第01讲 集合与常用逻辑用语（八大知识点、九种解题模型）-2023年高考数学题型解题方法+真题练习（新高考）（解析版）

第Ol讲集合与常用逻辑用语(八大热点、九种解题模型)

题吧♦:集合的我示题型五：集合与排列组合概率

题型二：集合元素的特征题型六：新定义

集合(八大热点题型)

题型三：集合的关系题型七：集合与圆和圆锥曲线

题型四：集合的运算题型八：集合与数列

五、元素、子集、集合的个数

-:Venn图法解决集合运算问题

六、集合的交、并、补全的运兑

-：：分类讨论方法解决元素叮集合关系问题

集合(九种解题模型)七、集合法解充分必要条件

:：根据集合包含关系求参数值或范困

八、充分、必要条件的应用

四：数轴法解决集合运算问题

九、俄词命题及其否定

9【八大热点题型】

题型一：集合的表示

一、单选题

1.(2022•江苏南通•模拟预测)设集合4={(x,y)∣2x-y=0},B={y∖y=-2x+3∖,则“8=

()

A.{1,3}B.{(1,2),(3,6)}C.{y∖y≥2}D.0

【答案】D

【分析】根据两集合元素的特征判断即可；

【详解】解：因为集合A为点集，集合B为数集，所以AB=0,

故选：D

2.(2022•河北秦皇岛•三模)已知集合A={L2,3},8={(x,y)B∈Ay∈A∣x-y∣∈A}中所含元素的个数为

)

A.2B.4C.6D.8

【答案】C

【分析】根据题意利用列举法写出集合5,即可得出答案.

【详解】解：因为A={l,2,3},

所以B={(2,1),(3,1),(3,2),(1,2),(1,3),(2,3)},8中含6个元素.

故选：C.

二、填空题

3.(2022•上海•模拟预测)已知集合A={x∣f-4χ<0,χeN*},则用列举法表示集合A=

【答案】{1,2,3}

【分析】根据不等式的解法，求得0<x<4,进而利用列举法，即可求解.

【详解】由不等式f-4x<0,可得X(X-4)<0,解得0<x<4,

即集合4={》|0=<4且*€'，}={1,2,3}.

故答案为：{1,2,3).

题型二：集合元素的特征

一、单选题

1.(2022•重庆•模拟预测)己知集合A={l,2,3},B={a-b∖a≡A,b≡A],则集合8中元素个数为

()

A.5B.6C.8D.9

【答案】A

【分析】根据给定条件分析a,6取值即可判断作答.

【详解】集合A={l,2,3},β={a-b∖aGA,bsA},

贝IJ当α=〃时，有a-b=U,当α>。时，。一/?=1或。一》=2,当。<〃时，a-b=-∖SLa-b=-2.

所以B={-2,TCU2},集合5有中5个元素.

故选：A

2.(2022•重庆南开中学模拟预测)已知集合A={-l,O,l},8={α+冰∕∈A∕∈A},则集合8=

)

A.{-U}B.{-l,O,l}C.{-2,-l,l,2}D.{-2,-l,O,l,2}

【答案】I)

【分析】根据A={T,O,1}求解8={a+*e4,6eA}即可

【详解】由题，当αeAbwA时4+b最小为(-1)+(—1)=-2,最大为1+1=2,且可得

(-1)+0=-1,0+0=0,0+1=1,故集合8={-2,-1,0,1,2}

故选：D

3.(2022•广东•揭西县河婆中学模拟预测)已知集合A、集合8={2,3,4,6},且A8={3,4},则下列

结论正确的是()

A.有可能α+b=8B.<ι÷6≠8

C.a+b<8D.a+b>S

【答案】B

【分析】由交集结果和集合中元素的互异性可知α+bw8.

【详解】B={2,3,a,b},A8={3,4},.∙.4e3,

若α=4,由集合中元素互异性知：⅛≠4,.∙.α+⅛≠8;

若b=4,同理可知：«≠4,.,.a+b≠8；

综上所述：a+b≠8.

故选：B.

题型三：集合的关系

一、单选题

1.(2022•河北•石家庄二中模拟预测)已知集合A={(x,y)∣y=∕},B={(x,y)"=6},则AB的真

子集个数为()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】解方程组可求得A8,根据AB元素个数可求得真子集个数.

［详解］由F=X厂得：Fu或''Aβ≈{(0,0),(l,l)},

y=y∕χIy=OIy=I

即AB有2个元素，,A8的真子集个数为2?_1=3个.

故选：C.

