2021-2023年全国高考数学典例真题汇编（新高考模式训练）13

试卷第1页，共SECTIONPAGES1页2021-2023年全国高考数学典例真题汇编（新高考模式训练）13姓名：___________班级：___________一．单选题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）1．【2021-全国新高II卷】设集合，则（）A. B. C. D.2．【2021-新高考Ⅰ卷】已知，则（）A. B. C. D.3．【2023-全国数学甲卷（文）高考真题】（）A. B.1 C. D.4．【2023-新课标全国Ⅰ卷真题】设椭圆的离心率分别为．若，则（）A. B. C. D.5．【2021-浙江卷】已知非零向量，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件6．【2022-全国甲卷数学高考真题】沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是的AB中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（）

A. B. C. D.7．【2022-全国II卷数学高考真题】正三棱台高为1，上下底边长分别为和，所有顶点在同一球面上，则球的表面积是（）A. B. C. D.8．【2022-天津数学高考真题】已知，关于该函数有下列四个说法：①最小正周期为；②在上单调递增；③当时，的取值范围为；④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到．以上四个说法中，正确的个数为（）A. B. C. D.二．多选题（本大题共1小题，每小题5分，共5分）9．【2021-全国新高II卷】下列统计量中，能度量样本的离散程度的是（）A.样本的标准差 B.样本的中位数C.样本的极差 D.样本的平均数10．【2021-全国新高II卷】已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（）A.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C.若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切11．【2021-新高考Ⅰ卷】已知点在圆上，点、，则（）A.点到直线的距离小于B.点到直线的距离大于C.当最小时，D.当最大时，三．填空题（本大题共1小题，每小题5分，共5分）12．【2021-全国甲卷（理）】已知向量．若，则________．13．【2022-北京数学高考真题】若直线是圆的一条对称轴，则（）A. B. C.1 D.14．【2022-全国甲卷数学高考真题】从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．四．解答题（本大题共1小题，每小题12分，共12分）15．【2023-全国数学甲卷（文）高考真题】记的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若，求面积．16．【2021-新高考Ⅰ卷】已知数列满足，（1）记，写出，，并求数列的通项公式；（2）求的前20项和.17．【2021-天津卷】已知椭圆的右焦点为，上顶点为，离心率为，且．（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆有唯一的公共点，与轴的正半轴交于点，过与垂直的直线交轴于点．若，求直线的方程．18．【2023-天津卷数学真题】已知是等差数列，．（1）求的通项公式和．（2）已知为等比数列，对于任意，若，则，（Ⅰ）当时，求证：；（Ⅱ）求的通项公式及其前项和．19．【2023-全国数学乙卷（文）高考真题】已知（1）求不等式的解集；（2）在直角坐标系中，求不等式组所确定的平面区域的面积．答案第1页，共SECTIONPAGES1页2021-2023年全国高考数学典例真题汇编（新高考模式训练）13【参考答案】1．【答案】B【解析】由题设可得，故，故选：B.2．【答案】C【解析】因为，故，故故选：C.3．【答案】C【解析】故选：C.4．【答案】A【解析】由，得，因此，而，所以.故选：A5．【答案】B【解析】如图所示，,当时，与垂直，，所以成立，此时，∴不是的充分条件，当时，，∴,∴成立，∴是的必要条件，综上，“”是“”的必要不充分条件故选：B.6．【答案】B【解析】解：如图，连接，因为是的中点，所以，又，所以三点共线，即，又，所以，则，故，所以.故选：B.7．【答案】A【解析】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为．故选：A．8．【答案】A【解析】因为，所以的最小正周期为，①不正确；令，而在上递增，所以在上单调递增，②正确；因为，，所以，③不正确；由于，所以的图象可由的图象向右平移个单位长度得到，④不正确．故选：A．9．【答案】AC【解析】由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势；故选：AC.10．【答案】ABD【解析】圆心到直线l的距离，若点在圆C上，则，所以，则直线l与圆C相切，故A正确；若点在圆C内，则，所以，则直线l与圆C相离，故B正确；若点在圆C外，则，所以，则直线l与圆C相交，故C错误；若点在直线l上，则即，所以，直线l与圆C相切，故D正确.故选：ABD.11．【答案】ACD【解析】圆的圆心为，半径为，直线的方程为，即，圆心到直线的距离为，所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误；如下图所示：当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，，，由勾股定理可得，CD选项正确.故选：ACD.【点睛】结论点睛：若直线与半径为圆相离，圆心到直线的距离为，则圆上一点到直线的距离的取值范围是.12．【答案】.【解析】,，解得,故答案为：.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量垂直的充分必要条件是其数量积.13．【答案】A【解析】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得．故选：A．

14．【答案】.【解析】从正方体的个顶点中任取个，有个结果，这个点在同一个平面的有个，故所求概率．故答案为：．

15．【答案】（1）（2）【解析】（2）由（1）可知，只需求出即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出．【小问1详解】因为，所以，解得：．【小问2详解】由正弦定理可得，变形可得：，即，而，所以，又，所以，故的面积为．16．【答案】（1）；（2）.【解析】（2）根据题设中的递推关系可得的前项和为可化为，利用（1）的结果可求.（1）由题设可得又，，故即即所以为等差数列，故.（2）设的前项和为，则，因为，所以.【点睛】方法点睛：对于数列的交叉递推关系，我们一般利用已知的关系得到奇数项的递推关系或偶数项的递推关系，再结合已知数列的通项公式、求和公式等来求解问题.17．【答案】（1）；（2）.【解析】（2）设点，分析出直线的方程为，求出点的坐标，根据可得出，求出、的值，即可得出直线的方程.（1）易知点、，故，因为椭圆的离心率为，故，，因此，椭圆的方程为；（2）设点为椭圆上一点，先证明直线的方程为，联立，消去并整理得，，因此，椭圆在点处的切线方程为.在直线的方程中，令，可得，由题意可知，即点，直线的斜率为，所以，直线的方程为，在直线方程中，令，可得，即点，因为，则，即，整理可得，所以，，因为，，故，，所以，直线的方程为，即.【点睛】结论点睛：在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线：（1）设切线方程为与椭圆方程联立，由进行求解；（2）椭圆在其上一点的切线方程为，再应用此方程时，首先应证明直线与椭圆相切.18．【答案】（1），；（2）(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)，前项和为.【解析】(2)(Ⅰ)利用题中的结论分别考查不等式两侧的情况，当时，，取，当时，，取，即可证得题中的不等式；(Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论猜想，然后分别排除和两种情况即可确定数列的公比，进而可得数列的通项公式，最后由等比数列前项和公式即可计算其前项和.【小问1详解】由题意可得，解得，则数列的通项公式为，注意到，从到共有项，故.小问2详解】(Ⅰ)由题意可知，当时，，取，则，即，当时，，取，此时，据此可得，综上可得：.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：，据此猜测，否则，若数列的公比，则，注意到，则不恒成立，即不恒成立，此时无法保证，若数列的公比，则，注意到，则不恒成立，即不恒成立，此时无法保证，综上，数列的公比为，则数列的通项公式为，其前项和为：.【点睛】本题的核心在考查数列中基本量的计算和数列中的递推关系式，求解数列通项公式和前项和的核心是确定数列的基本