第06讲三角函数中任意角诱导公式同角基本关系原卷版

第06讲：三角函数中任意角、诱导公式、同角基本关系【考点梳理】考点一：终边相同的角 考点二：象限角考点三：弧度制 考点四：弧长公式和面积公式考点五：任意角的三角函数 考点六：同角三角函数的基本关系考点七：三角函数的诱导公式 考点八：三角函数的化简求值问题【知识梳理】知识一：角的分类：名称定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转形成的角知识二：终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．知识三：正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号1．图示：2．口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．知识四：同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：eq\f(sinα,cosα)＝tanα.知识五：六组诱导公式组数一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限技巧归纳：1．诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限．2．同角三角函数基本关系式的常用变形：(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；(sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝2；(sinα＋cosα)2－(sinα－cosα)2＝4sinαcosα.【题型归纳】题型一：终边相同的角1．（2023下·江西吉安·高一统考期末）已知角的集合，则在内的角有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个2．（2023下·上海黄浦·高一统考期末）在平面直角坐标系中，角和的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，若角和的终边关于轴对称，则下列关系式一定正确的是（

）A．（） B．（）C．（） D．（）3．（2023下·北京海淀·高一北大附中校考期中）将的终边逆时针旋转，与的终边重合，则与终边相同的角的集合为（

）A． B．C． D．题型二：象限角4．（2023下·内蒙古呼和浩特·高一呼和浩特市土默特中学校考期中）若角是第二象限角，则角的终边所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．（2023下·北京·高一北师大二附中校考期中）设是第二象限角，则的终边在（

）A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限6．（2023下·上海黄浦·高一上海市大同中学校考期中）已知是第一象限角，那么（

）A．是第一、二象限角 B．是第一、三象限角C．是第三、四象限角 D．是第二、四象限角题型三：弧度制7．（2023上·甘肃白银·高一甘肃省靖远县第一中学校考期末）春秋战国时期，为指导农耕，我国诞生了表示季节变迁的24节气．它将黄道（地球绕太阳按逆时针方向公转的轨道，可近似地看作圆）分为24等份，每等份为一个节气，2022年10月8日为寒露，经过霜降､立冬､小雪及大雪后，便是冬至，则从寒露到冬至，地球公转的弧度数约为（

）A． B． C． D．8．（2023下·浙江杭州·高一统考期末）军事上角的度量常用密位制，密位制的单位是“密位”1密位就是圆周的所对的圆心角的大小，.若角密位，则（

）A． B． C． D．9．（2022上·湖北荆州·高一校联考期末）圆的一条弧的长度等于圆内接正六边形的边长，则这条弧所对的圆心角的弧度数为（

）A．1 B． C． D．题型四：弧长公式和面积公式10．（2024上·黑龙江·高一校联考期末）古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的扇面多为扇环形.已知某纸扇的扇面如图所示，其中外弧长与内弧长之和为，连接外弧与内弧的两端的线段长均为，且该扇环的圆心角的弧度数为2.5，则该扇环的内弧长为（

）A． B． C． D．11．（2023下·广东江门·高一统考期末）已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥底面直径为（

）A．6 B．3 C．12 D．12．（2023下·山东日照·高一统考期末）我国北宋时期科技史上的杰作《梦溪笔淡》收录了计算扇形弧长的近似计算公式：，公式中“弦”是指扇形中圆弧所对弦的长，“矢”是指圆弧所在圆的半径与圆心到弦的距离之差，“径”是指扇形所在圆的直径．如图，已知扇形的面积为，扇形所在圆O的半径为2，利用上述公式，计算该扇形弧长的近似值为（

）A． B． C． D．题型五：任意角的三角函数13．（2023上·江苏盐城·高一校联考期末）已知角终边经过点，且，则的值为（

）A． B． C． D．14．（2023下·四川眉山·高一校考期中）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则（

）A． B． C． D．15．（2024上·上海·高一校考期末）函数（且）的图象都过定点P，且点P在角的终边上，则．题型六：同角三角函数的基本关系16．（2023上·河北保定·高一河北省唐县第一中学校考期中）若，且，则（