2.(2022•海南海口•模拟预测)已知集合M={-2,0,l},N=NX2+αr-2=θ},若NaM,则实数a=

()

ʌ.2B.1C.0D.-1

【答案】B

【分析】对于集合N,元素X对应的是一元二次方程的解，根据判别式得出必有两个不相等的实数根，又

根据韦达定理以及NUM,可确定出其中的元素，进而求解.

【详解】对于集合％因为A="+8>0,

所以N中有两个元素，且乘积为-2,

又因为Na例，所以N={-2,l},

所以一Q=-2+1=-1.即a=∖,

故选：B.

3.(2022•江苏省木渎高级中学模拟预测)已知全集“集合4,占为其子集，若5l(dA)=0,则

A<JB=()

Λ.α,AB.*BC.AD.B

【答案】C

【分析】根据给定条件，判断集合凡6的关系，再利用并集的定义计算作答.

【详解】全集〃，集合46为其子集，因Bl(gA)=0,则有B=A,

所以AUB=A.

故选：C

•山东聊城•三模)设集合

4.(2022M={x∣l≤x<3},={%|log2(Λ-1)<1},p∣∣j()

Λ.N曝MB.M窿NC.MCN=MD.MuN=N

【答案】A

【分析】先求出集合N,再由真子集的定义即可求出答案.

【详解】log2(xT)<l=log22,所以0<x-l<2,所以l<x<3,

所以N=伸0g2(xT)<l}={W<x<3},所以N至M.

故选：A.

5.（2022•湖北•华中师大一附中模拟预测）若集合AUB=BCC,则对于集合AB,C的关系，则下列关

系中一定正确的是（）

ʌ.A⊂B⊂CB.BNCJA

C.C∈B⊂ΛD.β⊂A⊂C

【答案】A

【分析】根据交集和并集的性质，结合子集的性质进行判断即可.

【详解】由于AaAB=BCcB,同理知B=C,故A=BuC,

故选:A

6.（2022•河北张家口•三模）已知A={x∣x=2"-l,"eZ},8={x∣x=6Z+m,左eZ},∕n=O,1,2,3,4,5,

若AB=B,则m的取值集合为（）

A.{1,2,3}B.{2,3,5）C.{1,3,5}D.{0,2,4）

【答案】C

【分析】由题可知B=4,结合条件即得.

【详解】VAB=B,故B=A,

,/A=奇数集，B={x∖x=6k,kGZ1^J∣X∣X=6⅛+1Λ∈Z∣u∣x∣x=6⅛+2,⅛∈Z∣

u{x∣x=6A+3,&eZ∣u{x∣x=6k+4,keZ}u{x∣x=6左+5,左∈z},

其中奇数集={x∣x=6上+1,左ez}u{x∣x=6A+3,A:∈z}u{x∣x=6无+5,⅛∈Z∣,

I”的取值集合为{1,3,5}.

故选：C.

7.（2022•浙江•模拟预测）己知集合A={x∣x=3},B={l,2,3},则AB=（）

ʌ.ΦB.{<∕>}C.{1,2,3}D.{0,{l,2,3}}

【答案】A

【分析】由子集的定义得出集合4再由集合的交集运算可得答案.

【详解】解：因为集合A={x∣x[8},S={1,2,3）,

所以A={0,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}},

所以ApB=O,

故选：A.

8.（2020•南开中学模拟预测）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴

金德提出了“戴金德分割”才结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴金德分割，是指将

有理数集Q划分为两个非空的子集M与N,且满足MuN=Q,MCN=0,M中的每一个元素都小于

N中的每一个元素，则称（M.N）为戴金德分割.试判断，对于任一戴金德分割（",N）,下列选项中一定不

成立的是（）

A.M没有最大元素，N有一个最小元素

B.M没有最大元素，N也没有最小元素

C.M有一个最大元素，N有一个最小元素

D.Λ/有一个最大元素，N没有最小元素

【答案】C

【分析】本题目考察对新概念的理解，举具体的实例证明成立即可，A,B,D都能举出特定的例子，排除法

则说明C选项错误

【详解】若M={xeQ,x<0},N={xeQ,x≥0};则"没有最大元素，N有一个最小元素0；故A正

确；

若M={xeQ,x<0},N={xeQ,x≥α};则M没有最大元素，N也没有最小元素；故B正确：

若V={xeQ,x≤0},N={x∈Q,x>0};M有一个最大元素，N没有最小元素，故D正确；

M有一个最大元素，N有一个最小元素不可能，故C不正确.

