2023-2024学年福建福州高二年级上册册期末考试数学试题（含解析）

2023-2024学年福建福州高二上册期末考试数学试题

一、单选题

i.数列&、娓、M、JR的下一项应该是（）

A.VnB.2V3c.3V2D.M

【正确答案】c

【分析】观察数列的项之间的变化规律，即可求得答案.

【详解】观察数列&、娓、而、拒的项之间的规律，

可得根号下的数依次增加4,故数列④、巫、回、J%的下一项应该是Jii=3近，

故选：c

2.已知方程上+上=1表示的曲线是椭圆，则实数〃?的取值范围是

2-m加+1

A.（-1,2）B.（-L；）D（；,2）C.（-1,—）D.（；,2）

【正确答案】B

2—阳〉0

r22

【详解】因为方程二一+v-=1表示的曲线是椭圆，所以机+1＞0,解得-1＜也＜2且

2—m/w+1-1

2—阳Wm+1

机即实数机的取值范围是（-11）口仁,2）故选B.

3.若向量2=（1,2,0）,6=（-2,0,1）,则（）

A.cos＜a】＞=-gB.albC.allbD.|«|=|6|

【正确答案】D

【分析】由向量数量积的坐标运算求得数量积，模，结合向量的共线定义判断.

【详解】由已知同=正+22+。2=君,p|=7（-2）2+02+l2=y[5,

〃•加=1x（-2）+2x0+0x1=—2，5与q不垂直.

若行=忘，则0=24，k=0,但是，IwOxO,因此书与[不共线.

故选：D.

4.若直线4:〃?x+3y+4=0与直线4:2x+(/n+l)y+4=0平行，则用的值为()

A.2B.-3C.2或-3D.-2或-3

【正确答案】B

【分析】根据直线的平行可列出方程，求得加的值，验证直线是否重合，即得答案.

【详解】由题意知直线4：机x+3y+4=0与直线/2：2x+(m+l)y+4=0平行，

而直线4：^x+3y+4=o的斜率为占=-g,

2

则直线/2：2x+(〃?+l)y+4=0必有斜率，即加w—l,贝ij&=-----

故-：m=2,解得加=2或-3,

37W+1

当〃7=2时，直线4：2x+3y+4=0与直线/2：2x+3y+4=0重合，不合题意；

4

当加=-3时，直线4：x-y-§=0与直线/2：x-y+2=0平行，符合题意，

故加=-3,

故选：B

5.设P为直线3x-4y+4=0上的动点，尸4尸8为圆C：(x—2>+/=1的两条切线，A,B为

切点，则四边形/P8C面积的最小值为()

A.百B.C.y[5D.2A/5

【正确答案】A

由切线的性质可得四边形ZPBC面积为2s"=|P/||C4|=J|PC『-1,求出IPCImin，又

IPCL,为圆心C到直线3x-4y+4=0的距离，即可求解.

【详解】圆C:(x-2>+V=i的圆心C(2,0),半径为1,

•.•尸4PB为两条切线，A,B为切点、，；.PA工AC,PB^LBC,

2

二•四边形APBC面积为2S,,AB=|PA\\CA\=VlPC|-1，

故当I尸。最小时，四边形ZPBC面积最小，

又|PC|最小值为圆心C到直线3x-4y+4=0的距离d,

故四边形APBC面积最小值为V3.

故选：A.

本题考查直线与圆的位置关系、切线的性质，等价转化为点到直线距离是解题的关键，属于

中档题.

9

6.设正项等比数列｛叫的前〃项和为S,,,若S?-$5=3（4+牝），则眄+一的最小值为（）

an

A.2B.4C.8D.16

【正确答案】B

91

【分析】根据等比数列满足的条件求得公比，将4%+一化为12《+丁，利用基本不等式即

a73al

可求得答案.

