人教版九年级数学上册同步压轴题专题11圆的综合问题（原卷版+解析）

专题11圆的综合问题类型一、切线问题例．如图，在中，点A是边BE上一点，以AB为直径的与CE相切于点D，，点F为OC与的交点．(1)求证：CB是的切线；(2)连接DB与OC交于点G，，，求阴影部分面积．【变式训练1】如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，P为AB延长线上一点，∠BCP＝∠BAC，∠ACB的平分线交⊙O于点D，交AB于点E，(1)求证：PC是⊙O的切线；(2)若AC＋BC＝2时，求CD的长．【变式训练2】如图，线段AB经过的圆心O，交圆O于点A，C，，AD为的弦，连接BD，，连接DO并延长交于点E，连接BE交于点M．(1)求证：直线BD是的切线；(2)求线段BM的长．【变式训练3】如图，在平行四边形中，是对角线，，以点为圆心，以的长为半径作，交边于点，交于点，连接．(1)求证：与相切；(2)若，，求的长．【变式训练4】如图，四边形ABCO是菱形，点D在边AB上，以O为圆心、OD为半径的圆切AB于点D．(1)试判断直线BC与的位置关系，并说明理由；(2)若，且点D是AB的中点，求图中阴影部分的面积．类型二、圆的面积问题例．已知，在半圆中，直径，点，在半圆上运动，(点，可以与，两点重合)，弦．(1)如图1，当时，直接写出图中标注顶点的所有全等三角形；(2)如图2，若时，求图中阴影部分(弦AD、直径AB、弧BD围成的(图形)的面积；(3)如图3，取CD的中点，点从点开始运动到点与点重合时结束，在整个运动过程中：①点M到AB的距离的最小值是______；②直接写出点M的运动路径长______．【变式训练1】如图，AB为的直径，点E在弦AC的延长线上，过点E作，ED与相切于点D．(1)求证：AD平分．(2)若，，求CE和DE的长．【变式训练2】小颖复习尺规作图时，进行如下操作(如图)：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，交BA于点Q，交BC于点P，再分别以点P，Q为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点H，作射线BH；②以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点M，交AC于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G，作射线AG交射线BH于点O；③作射线CO交AB于点D，且，以点O为圆心，OD为半径作，交AC于点E，交BC于点F，构成如图所示的阴影部分．(1)求证：是等腰直角三角形；(2)若，求图中阴影部分的面积．【变式训练3】如图，是的直径，点C在上，，点D是的中点，连结，交于点E，连结．(1)求的度数．(2)求证：．(3)若，求的面积．专题11圆的综合问题类型一、切线问题例．如图，在中，点A是边BE上一点，以AB为直径的与CE相切于点D，，点F为OC与的交点．(1)求证：CB是的切线；(2)连接DB与OC交于点G，，，求阴影部分面积．【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】(1)连接OD，则OD=OA，∴∠DAO=∠ADO，，，，∵在△COD和△COB中，，，∴∠CBO=∠CDO，∵CD是切线，∴OD⊥CD，∴∠CBO=∠CDO=90°，∴CB是的切线；(2)∵CD、CB都是圆O的切线，∴CD=CB，OC垂直平分DB，设圆O的半径为r，则OD=r，OG=OF-FG=r-2，∵OD2=OG2+DG2，∴，解得r=4，∴OG=2，∴∠ODG=30°，∴∠COD=60°，∠DOB=2∠COD=120°，∵，∴，∴，∵S四边形CDOB，S扇形DOB，∴S阴影=S四边形CDOB-S扇形DOB=．【变式训练1】如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，P为AB延长线上一点，∠BCP＝∠BAC，∠ACB的平分线交⊙O于点D，交AB于点E，(1)求证：PC是⊙O的切线；(2)若AC＋BC＝2时，求CD的长．【答案】(1)见解析；(2)【解析】(1)连接OC，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACO+∠OCB=90°，∵OA=OC，∴∠BAC=∠ACO，∵∠BCP＝∠BAC，∴∠BCP=∠ACO∴∠BCP+∠OCB=90°，即∠OCP=90°，∴PC是⊙O的切线；(2)连接BD，作，垂足为M，N，∵CD平分，，，∴，∴，∵，∴，∵，∴四边形为矩形，∵，∴矩形为正方形，∴，∵，∴，∵，∴．【变式训练2】如图，线段AB经过的圆心O，交圆O于点A，C，，AD为的弦，连接BD，，连接DO并延长交于点E，连接BE交于点M．(1)求证：直线BD是的切线；(2)求线段BM的长．【答案】(1)见解析；(2)【解析】(1)证明：∵∠BOD=2∠BAD，∴，

又∵，∴，即，又∵为的半径，∴直线BD是的切线；(2)解：如图，连接DM，Rt△BOD中，，∴，

又，，∴，∴，∵的直径，∴，，在Rt△BDE中，，∵，∴，在Rt△BDM中，．【变式训练3】如图，在平行四边形中，是对角线，，以点为圆心，以的长为半径作，交边于点，交于点，连接．(1)求证：与相切；(2)若，，求的长．【答案】(1)见解析；(2)．【解析】(1)解：连接AE，∵平行四边形，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，∴，∴，∵，∴，∵AE是的半径，∴与相切；(2)连接EF，作EG⊥AC，由(1)可知，∴，∵，，∴，又∵，∴是等边三角形，∴，∴，∵EG⊥AC，∴，∴，∴，