故选：C

二、多选题

9.（2021•河北衡水中学三模）已知集合A={xe昨2-3χ-i8<θ},B=[Λ∈/?|X2+<u+α2-27<0）,则

下列命题中正确的是（）

A.若A=B,则“=—3B.若A±B,则a=—3

C.若8=0,则a≤-6或a≥6D.若a=3,则4c8={x∣-3vx<6}

【答案】ABC

【分析】解一元二次不等式求集合4根据各选项中集合的关系，列不等式或方程求参数值或范围，判断

从B、C的正误，己知参数，解一元一：次不等式求集合8,应用交运算求ACB判断正误即可.

【详解】由已知得：A={x∣-3<x<6},-φ∙⅛U)=x2+cιx+a2-27

“=-3

A：若A=B,即-3,6是方程g（x）=O的两个根,则《得a=—3,正确;

02-27≈-18

g(-3)=∕-3”18≤0

B：若Au5,则2，解得。=一3,正确;

g⑹=∕+6a+9≤0

C：当5=0时∙，Δ=a2-4(a2-27)≤0,解得a≤-6或a≥6,正确;

D：当a=3时，有∙B=[eR∣χ2+3χ-18<0∣}={x∣-6<x<3},所以AC8={x卜3<x<3},错误;

故选：ABC.

10.（2021•广东湛江•二模）已知集合A=

列命题中正确的是（)

A.若A=B,则a=-3B.若A[B,则a=-3

C.若3=0,则a≤-6或a≥6D.若SUA时，贝ιJ-6<a≤-3或a≥6

【答案】ABC

【分析】求出集合A,根据集合包含关系,集合相等的定义和集合的概念求解判断.

【详解】A={x∈R-3<x<6},若A=B,则”=-3,且/-27=-18,故A正确.

a=-3时，A-By故D不正确.

若222解得故正确.

Aa8,M(-3)+61∙(-3)+^-27≤0a6+6a+a-27≤0.a=-3,B

当B=O时，a2-4(a2-27)≤0,解得。4-6或aN6,故C正确.

故选：ABC.

三、填空题

11.（2022•上海金山•二模）已知集合A={-1,3,0},8={3,加},若B=A,则实数，”的值为.

【答案】O

【分析】解方程病=O即得解.

【详解】解：因为BqA,所以＞=7（舍去）或病=0,

所以帆=0.

故答案为：O

题型四：集合的运算

一、单选题

1.(2022•安徽蚌埠•一模)已知全集U={x∣-3<x<3},集合A=WX?+x—2<θ},则δbA=

()

A.(-2,1]B.(-3,-2]u[l,3)

C.[-2,1)D.(-3,-2)o(l,3)

【答案】B

【分析】先化简集合A,再求其补集即可

【详解】χ2+χ-2<o=(χ+2)(x-l)<0=-2<x<l

A={x∣-2<x<l},所以dA=(-3,-2]u[l,3).

故选：B

2.(2022•江苏•盐城中学模拟预测)已知集合AX%——3九+2≥θ},8={y∣y+lnx=θ},则AB=

()

A.[2,+∞)B.(-∞J1C.(-∞,0)D.(→≈o,l]u[2,+∞)

【答案】D

【分析】解一元二次不等式得集合A,求函数的值域得集合8,由集合交集的运算即可求解.

【详解】由不等式f-3x+2≥0,解得x≤1或X22,所以集合A={x∣x≤l或xN2},

由y+lnx=O得y=-lnx,因为χ>0得ywR,所以B=R,

所以A3={x∣x≤l或xN2},

故选：D.

3.(2022•江苏泰州•模拟预测)己知全集U={0,1,2,3,4,5,6},集合A={0,2,4,5},集合B={2,3,4,6},用

如图所示的阴影部分表示的集合为()

C.{0,2,3,4,5,6}D.{1,2,4)

【答案】B

【分析】根据文氏图求解即可.

【详解】AnB={2,4},AuB={0,2,3,4,5,6},阴影部分为{0,3,5,6}.

故选:B.

4.(2022•广东•模拟预测)已知集合A=1(x,y)三=11,集合8={(x,y)Iar+y—2-α=0},

Aθ=0,则。的取值范围是()

A.a=-∖B.α∈R且α≠l

C.α∈R且"一1D.α∈R且awl且1

【答案】C

【分析】分析可知集合A表示直线y-2=x-l上去掉点(1,2)所构成的两条射线，集合8衣示定点(1,2)且

斜率存在的直线，根据直线的位置关系可得出关于”的不等式，解之即可.

【详解】集合A表示直线y-2=ɪ-l上去掉点(1,2)所构成的两条射线，

/、.Ix-I=0[x=l

在方程α(x-l)+y-2=0中，令J一2=0可得y=2，

集合5表示过定点(1,2)且斜率存在的直线，

由A8=0得两直线斜率不同，则-αwl,解得αχT.