【详解】由题意知正项等比数列加“｝满足邑-Ss=3（即+%）,

设｛%｝的首项和公比分别为《（4>0）,贝夕>0）,

则％⑷+q6）=3q（/+/）,即/（1+/=3（1+q）,

则q=y/i,

故4%+2=12%+白>2卜2%1=4,

当且仅当12%=J,即时取等号，

3q6

故选：B

7.已知抛物线C:/=4x的焦点为凡准线为/,点尸在C上，直线尸尸交y轴于点。，若

方=3而，则点P到准线/的距离为（）

A.3B.4C.5D.6

【正确答案】C

【分析】求出焦点尸的坐标，过点P作N轴的垂线，垂足为N,由。尸〃PN可得

陶=缁=3,求出।尸N|,结合抛物线的定义，即可得解・

【详解】解：由抛物线C:/=4x,可知F（1,0）,准线/的方程为尸-1,

过点P作歹轴的垂线，垂足为N,

因为°尸〃PN，所以陶=第=：,

所以|取14|尸0=4,

所以点P到准线/的距离为4+1=5.

故选：C.

8.如图所示，平行六面体/3CD-44GA中，以顶点/为端点的三条棱长都为1,且两两

夹角为60。，求西•就的值是（）

A.-1B.1C.y/2,D.5/3

【正确答案】B

【分析】选定基底，根据空间向量的加减运算表示出国，工，再根据空间向量的数量积的

运算，即可求得答案.

【详解】由题意得西=0+7万+西=1万-德+N彳，AC=AB+AD，

则西•％=（而-布+河•（万+而）=而2一行+在布+折而

=l-l+lxlxcos60°+lxlxcos60=1,

故选：B

二、多选题

9.已知）为直线/的方向向量，鼠跑分别为平面环尸的法向量（%夕不重合），那么下列说

法中正确的有（）.

A.勺〃叼=a〃夕B.±«2<=>a±/?

C.v〃〃]<=>/〃aD.v±n（<=>/±a

【正确答案】AB

【分析】根据法线面垂直平行的性质及法向量、方向向量的概念即可选出选项.

【详解】解:若百〃&，因为a*不重合，所以a〃夕,

若。〃夕，则%凡共线，即E0，故选项A正确；

若点_L二则平面a与平面夕所成角为直角，故a_L/7,

若"，夕,则有点，0,故选项B正确；

若工〃，，则/_La,故选项C错误;

若vJ_/，则/〃a或/ua，故选项D错误.

故选:AB

10.已知曲线C:——+或=l（meR）,则下列结论正确的是（）

m~+2m

A.若曲线C是椭圆，则其长轴长为2折B.若〃?<0,则曲线C表示双曲线

C.曲线C可能表示一个圆D.若"7=1,则曲线C中过焦点的最短弦长为

2百

"I-

【正确答案】BD

【分析】因为〃/+2-相>0恒成立，所以苏+2中加，曲线C不可能为圆，可判断选项C错

误，当m>0时为椭圆，且焦点在x轴上，可判断选项A错误，机<0时为双曲线，所以选

项B正切，m=l时，曲线方程确定，需要用弦长公式求解弦长的最小值

【详解】解：由题意，若曲线C是椭圆，贝）?>0,因为疗+2-〃?>0恒成立，所以椭圆

。:一口+广=1的焦点在x轴上，所以其长轴长为zJTH，故Z错误；

m+2m

若加<0,根据双曲线的定义可知曲线C表示双曲线，故8正确；

因为小一a+2>0对任意的加恒成立，所以曲线C不可能表示一个圆，故C错误：

若m=l,则曲线C为椭圆，方程为1+/=1,焦点坐标为(士e,0),

若过焦点的直线斜率为0时，此时该直线截椭圆C的弦长为2道;

若过焦点的直线斜率不为0时，不妨设该直线过椭圆C的右焦点，方程为*=利+0,与

椭圆C的两个交点分别为Z(X［，M),8(X2，%)，

2

X21

---Fy=1.—

由43,可得(/+3)/+2&〃歹一1=0,

x=ny+>/2

=8n2+4(«2+3)=12(n2+l)>0

2届

则有%+为=F-T

n+3

1

必必二一一不

n+2

|/用=Jl+〃2\y[-y2\=+•5(%+%)2-4%为

J1+N2-J(一

二k塔尹2代言"后子

当〃=0时，上式不等式可取等号，即

综上，可知椭圆C：义+/=1中过焦点的最短弦长为2叵，故。正确;

33

故选：BD

11.已知直线/：奴->-左+1=0,圆。的方程为(x—2)2+(y+2)2=16,则下列选项正确的是

()