在中，．【变式训练4】如图，四边形ABCO是菱形，点D在边AB上，以O为圆心、OD为半径的圆切AB于点D．(1)试判断直线BC与的位置关系，并说明理由；(2)若，且点D是AB的中点，求图中阴影部分的面积．【答案】(1)与相切，理由见解析(2)【解析】(1)解：直线BC与⊙O相切．理由是：如图，过点O作OE⊥BC，垂足为点E．∵⊙O与边AB相切于点D，∴OD⊥AB．∴∠ODA=∠OEC=90°，∵四边形ABCO是菱形，∴∠A=∠C，OA=OC，∴△OAD≌△OCE(AAS)，∴OD=OE，∴OE是⊙O的半径．∴直线BC与⊙O相切．(2)解：如图：标出四边形与圆的交点，由已知可得，在Rt△OAD中，OA=AB=2，AD=，∴由勾股定理可得OD=，∴，∵AD=，∴∠AOD=30°，∴∠A=60°，∠AOC=120°，∴，∴阴影部分的面积=．类型二、圆的面积问题例．已知，在半圆中，直径，点，在半圆上运动，(点，可以与，两点重合)，弦．(1)如图1，当时，直接写出图中标注顶点的所有全等三角形；(2)如图2，若时，求图中阴影部分(弦AD、直径AB、弧BD围成的(图形)的面积；(3)如图3，取CD的中点，点从点开始运动到点与点重合时结束，在整个运动过程中：①点M到AB的距离的最小值是______；②直接写出点M的运动路径长______．【答案】(1)；；(2)；(3)①，②【解析】(1)证明：∵，∴∠CAD=∠DBC，∵∠DAB=∠CBA，∴AC=BD，∠CAD+∠DAB=∠DBC+∠CBA，即∠CAB=∠DBA，在△CAB和△DBA中，，∴△CAB≌△DBA(SAS)；∵∠DAB=∠CBA，∠DAB=∠DCB，∠CBA=∠CDA，∴∠CDA=∠DCB，在△CAD和△DBC中，，∴△CAD≌△DBC(AAS)；(2)解：过作于，如图：∵半圆O中，直径，∴，∵，∴，∴，∴，，，∴；答：阴影部分面积是；(3)①，②，解：①连接OC、OD、OM，过M作ME⊥AB于E，如图：∵直径AB=6，弦CD=3，∴OC=OD=CD=3，∴△COD是等边三角形，∵M是CD的中点，∴CM=，OM⊥CD，∴OM=，∴ME=，∴当OE最大时，ME最小，而当C与A重合(或D与B重合)时，OE最大，如图：∵△COD是等边三角形，M是CD的中点，∴∠MOC=30°，∴ME=，即点M到AB的距离的最小值是，故答案为：；②如图，由①知：OM，M的轨迹是以O为圆心，为半径的弧，当C与A重合时，∠AOM=30°，同理，当D与B重合时，∠BOM'=30°，∴∠MOM'=120°，∴点M的运动路径长为，故答案为：．【变式训练1】如图，AB为的直径，点E在弦AC的延长线上，过点E作，ED与相切于点D．(1)求证：AD平分．(2)若，，求CE和DE的长．【答案】(1)见解析；(2)，【解析】(1)证明：如图，连接OD．∵ED与相切于点D，∴．∵，∴，∴．∵，∴，∴，即AD平分．(2)如图，连接BC交OD于点G．∵AB为的直径，∴．又∵，∴，∴，∴G为BC的中点，∴．∵，，∴，∵点O点G分别为AB、BC的中点，∴，，∴，∵，，，∴四边形CEDG是矩形，∴，．【变式训练2】小颖复习尺规作图时，进行如下操作(如图)：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，交BA于点Q，交BC于点P，再分别以点P，Q为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点H，作射线BH；②以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点M，交AC于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G，作射线AG交射线BH于点O；③作射线CO交AB于点D，且，以点O为圆心，OD为半径作，交AC于点E，交BC于点F，构成如图所示的阴影部分．(1)求证：是等腰直角三角形；(2)若，求图中阴影部分的面积．【答案】(1)证明过程见解析；(2)【解析】(1)证明：由题意尺规作图知，、分别是和的角平分线，点是的内心，平分，，，，在和中，，，，是等腰三角形，又，是等腰直角三角形．(2)连接，，如图所示，由(1)得点是的内心，且，是的半径，为的内切圆，，，均与相切，，，且，，，，，四边形是正方形，，设得半径为，由(1)知是等腰直角三角形，，，，，，，解得，，又，，图中阴影部分的面积为．【变式训练3】如图，是的直径，点C在上，，点D是的中点，连结，交于点E，连结．(1)求的度数．(2)求证：．(3)若，求的面积．【答案】(1)22.5°；(2)证明见解析；(3)【解析】(1)解：如下图所示，连接OD．∵，∴OC⊥AB．∴∠BOC=90°．∵点D是的中点，∴．∴．∵OA=O