故选：C.

5.(2022•广西师范大学附属外国语学校模拟预测)设集合A={(x,y)∣y=2"},B={(x,y)∣y=x2},则集

合AB的元素个数为()

A.3B.2C.1D.0

【答案】A

【分析】根据函数y=2,与y=Y的图象的交点个数可得答案.

【详解】因为函数>=2'与y=χ2在第二象限有唯一个交点，在第象限有两个交点（4,16）和（2,4）.

所以集合A3的元素个数为3.

故选:Λ.

6.（2022•辽宁实验中学模拟预测）已知集合4,8满足A={x∣x>a},8={x∣x≤α+∕j},（4力∈R）,若

AB=R则（）

A.⅛<OB.b<OC.h>OD.h≥0

【答案】D

【分析】根据并集的定义求解.

【详解】由题意4+6Na,所以。NO.

故选：D.

7.（2022•湖北•孝昌县第一高级中学三模）已知集合A={2,3,4},B={x∈Z∣√-8x+12<θ},则AU^

中元素的个数是（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】A

【分析】求出集合B,再根据并集的定义即可求出答案.

【详解】B={X∈Z∣X2-8X+12<0}={X∈Z∣(Λ-2)(Λ-6)<0}={X∈Z∣2<X<6}={3,4,5),

所以A=B={2,3,4,5}.所以4B中元素的个数是4.

故选：A.

8.(2022•湖南岳阳•模拟预测)已知集合力={0,1,2,3,4),8={x∣x>4,若A@8)有三个元

素，则实数"的取值范围是()

A.[3,4)B.[1,2)C.[2,3)D.(2,3]

【答案】C

【分析】根据题意，由集合6可得∖B,乂由A(备3)有三个元素，由交集的意义分析可得必的取值范

围，即可得答案.

【详解】根据题意则H={0,1,2,3,4},B={x∖x>ffl},¾B={x∣x≤∕n},

若力(«8)有三个元素，则有2≤a<3,

即实数的取值范围是[2,3)；

故选：C

二、填空题

9.(2022•上海•华师大二附中模拟预测)已知集合A=(0,2),B=(l,3),则AuB=.

【答案】(0,3)

【分析】由并集的定义即可求解.

【详解】由题，AUB=(0,3),

故答案为：(0,3)

题型五：集合与排列组合概率

1..设集合A={1,2,3,,2020),选择力的两个非空子集6和C,要使C中最小的数大于5中的最大数，则

不同的选择方法有;

【答案】2O18×22O'9+1

【分析】

分类讨论集合B中的最大元素，利用集合的非空子集的个数的求法把所有满足题意的情况求出来即可得出

结果.

【详解】由题意得：

当集合B中的最大元素为1时，满足题意的集合B共有1个，对应的集合C共有(22"9-1)个，即满足题意

的共有1x02。屋1)个；

当集合B中的最大元素为2时，满足题意的集合B共有2个，对应的集合C共有(2如8-1)个，即满足题意

的共有2x(2*_1)个：

当集合B中的最大元素为3时，满足题意的集合B共有22个，对应的集合C共有(22包7一1)个，即满足题意

的共有22χ(220口τ)个；

当集合B中的最大元素为4时，满足题意的集合B共有23个，对应的集合C共有(22°w-l)个，即满足题意

的共有23χQ2S6-i)个；

当集合B中的最大元素为2019时，满足题意的集合B共有22Oni个，对应的集合C共有(2—1)个，即满足题

意的共有2刈乜仅-1)个；

综上：满足题意的不同的选择方法有：

lx(22019-l)+2×(220'8-l)+22×(22017-1)++220*8x(2,-1)

=2019×220'9-(1+2+2I+22+23++22018)=2019×22019-

=2019×2∞I9-(220'9-1)=2018×220'9+1,故答案为：2O18×220'9+1.

2.(2022•上海•模拟预测)已知复数Z是方程x+'=√∑的一个根，集合M=k∣x=z2"T,z7eN∙),若在

集合〃中任取两个数，则其和为零的概率为

【答案】ɪ

【分析】由题意解出Z=变±Y2i,根据复数的乘方以及集合的互异性确定

与率,§+率,当一部,根据古典概型处理运算.