A.直线/与圆一定相交

B.当60时，直线/与圆C交于两点M,N,点E是圆C上的动点，则MNE面积的最大

值为3万

C.当/与圆有两个交点M,N时，也W|的最小值为2#

D.若圆C与坐标轴分别交于4B,C,。四个点，则四边形的面积为48

【正确答案】AC

【分析】由直线过定点在圆内判断A,由圆上点到直线的距离的最大值，求得三角形面积最

大值判断B,当定点与圆心连线垂直于直线/时，弦长最短，由勾股定理计算可得弦长，判

断C,求出圆与坐标轴的交点坐标，由面积公式计算面积判断D.

【详解】直线/：履7-4+1=0过定点P(U),(1-2)2+(1+2)2<16,P在圆内，因此直线/一

定与圆相交，A正确；

人=0时，直线为N=l,代入圆方"程得(x—2)2+9=16,x=2+>/7,因此=2币,

圆心为C(2,-2),圆半径为『=4,圆心到直线/的距离为"=3,因此E到直线/的距离的最

大值为〃=4+3=7,A/NE的面积最大值为5=葭7、2近=7近，B错；

当/与圆有两个交点M,N时，明网的最小时，PCJJ,|PC|=J(1_2)2+(1+2>=而，

因此：=2M=2拓，C正确；

在圆方程(x-2>+(y+2)2=16中分别令x=0和y=0可求得圆与坐标轴的交点坐标为

A(2-2行,0),8((2+2拒,0),C(0,-2+2W),0(0,-2-2百)，

|/a=4百，|CZ)|=4有，四边形/8CZ)面积为S=；x40x40=24,D错.

故选：AC.

12.如图的形状出现在南宋数学家扬辉所著的《详解九章算法•商功》中后人称为“三角垛”,

"三角垛''最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第〃层有个球，从

上往下〃层球的总数为S“，则()

赢

A.牝=35B.S$=35

C.a^-an=n+\D.不存在正整数〃?>2,使得a,,为质数

【正确答案】BCD

【分析】根据每层的球的个数可得=〃，利用累加法求得。“=彗D,即可求得《As

的值，判断A,B；根据%可判断C：根据。“=彗结合数的奇偶性，可判

断D.

【详解】依题意因为q=2,%-出=3…，4一限1=",

以上〃个式子累加可得：见=1+2+3+…+〃=殁3,(〃22),

又q=1满足上式，所以乙=彗D,故%=言=15,故A错误；

因q=l9a2=3,6=6必=1。,％=15,

所以$5=%+&+。3+4+。5=1+3+6+10+15=35,故B正确；

因为所以%+|-%="+1，故C正确；

E、，〃(〃+1)..”-L、1十4皿rim(m+1)

因为4,=:'故当m>2且为整数时，«m=----2

此时〃?(机+1)必为偶数，则吗为整数，且为合数，

则不存在正整数〃?>2,使得%，为质数，D正确，

故选：BCD

三、填空题

13.过点力(1,1)且与直线2x+3厂1=0平行的直线/的方程为.

【正确答案】2x+3y-5=0

【分析】根据两条直线平行的关系，可知所求直线的斜率，可得结果.

【详解】由直线/与直线2x+3厂1=0平行

所以直线/的斜率为：

又直线/过点力(1，1),所以根据点斜式

可得直线/方程为：1=||6-1)

即2x+3y-5=0

故2x+3y-5=0

本题考查直线方程，对于平面中两条直线的位置关系，可想到斜率之间的联系，属基础题.

14.已知0为坐标原点，向量a，点4(-3,-1,4),8(-2,-2,2)若点E在直线AB上,

且浣_L；，则点E的坐标为.

■十环田山.(61421

【正确答案】II

UIU

【分析】利用点E在直线上，可得0£=(-3+，,-1-,4-2/),然后利用

uum1uuu1

0K_LQO0Ea=0,即可求解£的坐标.

【详解】由题意可得：42=(1,-1,-2),

:点E在直线Z8上,

uumumuiuUULU-I〜U-.