）A． B． C． D．17．（2023上·四川成都·高一校考期末）若，且是方程的两实根，则的值是（

）A． B． C． D．18．（2024上·吉林·高一长春市第二实验中学校联考期末）已知角终边过点，且，则实数（

）A．2 B． C．3 D．题型七：三角函数的诱导公式19．（2024上·天津和平·高一统考期末）已知角的终边经过点，则（

）A． B． C． D．120．（2024上·吉林·高一长春外国语学校校联考期末）若为第四象限角，且，则的值是（

）A． B． C． D．21．（2024上·上海宝山·高一上海交大附中校考期末）已知.(1)求；(2)若角为第二象限角，且，求的值.题型八：三角函数的化简求值问题22．（2024上·新疆阿勒泰·高一统考期末）已知(1)化简；(2)若角是三角形ABC的内角，且，求的值．23．（2024上·内蒙古包头·高一统考期末）（1）化简；（2）已知，且，求的值.24．（2024上·重庆·高一统考期末）已知．(1)化简函数；(2)若，求的值．【强化精练】一、单选题25．（2024上·重庆·高一统考期末）已知扇形的面积为，圆心角为2弧度，则此扇形的弧长为（

）A． B． C． D．26．（2024上·甘肃陇南·高一统考期末）若角的终边经过点，则的值可以为（

）A． B． C． D．27．（2023上·四川绵阳·高一绵阳中学校考期末）南朝乐府民歌《子夜四时歌》之夏歌曰：“叠扇放床上，企想远风来；轻袖佛华妆，窈窕登高台.”，中国传统折扇有着极其深厚的文化底蕴.如图所示，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形环（扇形环是一个圆环被扇形截得的一部分）制作而成.若一把折扇完全打开时，其扇形环扇面尺寸（单位：）如图所示，则该扇面的面积为（

）A． B． C． D．28．（2023下·新疆塔城·高一塔城地区第一高级中学校考期中）下列说法正确的是（

）A．长度等于半径的弦所对的圆心角为1弧度B．当时，C．若角的终边过点，则D．若，则故选：B29．（2024上·甘肃白银·高一校考期末）已知，则的值为（

）A． B． C． D．30．（2023上·甘肃白银·高一校考期末）已知，且为第二象限角，则（

）A． B． C． D．31．（2024上·天津和平·高一天津一中校考期末）已知，则（

）.A． B． C．1 D．332．（2023上·全国·高一期末）已知是第四象限角，且，则（

）A． B． C． D．二、多选题33．（2024上·云南大理·高一统考期末）下列说法正确的是（

）A．终边在轴上角的集合是B．若角的终边在第二象限，则角是钝角C．若角是钝角，则角的终边在第二象限D．终边在直线上角的集合是34．（2022上·重庆巫山·高一校考期末）下列命题中正确的是（）A．若角是第三象限角，则可能在第三象限B．C．若且，则为第二象限角D．若角的终边经过点，则35．（2023上·四川成都·高一校联考期末）已知，则下列结论正确的有（

）A． B．C． D．故选：ACD.36．（2023上·全国·高一期末）质点和在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上逆时针作匀速圆周运动，同时出发.的角速度大小为，起点为圆与轴正半轴的交点，的角速度大小为，起点为角的终边与圆的交点，则当与重合时，的坐标可以为（

）A． B．C． D．37．（2023上·黑龙江哈尔滨·高一统考期末）已知，则下列计算正确的是（

）A． B．C． D．三、填空题38．（2024上·安徽淮北·高一校考期末）已知一个扇形的圆心角为2．其周长的值等于面积的值，则扇形的半径．39．（2024上·上海·高一上海南汇中学校考期末）已知角的终边与单位圆的交点为，则．40．（2024上·上海·高一上海中学校考期末）化简：．41．（2024上·黑龙江·高一校联考期末）已知，且，则.42．（2023上·全国·高一期末）已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过函数（且）的定点M.则四、解答题43．（2024上·安徽淮北·高一校考期末）已知．(1)若，求的值；(2)求的值域．44．（2024上·重庆九龙坡·高一统考期末）已知，且是第二象限角．(1)求的值；(2)求的值．45．（2024上·重庆·高一校联考期末）已知.(1)求的值；(2)若，求的值.46．（2024上·吉林长春·高一东北师大附中校考期末）