乙S乙S乙乙乙乙乙乙

【详解】x+-=y∕2,即1_&》+1=0,解得Z=也±正i

当Z=也+且4时,

则Z3=—巫+g,√2√2Zj避一骂T=①+与…

Z------------------------1，

22222222

当Z=正—乌时,

22

则z3=—变—也3

ZI=

222222

则集合M有4个元素：L乎当，L*+%K=导冬,Z普冬即

M=至一旦也+■+立淖/

22222222

若在集合"中任取两个数，共有如下可能：z,z2,zlz3,ZIZ4,z2z3,z2z4,z3z4,共6个基本事件，其和为零的有

21

z∣Z3∕2Z4,共2个基本事件，则其和为零的概率为A=2=：；

63

故答案为：ɪ.

题型六：新定义

L用Ca)表示非空集合力中的元素个数，定义叱=C*'；*；；*若4={L2},B=

{x∣(∕+ax)♦(V+^+2)=0},且4*41,设实数a的所有可能取值组成的集合是S则C(垃等于

()

A.1B.3C.5D.7

【答案】B

【分析】根据题意可得C(B)=I或C(B)=3,进而讨论a的范围，确定出C(5),最后得到答案.

【详解】因为C(A)=2,A*B=1,所以C(B)=I或C(B)=3,

由x~+Cix=0,得％=0,%=-a,

关于X的方程/+or+2=0,

当A=O时,即0=±20时，易知C(B)=3,符合题意；

当△>()时，即〃<-2夜或白>2及时，易知0，F不是方程Y+奴+2=0的根，故C(B)=4,不符合题

-k

悬；

当△<()时，即一2√^<α<2√∑时，方程£+火+2=0无实根，

若a=0,则斤{0},C(B)=I,符合题意，

若-2&<“<0或0<“<2√i,贝∣JC(3)=2,不符合题意.

所以5={0,20,-2&},故C(S)=3.故选：B.

2.在〃元数集S={4即…,%}中，设MS)=4+%+”.+%,若S的非空子集A满足MA)=MS)，则称A

n

是集合S的一个“平均子集”，并记数集S的左元“平均子集”的个数为A(k).已知集合

S={1,2,3,4,5,6,7,8,9},7={<-3,—2,7,0,1,2,3,4},则下列说法错误的是()

A.Λ(9)=Λ(1)B.Λ(8)=A(1)

C.Λ(6)=A(4)D.Λ(5)=A(4)

【答案】C

【分析】根据新定义求出々元平均子集的个数，逐一判断，由此得出正确选项.

【详解】MS)=5,将S中的元素分成5组(1,9),(2,8),(3,7),(4,6),(5).

则人⑸=Cy=6,%(6)=窃=4,A(8)=^=1,Λ(9)=1;

同理:X(T)=0,将T中的元素分成5组(LT),(2,-2),(3,-3),(4,-4),(O).

则方⑴=C=I,Λ∙(4)=C=6.

∙∙∙Λ(9)=A(1).Λ(8)=Λ(1),Λ(5)=Λ(4),Λ(6)≠Λ(4).

故选：C.

3.(2022•北京朝阳•一模)对非空数集X,八定义X与y的和集X+y={x+y∣xeX,yGy}.对任意有

限集A,记IAl为集合A中元素的个数.

⑴若集合X={O,5,1O},y={-2,-1,0,1,2},写出集合X+X与x+y；

⑵若集合X=M,均，相}满足为<当<<X„,n≥3,且∣X+Xk2∣X∣,求证：数列为，巧，L,X“是

等差数列；

<x

⑶设集合X={χ,x2,,也}满足玉<々<„>"≥3,且Xj∈Z(i=l,2,,〃)，集合

β=^k&Z∖-ιn<k<m^(zn≥2,m∈N),求证：存在集合A满足M≤l+且XuA+8.

【答案】⑴X+X={0,5,10,15,20},X+K={-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12)；

(2)详见解析:

(3)详见解析.

【分析】(1)利用和集的定义即得；

(2)由题可得∣X+X∣=2"-1,进而可得X+X中的所有元素为

xl+xt,xt+x2,xi+xi,,xt+xπ,x2+x,1,x3+xlt,,Xn+X11,结合条件可得

x,,-χ,,-l=⅞-∣-⅞-2==X2一%>0，即证；

(3)设{q}4=%+m+(i-l)(2m+l),ieN*,令集合A={4,%,,α小},B=[keZ∖-m<k≤m^,进而可得

|4归1+；却五,A+B^{t≡Z∖xi≤∕≤¾}⊃{xl,x2,x3,∙,xπ},即得.

