高考数学（理）一轮复习课时训练第12章概率随机变量及其分布59

【课时训练】第59节古典概型一、选择题1．(2018昆明模拟)小明从某书店购买5本不同的教辅资料，其中语文2本，数学2本，物理1本．若将这5本书随机并排摆放在书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是()A.eq\f(1,5) B．eq\f(2,5)C．eq\f(3,5) D．eq\f(4,5)【答案】B【解析】语文、数学只有一科的两本书相邻，有2Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)＝48种摆放方法；语文、数学两科的两本书都相邻，有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝24种摆放方法；而五本不同的书排成一排总共有Aeq\o\al(5,5)＝120种摆放方法．故所求概率为1－eq\f(48＋24,120)＝eq\f(2,5).故选B.2．(2018湖南常德模拟)某校食堂使用除面值外，大小、手感完全一样的餐票，某同学口袋中有2张一元餐票，3张两元餐票，1张五元餐票，他从口袋中随机摸出2张餐票，则这2张餐票的面值之和不少于4元的概率为()A.eq\f(7,15) B．eq\f(8,15)C．eq\f(3,5) D．eq\f(2,3)【答案】B【解析】该同学从口袋中随机摸出2张餐票，总的基本事件数是Ceq\o\al(2,6)＝15，若这2张餐票的面值之和不少于4元，则这2张餐票为2张两元的或1张两元的、1张五元的或1张一元的、1张五元的，包含的基本事件数为Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,1)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1)＝8，根据古典概型的概率计算公式可知，这2张餐票的面值之和不少于4元的概率为eq\f(8,15).3．(2018江苏常州一模)一袋中装有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从袋中一次性随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为()A.eq\f(3,5) B．eq\f(4,5)C．eq\f(2,3) D．eq\f(5,6)【答案】D【解析】从袋中一次性随机摸出2只球的所有可能情况有Ceq\o\al(2,4)＝6(种)，设“这2只球颜色不同”为事件N，这2只球颜色可能为1白1红，1白1黄，1红1黄，事件N包含的情况Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(1,1)＋Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(1,2)＝5(种)，故这2只球颜色不同的概率P(N)＝eq\f(5,6).4．(2018贵州遵义模拟)从集合A＝{－3，－2，－1,2}中随机选取一个数记为k，从集合B＝{－2,1,2}中随机选取一个数记为b，则直线y＝kx＋b不经过第四象限的概率为()A.eq\f(1,12) B．eq\f(1,6)C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,2)【答案】B【解析】根据题意可知，总的基本事件(k，b)共有4×3＝12个，直线y＝kx＋b不经过第四象限，则k＞0，b＞0，包含的基本事件有(2,1)，(2,2)，共2个，根据古典概型的概率计算公式可知直线y＝kx＋b不经过第四象限的概率P＝eq\f(2,12)＝eq\f(1,6).故选B.5．(2018大同调研)有10件产品，其中有2件次品，每次抽取1件检验，抽检后不放回，共抽2次．事件“抽到1件正品，1件次品”发生的概率是()A.eq\f(32,81) B．eq\f(5,12)C．eq\f(1,2) D．eq\f(16,45)【答案】D【解析】由题意知，这10件产品中有2件次品，8件正品，每次抽取1件，抽检后不放回，共抽2次，共有Aeq\o\al(2,10)＝90种情况，其中事件“抽到1件正品，1件次品”包含的情况有Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,8)Ceq\o\al(1,2)＝32种情况，根据古典概型的概率计算公式知，事件“抽到1件正品，1件次品”发生的概率P＝eq\f(32,90)＝eq\f(16,45).6．(2018郑州质检)已知函数f(x)＝eq\f(1,3)x3＋ax2＋b2x＋1，若a是从1,2,3三个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为()A.eq\f(7,9) B．eq\f(1,3)C．eq\f(5,9) D．eq\f(2,3)【答案】D【解析】对函数f(x)求导可得f′(x)＝x2＋2ax＋b2，要满足题意需x2＋2ax＋b2＝0有两个不等实根，即Δ＝4(a2－b2)＞0，即a＞b.