***OE=OA+AE=OA++z（h-l,-2）=（-3+八一1一f,4一2。,

।JimJuiur

又,•,OELa，WlJO£-a=-2（-3+r）+lx（-l-z）+lx（4-2z）=0,

5

故点E的坐标为--T?），

a+1,〃为奇数

20

15.已知数列｛a〃｝满足ai=\,a„+l—1/+j〃为偶数，则｛"〃｝的前项和等于.

【正确答案】300

【分析】由数列｛4｝的通项公式可求得。2,4,推出数列｛《,｝的通项公式可得数列｛/｝的奇

数项和偶数项分别为等差数列，求解即可.

%+1,"为奇数

【详解】因为4=1，。用

%+2,〃为偶数

所以。2=Q[+1=2,〃3=〃2+2=4,。4=%+1=5,

a

由题意可得々”+1=in-\+3,a2n+2=a2n+3,

其中q=1,%=%+1=2,

可得出“wN*,

a=

则2n-\。2〃-2+2=3(〃-1)-1+2=3〃-2,〃22,

当拉=1时，6=1也适合上式,

所以。2〃一1=3〃-2/EN*,

所以数列｛《,｝的奇数项和偶数项分别为等差数列,

则｛。,｝的前20项和为

41+〃2+，，，+〃20=("1++L+。［9)+(。＞+。4+L+。)0)

10x910x9

=10+x3+10x2+x3=300

22

故300.

6设A、8分别为双曲线=…）的左、右顶点，入。是双曲线C上关于

x轴对称的不同两点，设直线4P、80的斜率分别为加、〃，若机〃=-1,则双曲线C的离

心率e是.

【正确答案】V2

【分析】设尸（X。,%）,0（%,—%）,有〃?=」5，〃=一5一，结合已知得〃=/,进而求离

%+4x0-a

心率e即可.

【详解】设尸（X。,%）,0（%,-%）,而4（一凡0）,830）,则加=一一.

/+Q/一

222.2

Vmn=~又年一冬=1,则加〃=-、，而加"=-1,

x0-aa-ba

故答案为.0

关键点点睛：利用点在双曲线上且关于x轴对称，结合已知条件得到应用离心率公

式求e即可.

四、解答题

17.已知等差数列｛4,｝中，S,为其前〃项和，g=2,$7=28.

(1)求数列｛。“｝的通项公式;

_1111

(2)求---+----+----+…+-----.

片。2〃2。3〃3。4%。用

【正确答案】(1)4=〃.

(2)-77.

774-1

【分析】(1)根据题意列出方程组，求得首项和公差，即可求得数列｛/｝的通项公式.

(2)由(1)可得‘一='-一二，利用裂项求和即可求得答案.

a„a,l+inn+1

【详解】(1)由题意等差数列｛〃“｝中，々=2,3=28,设公差为力

可得1[7a%+,2=1公228'解得[fdl=l1'

故=1+〃-1二〃.

]_1__1_

(2)由(1)可得-----

〃(〃+1)nn+1

n+1n+1

18.已知以点C(-LI)为圆心的圆与直线相：3x+4y+4=0相切.

(1)求圆C的方程；

(2)过点P(-2,3)的作圆C的切线，求切线方程.

【正确答案】⑴(x+l)2+(y-l)2=l:

⑵3x+4y-6=0和x=-2.

【分析】(1)由点到直线距离公式得圆半径后可得圆方程；

(2)分类讨论，检验斜率不存在的直线是否为切线，斜率存在时设出切线方程，由圆心到

切线的距离等于半径得结论.

【详解】(1)由题意，圆半径不"一；：4+4，L],

V32+42

所以圆方程为(X+1)2+(V-1)2=1；

(2)易知过P点斜率不存在的直线x=-2是圆的切线，

再设斜率存在的切线方程为y-3=%(x+2),即Ax-y+2%+3=0,

+2a+3]336

JI-l=l,解得上=_±,直线方程为一±x-y-?+3=0,即3x+4y-6=0.

y/k2+l44-4

所以切线方程是3x+4y-6=0和x=-2.

19.已知过点(1,2)的抛物线方程为j?=2px(0>0),过此抛物线的焦点的直线与抛物线交

于A,B两点，且|/8|=5.

(1)求抛物线的方程、焦点坐标、准线方程；

(2)求48所在的直线方程.