(1)•.•集合乂={0,5,10},y={-2,-1,0,1,2},.∙.X+X={0,5,10,15,20},

X+r={-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}；

(2)VX1+X1<x∣+x2<X1+x3<<X1+xn<x2+xn<x3+x,,<<xn+x,,,集合X+X中至少包含2〃-1

个元素，所以|X+X|N2〃-1,又|X|=〃,由题可知∣X+XR2〃，又∣X+X∣为整数，.∙.∣X+X∣≤2"T,

,x+xx+xx+x

..∣X+X∣=2/7-1,；.X+X中的所有元素为Λl+x∣,x∣+七，阳+X3,>∣^2,^3^,X"+X",又

x∣+x∣,x?+x∣,x?+x?,,x?+X"-ι，X?+X"，X3+X”，,x”+Xft是X+X1PlfJ2〃—1个兀素，且

,〃)，即

xl+xl<x2+xy<x2+x2<<x2+xπ,l<x2+xn<x3+xn<<x„+X,,,Xf+xj=x2+XΛI(y=2,3,

-χxl

Xj-xj-x=x2-xt(j=2,3,,n),Λ⅞-xn,l=V∣n-2=∙=x?一%>。，，数歹IJX1，2>-Xa是等差数

列；

(3)：集合5={keZ卜"z≤k≤"z},Λ∣i3∣=2∕M+1,设x“一x∣=(2m+l)q+r,其中q,reN,0≤r≤2"?,设

{q}是首项为公差为2,〃+1的等差数列，即4=x∣+m+(i-l)(2w+l),ieN*,令集合

但…，*,则+寺…货≤1+诗，

.∖A+B={x^xi+l,x,+2,-,x1+(2w+l)(∕+2w},即A+3={f∈Z∣x∣≤t<x]+(2m+l)q+2m},

,

,.xn=x1+(2m+l)^÷r≤x∣+{2m+∖)q+2ιn,.*.A+Bo^r∈Z∣x1≤r≤xn}o{xl,x2,x3,,x〃},所以

X=A+3,故存在集合A满足∣A∣≤l+4gp目.X=A+8.

题型七：集合与圆和圆锥曲线-

L设集合M=[(x,y)Iy=J4-χ2∣,∕√=^(x,y)∣(x-2)2+(,y-2)2=r2∣(r>0).当MCN有且只有一个元

素时，则正数「的所有取值为（）

A.2+应或2√Σ-2B.2<r<2√5

C.2<r≤2√S或r=2应-2D.2≤r≤2石或r=2√Σ-2

【答案】C

【分析】依题画出满足题意的图形，因为MCN有且只有个元素，所以圆.”和圆M只有一个交点，所以

圆/V的位置为圆（1）和介于圆（2）、圆（3）之间两种情况，然后分析计算即可得解.

2

【详解】y=y∣4-x.y》o，即圆/+y=4的上半部分，如图:

圆M的圆心坐标为（0,0）,半径为2,圆小的圆心坐标为（2,2）,半径为八

因为MCN有且只有一个元素，所以圆及和圆M只有一个交点，

所以圆力的位置为圆（1）和介于圆（2）、圆（3）之间两种情况，

①外切：d=2+r,d为圆心距，2√5=2+r,此时r=2-2√∑,

②介于圆（2）、圆（3）之间：圆（2）处的半径厂=2，

圆（3）处的半径r=AN=2√L所以2<r≤2√5,

综上，正数r的所有取值为2c≤2√5或∕∙=2√5-2.故选：C.

2.已知集合A=｛（x,y）∣W+2∣y∣≤4｝,集合8=｛（左刈（*-附2+丫2=：｝,若B=A,则实数，〃的取值范围

是.

【答案】[-2,2]

【详解】试题分析：集合4=｛。广）|闪+2仅区4｝表示由直线*+2丫=4,x-2y=4,-x-2y=4,-x+2y=4

围成的平面区域，集合B=｛（x,y）∣（x-m）2+y2=刍表示以C（ZMO）为圆心，半径为竽的圆为使B=A,

须圆C落在上述平面区域内.由圆心C（∕n,0）到直线x+2y=4及-x+2y=4的距离等于竽，即

W+2x0-4|_2右

故实数〃?

√l2+2f

的取值范围［T2］,

3.设集合4=］（乂丫）|（》+3$出。）2+（），+38$0!）2=1,0£/?1,B={（x,y）∣3x+4y+lθ=θ},记P=ACB,则

点集P所表示的轨迹长度为（）

A.2√5B.2√7C.4√2D.4√3

【答案】D

【分析】分析集合A,B所对应的几何图形，将问题转化为直线与圆的位置关系，如题图，其交集P对应

的几何图形为线段AB,计算AB的长即可。

【详解】由题意（x+3Sina）2+（y+3CoSa）Ji的圆心为（一3Sina3CoSa）,半径为1,

而圆心（-3Sina,-3cosɑ）,满足（-3Sina）2+（-3cosɑ）2=9,

故圆心在以（0,0）圆心，半径为3的圆上，

二集合A对应的几何图形为圆x2+y==4和x⅛∕=16之间的圆环区域，

由于原点（0,0）到直线3x+4y+IO=O的距离为d==2,所以直线3x+4y+10=0恰好与圆环的小

圆相切.