又(a，b)的取法共有9种，其中满足a＞b的有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，共6种，故所求的概率P＝eq\f(6,9)＝eq\f(2,3).7．(2018太原模拟)记连续投掷两次骰子得到的点数分别为m，n，向量a＝(m，n)与向量b＝(1,0)的夹角为α，则α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))的概率为()A.eq\f(5,18) B．eq\f(5,12)C．eq\f(1,2) D．eq\f(7,12)【答案】B【解析】由题意知，向量a＝(m，n)共有6×6＝36(个)，其中满足向量a＝(m，n)与向量b＝(1,0)的夹角α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，即n＜m的(m，n)可根据n的具体取值进行分类计数：第一类，当n＝1时，m有5个不同的取值；第二类，当n＝2时，m有4个不同的取值；第三类，当n＝3时，m有3个不同的取值；第四类，当n＝4时，m有2个不同的取值；第五类，当n＝5时，m有1个取值．因此满足向量a＝(m，n)与向量b＝(1,0)的夹角α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))的(m，n)共有1＋2＋3＋4＋5＝15(个)，所以所求概率为eq\f(15,36)＝eq\f(5,12).8．(2018江西新余模拟)在三行三列的方阵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co3(a11,a12,a13,a21,a22,a23,a31,a32,a33)))中有9个数aij(i＝1,2,3，j＝1,2,3)，从中任取3个数，则这3个数中至少有2个数位于同行或同列的概率是()A.eq\f(3,7) B．eq\f(4,7)C．eq\f(1,14) D．eq\f(13,14)【答案】D【解析】从9个数中任取3个数共有Ceq\o\al(3,9)＝84种不同的取法．若3个数中有2个数位于同行或同列，则有eq\f(C\o\al(1,9)C\o\al(1,4)C\o\al(1,4),A\o\al(2,2))＝72种不同的取法，若3个数均位于同行或同列，则有6种不同的取法．设事件M为“这3个数中至少有2个数位于同行或同列”，则事件M包含的取法共有72＋6＝78(种)，根据古典概型的概率计算公式得P(M)＝eq\f(78,84)＝eq\f(13,14).故选D.二、填空题9．(2018珠海综合测试)高一年级某班有63名学生，现要选一名学生标兵，每名学生被选中是等可能的，若“选出的标兵是女生”的概率是“选出的标兵是男生”的概率的eq\f(10,11)，则这个班的男生人数为________．【答案】33【解析】由题意可设该班的男生人数为x，则女生人数为63－x，因为每名学生被选中是等可能的，根据古典概型的概率计算公式知，“选出的标兵是女生”的概率是eq\f(63－x,63)，“选出的标兵是男生”的概率是eq\f(x,63)，故eq\f(63－x,63)＝eq\f(10,11)×eq\f(x,63)，解得x＝33，故这个班的男生人数为33.10．(2018合肥质检)为了庆祝五四青年节，某书店制作了3种不同的精美卡片，每本书中随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现某人购买了5本书，则其获奖的概率为________．【答案】eq\f(50,81)【解析】“获奖”即每种卡片至少一张，而5＝1＋1＋3＝1＋2＋2，有3种卡片，购买5本书，基本事件总数为35，故所求概率为eq\f(3C\o\al(1,5)C\o\al(1,4)C\o\al(3,3)＋3C\o\al(1,5)C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),35)＝eq\f(50,81).三、解答题11．(2018郑州质量预测)在一个不透明的箱子里装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1,2,3,4,5.甲先从箱子中摸出一个小球，记下球上所标数字后，再将该小球放回箱子中摇匀后，乙从该箱子中摸出一个小球．(1)若甲、乙两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜(若数字相同则为平局)，求甲获胜的概率；(2)若规定：两人摸到的球上所标数字之和小于6，则甲获胜，否则乙获胜，这样规定公平吗？【解】用(x，y)(x表示甲摸到的数字，y表示乙摸到的数字)表示甲、乙各摸一球构成的基本事件，则基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共25个．(1)设甲获胜的事件为A，则事件A包含的基本事件有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5