)②当7为腰，，即时，将x=7代入方程得49-14(n+1)+n2+5=0，解得当时，=22，解得，∴三角形的周长为3+7+7=17；当时，=10，解得∵7+7＜15(舍去)综上，三角形的周长为17．【变式训练3】关于x的方程有两个不相等的实数根，求分别满足下列条件的取值范围：(1)两根都小于0；(2)两根都大于1；(3)方程一根大于1，一根小于1．【答案】(1)-2＜a＜-1；(2)2＜a＜3；(3)a＞3【详解】解：∵关于x的方程x2-2ax+a+2=0有两个不相等的实根，∴△=(-2a)2-4(a+2)＞0，∴a＜-1或a＞2．设方程x2-2ax+a+2=0的两根为α，β，α+β=2a，αβ=a+2．(1)∵两根都小于0，∴α+β=2a＜0，αβ=a+2＞0，解得：-2＜a＜0，又，a＜0；∵a＜-1或a＞2，∴-2＜a＜-1；(2)∵两根都大于1，∴(α-1)(β-1)＞0，∴αβ-(α+β)+1＞0，∴a+2-2a＞-1，∴a＜3，又，a＞1；又a＜-1或a＞2，∴2＜a＜3；(3))∵一根大于1，一根小于1，∴(α-1)(β-1)＜0，∴αβ-(α+β)+1＜0，∴a+2-2a＜-1，∴a＞