所以P=AC3表示的是直线3x+4y+10=0截圆环的大圆/+y2=i6所得的弦长.

ΓΓ

故点集P所表示的轨迹长度为2"N=46∙故选D.

4.如图，有6个半径都为1的圆，其圆心分别为a(0,0),α(2,0),a(4,0),Q(0,2),ft(2,2),

α(4,2).记集合松={θɑ∣y=l,2,3,4,5,6).若48为〃的非空子集，且4中的任何一个圆与8

中的任何一个圆均无公共点，则称(4S)为一个“有序集合对”(当4W8时，(4B)和(B,A)为不

同的有序集合对)，那么例中“有序集合对"(4B)的个数是

【详解】当4={oα}时，8可以是集合{oq,c(⅞,Oq}的非空子集，<23-ι=7φ.同理，当A={OQ}

或A={q}或A={oq}时的情况类似，则总共有28种可能情况；

,

'∣λ={O2}w∙∖,以是案合{Q1,小}的非空子集，仃2?-1=3个.当4={Qj的情况类似，则总共

有6种可能情况；

当A={θα,θC}时，B可以是集合{0^,04}的非空子集，有22-1=3个.当4={CQ,OQ}的情况类

似，则总共有6种可能情况：

当A={O1,。}时，«={O6}.当A={Q，R}或4={O4,O5}或A={O5,&}或

A={O1,q}或A={O2,(Q}或A={Q,Q}或A={O2,&}或4={Q，03}或A={。4,&}

的情况类似，则总共有10种可能情况；

当A={α,(Q,<α}时，B={Ob}.当A={O2,Q，4}或A={。，°”2}或

A={Q，OaQ}的情况类似，则总有4种可能.

5.(2020福建福清西山高三)设平面点集A={(x,y)I(y-x)(y-》≥θ1,B={(x,y)I*-1/+(y-I)?≤1},

则A8所表示的平面图形的面积为

【答案】y

【详解】

因为AT(X，y)l(y-χ)(y-g)≥0

y-x..0y-x,0

ʌ(ʃ-ɪ)fʃ-ɪ

..Oo<1八或，

y——..0y-—„0

XX

4={(χ,y)l(y-χ)(y-4≥θ],8={(x,y)∣(x-l)2+(y-l)2≤l}表示的面积如图阴影部分,

TT

利用图形的对称性可知A8所表示的平面图形的面积为圆面积的一半

故答案为彳.

题型八：集合与数列

一、填空题

1.(2022•海南华侨中学模拟预测)已知集合A={x|x=2〃—l,〃eN*},B={ψ=2∖∕t∈N"},将ALB中

的所有元素按从小到大的顺序排列构成一个数列{a,,},设数列{4}的前n项和为Sn,则使得Sn>100成立

的最小的n的值为.

【答案】13

【分析】依题意，比较2"与2〃-1的大小，用枚举法分别写出/与笈的前若干项，将S,,的前若干项求和

即可.

【详解】依题意，A={l,3,5,7,9,ll,13,15,17,19,,2n-l),

8={2,4,8,16,32,64,,2"},

.∙.Λ<JB从小到大排列为AB={l,2,3,4,5,7,8,9,11,13,15,16,17,19,21,},

S12=1+2+3+4+5+7+8+9+11+13+15+16=94<100,

513=1+2+3+4+5+7+8+9+11+13+15+16+17=lll>100,

的最小值为13.

故答案为：13.

二、双空题

2.(2023•全国•高三专题练习)设集合A={2"∣0W"≤16,"eN},它共有136个二元子集，如{2°,21、

{2∣,2)、…等等，记这136个二元子集为％星`B,、…、B.,设B,={x,y}(l≤i≤136,ieN*),定义

S⑻=IX-M,将S(8j按照从小到大排列构成数列{%},则附=；则

S(4)+S3)+S(8j…+S(稣6)=.(参考数据：7×2,8=1835∞8,结果用数字作答)

【答案】81835028

【分析】根据二元子集和与={x,y}(l≤i≤136,ieN*),S(耳)=|x-y∣的定义求解.