【正确答案】⑴抛物线的方程为V=4x,焦点尸(1,0),准线方程为x=-l；⑵2x-y-2=0

或2x+y-2=0.

【分析】(1)根据给定条件求出p值即可求解：

(2)设出直线48的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理并借助弦长公式求解即得.

【详解】⑴因点(1,2)在抛物线方程/=2px上，贝Up=2,

所以抛物线的方程为V=4x,焦点尸(1,0),准线方程为：x=-l；

(2)显然，直线48不垂直y轴，设直线48方程为：x=my+[,

[x=my+\,

由〈2；消去x得：-4股-4=0,设必),8(々,为)，则有必+%=45,乂%=-4,

[y=©

于是得|/8|=，1+加21必|=J1+机2.+%)2_4凹％=4(1+*)=5,解得"7=土;，即

直线48：x=±gy+l,

所以所在的直线方程：2x-y-2=0或2x+y-2=0.

20.如图，四棱锥尸一/BC。中，尸/_!_平面NBC。，

AB1AD,AD//BC,AD=2BC=2,AB=>j3,E为CO中点.

B

（1）求证：8,平面R4E；

（2）若尸/=百，求二面角N-PB-E的余弦值.

【正确答案】（1）证明见解析

（2）乎

【分析】（1）证明CD_L/I£,PALCD,可得CD_L平面HE.

（2）分别求平面48和平面P8E的法向量，利用法向量求二面角的余弦值.

【详解】（1）连接NC,如图所示：

左△/8C中，=^571=2,

AC=AD,/CD为等腰三角形，E为中点，...

平面N8C。，OCu平面/BCD,PA1CD

PAC\AE=A,P4,4Eu平面P4E,

所以CD_L平面P/E.

（2）以力为原点，AB，AD>"的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立如图所示的空

间直角坐标系，

与/。，旃=卜百，。，石），丽=（亭，|，-石

有/(0,0,0),用6,0,0),尸(0,0，/),E

平面尸的一个法向量三=（0』,0）,

设平面尸8E的一个法向量为〃=（x,y,z）,

万・丽=f/L:+V5z=0

令y=1,得x=z=石,.\n=(73,l,^3),

n-PE=^-x+—y-6z=Q

22

\m-n\1y/1

二面角4-P8-E的平面角为。,a

2而F=7

所以二面角的余弦值为五.

7

21.已知数列也,｝的前〃项和为S“，满足S,,=2%-2.

（1）求数列的通项公式;

（2）设6“=（2"-1）〃”,求数列也｝的前〃项和7；.

【正确答案】（1）-2）7；=（2n-3）x2"+1+6

（1）利用a“=S,,-S,T（〃N2）,q=S，可得｛q｝为等比数列，利用等比数列的通项公式即

可求得通项公式。“；

（2）利用错位相减法求和即可求

【详解】（1）当"=1时，q=Si=2%-2,解得%=2,

当〃>1时，由S.=2a〃-2可得

S“_|=2q,T-2,n>\

两式相减可得%=2%-2ai，即3=2,

an-\

所以｛0“｝是以2为首项，以2为公比的等比数列,

所以a“=2-2"T=2"

(2)由(1)bn=(2n-\YT,

7；=1X2+3X22+5X23+•••+(2M-1)-2",

则27；=1x22+3x23+5x2"+L+(2〃-3)x2"+(2〃-l)x2,

两式相减得-1=2+2x22+2x23+…+2x2"-(2〃-1)x2”“

18(1-2-)

2-(2»-l)x2'+l=T2-6-(2w-l)x2,+l=«2n-3-2，+'

1-2

所以7；=(2"-3)x2川+6.

方法点睛:

S,—S”।22

由数列前〃项和求通项公式时，一般根据求解，考查学生的计算能九

22

rv=1(〃>6>0)过点卜，3

22.设a,b是实数,若椭圆氏且离心率为，

ab

(1)求椭圆E的标准方程;

(2)过椭圆E的上顶点尸分别作斜率为占，k2的两条直线与椭圆交于C,。两点，且£+无2=g，

试探究过C,。两点的直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；否则，说明理由.

【正确答案】⑴三+仁=1；

43