0,l20223

【详解】解：由题意得：cl-12-21=1,c2=∣2-21ɪ2,c3ɪ∣2-21ɪ3,c4ɪ∣2-2∣=4,

30334

C5=∣2'-2∣=6,C6=∣2-2∣=7,C7=∣2-2∣=8,

l020l60

S(B1)+5(B2)+5(β3)∙∙∙+S(Bl36)=(2-2+2-2+...+2-2),

+(22-2I+23-2I+...+2'6-2')+(213-2I4+2l6-214)+(216-215),

2(216-1)22(215-1)152

122-1

J----------16×2°+―ʌ------------15×2+...+—---------2x2"+2'6-215-

2-12-12-1

=2'7×15+216-(2+22+...+2'5)-(16+15×2'+...+2×2H+215),

令S=16+15X2∣+…+2X2”，

两边同乘2得2S=16×2'+15×22+...+2×215)

11415

两式相减得-S=16-(2+...+2)-2×2,

2(2,4-1)

=16--i----------2x2"，

2-1

=18-3×215.

所以S=3×2'5-18«则S+215=2'7-18,

所以5(4)+5(5)+5(&)…+S(%),

=217×15+216-2?：1)_G-18),

=2*8×7+20=1835028∙

故答案为:8,1835028

三、解答题

3.(2022•湖北•襄阳四中模拟预测)已知等差数列｛%｝满足4=1,且前四项和为28,数列｛2｝的前八

项和S11满足25,,=3⅛-3Λ(2∈/?).

(1)求数列｛%｝的通项公式，并判断出｝是否为等比数列；

(2)对于集合4B,定义集合A-8=｛x∣xeA目/eB｝.若4=1,设数列｛qj和也｝中的所有项分别构成集

合4B,将集合A-B的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列｛%｝,求数列｛，“｝的前30项和4。.

【答案】(l)απ=4n-3,判断答案见解析

(2)1926

【分析】(1)根据等数列的前〃项和公式和通项公式可求出｛4｝的通项公式，根据等比数列的定义可判断

｛〃｝是否为等比数列；

(2)结合等差数列的前〃项和，等差数列与等比数列的通项公式可求出结果.

(1)

∙.∙｛α,,｝是等差数列，6=1,且前四项和为28,

3x4

.∙.S4=4χl+j^χd=28,解得〃=4

：.an=l+4("-l)=4"-3.

V2S“=3bnn-32,.∙.当〃≥2时,2Sn.,=32T-34,两式相减得2⅛=3⅛-¾,,(n≥2),

即bn=5≥2),又2优=3々-3λ优=3/1

当4=0时，数列出｝的通项公式为2=0.不是等比数列

当/IwO时，数列｛〃｝是首项为，公比为3的等比数列，.♦.〃,=23".

⑵

由(1)知a=3",则)=81也=243

因为内)=4x30-3=127,

所以b4<%)</，

所以，4中要去掉｛2｝的项最多4项，即3,9,27,81,

其中9,81是｛4｝和也｝的公共项,

所以数列｛%｝的前30项和K)由｛为｝的前32项和，去掉9,81,

T30=(αl+a2H----Fa32)-(9+81)=-~~-90=1926

所以数列｛%｝的前30项和G)为1926.

4.(2022•广东•高三阶段练习)已知等差数列｛%｝的前〃项和为S“，al+¾=10,S9=81.

⑴求知;

⑵若集合A=｛x∣x=",,,"wN"｝,3=｛x∣x=2","∈N'｝,将A8中的所有元素按从小到大顺序排列，构成

数列色｝,设数列也｝的前n项和为Tn,求q.

【答案】(D¾=2n-1

(2)846

【分析】(1)根据等差数列的性质S21=(2Z-D4可解得%=9,进而可得4=1,4=2,根据等差数列

得通项公式即得；

(2)先弄清楚以｛〃｝的前33项中，各有多少项力,6中的元素，再分组求和即可.

⑴等差数列｛4｝中,59=9为=81,Λ¾=9,α,=l,4=幺二色="=2,

5—14

.∙.Cin—1+(〃—1)×2—2〃—1.

⑵因为2x33-1=65,25=32,26=64,A,8中没有共同的元素,

所以｛〃｝的前33项中，有5项8中的元素，28项/中的元素，

故0=(1+3+5++55)+(2+4+8+16+32)=784+62=846.

5.(2022•全国•高三专题练习)已知等比数列出｝和递增的等差数列｛αzl｝满足《=12,⅛,=1,a2=5b2,

4=2b∖.

(1)求数列｛q｝和数列他,｝的通项公式：