广东省中山市2020-2021学年高一下学期期末考试统一考试数学试卷

20202021学年广东省中山市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量，，，则（）A.2 B.3 C.7 D.82．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c＝2acosB，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．等腰三角形C．等腰或直角三角形D．直角三角形3．某水平放置的△OAB用斜二测画法得到如图所示的直观图△O'A'B'，若O'B'＝A'B'，则△OAB中（）A．∠OBA＝90° B．OB＝BA C．OB＝OA D．OB＞OA4．上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1），充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系．图2为骨笛测量春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图．图3是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角．由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如表：黄赤交角23°41′23°57′24°13′24°28′24°44′正切值0.4390.4440.4500.4550.461年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是（）A．公元前2000年到公元元年 B．公元前4000年到公元前2000年 C．公元前6000年到公元前4000年 D．早于公元前6000年5．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β B．若m∥n，n⊂β，则m∥β C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β D．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β6．2020年4月21日，习近平总书记在学校考察调研时提出“文明其精神，野蛮其体魄”，“野蛮其体魄”就是强身健体．青少年的体质状况不仅关乎个人成长和家庭幸福，也关乎国家未来和民族希望，为落实《国家学生体质健康标准》达标测试工作，全面提升学生的体质健康水平，某校在高二年级随机抽取部分男生，测试立定跳远项目，依据测试数据绘制了如图所示的频率分布直方图．已知立定跳远200cm以上成绩为及格，255cm以上成绩为优秀，根据图中的样本数据估计该校高二年级男生立定跳远项目的及格率和优秀率分别是（）A．72.5%，5% B．78.75%，10% C．72.5%，10% D．78.75%，5%7．气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续5天的日平均温度均不低于22℃”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数，单位：℃）：①甲地：5个数据的中位数为24，极差不超过2；②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据中有1个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8．其中肯定进入夏季的地区有（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③8．正多面体各个面都是全等的正多边形，其中，面数最少的是正四面体，面数最多的是正二十面体，它们被称为柏拉图多面体（PlatonicSolids）．某些病毒，如疱疹病毒就拥有正二十面体的外壳．正二十面体是由20个等边三角形所组成的正多面体．已知多面体满足：顶点数﹣棱数+面数＝2，则正二十面体的顶点的个数为（）A．30 B．20 C．12 D．10二、选择题：本大题共4小题，每小题5分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.对于任意非零向量，，，下列命题正确的是（）A.若，，则 B.若，则C.若，，则D.若，则10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（a+b）：（a+c）：（b+c）＝9：10：11，则下列结论正确的是（）A．sinA：sinB：sinC＝4：5：6 B．△ABC是钝角三角形 C．△ABC的最大内角是最小内角的2倍 D．若c＝6，则△ABC外接圆半径为11．为了解中学生课外阅读情况，现从某中学随机抽取200名学生，收集了他们一年内的课外阅读量（单位：本）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分．阅读量人数学生类别[0，10）[10，20）[20，30）[30，40）[40，+∞）性别男73125304女82926328学段初中25364411高中下面推断合理的是（）A．这200名学生阅读量的平均数可能是26本 B．这200名学生阅读量的75%分位数在区间[30，40）内 C．这200名学生中的初中生阅读量的中位数一定在区间[20，30）内 D．这200名学生中的初中生阅读量的25%分位数可能在区间[20，30）内12．蜂巢是由工蜂分泌蜂蜡建成的．从正面看，蜂巢口是由许多正六边形的中空柱状体连接而成，中空柱状体的底部是由三个全等的菱形面构成，菱形的一个角度是109°28'，这样的设计含有深刻的数学原理．我国著名数学家华罗庚曾专门研究蜂巢的结构，著有《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》，用数学的眼光去看蜂巢的结构，如图1．在正六棱柱ABCDEF﹣A'B'C'D'E'的三个顶点A，C，E处分别用平面BFM，平面BDO，平面DFN截掉三个相等的三棱锥M﹣ABF，O﹣BCD，N﹣DEF，平面BFM，平面BDO，平面DFN交于点P，就形成了蜂巢的结构．如图2，设平面PBOD与正六边形底面所成的二面角的大小为θ，则下列结论正确的有（）A．异面直线DO与FP所成角的大小为109°28' B．BF＜MN C．B，M，N，D四点共面 D．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.13.将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后函数图象的解析式为______；平移后的图象中与轴最近的对称轴的方程是______.（本题第一空2分，第二空3分）14．新冠肺炎疫情期间，为确保“停课不停学”，各校精心组织了线上教学活动．开学后，某校采用分层抽样的方法从三个年级的学生中抽取一个容量为150的样本进行关于线上教学实施情况的问卷调查．已知该校高一年级共有学生660人，高三年级共有540人，抽取的样本中高二年级有50人，则该校高二学生总数是．15．若，则cosα+sinα＝．16．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD＝1，点M，N分别是边AD，BC的中点，延长BA和CD交NM的延长线于不同的两点P，Q，则的值为．四、解答题：本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．某化肥厂甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30分钟抽取一包产品，称其重量，分别记录抽查数据如下：甲：102，101，99，98，103，98，99乙：110，115，90，85，75，115，110（1）这种抽样方法是哪一种？（2）估计甲、乙两个车间产品的平均数与方差，并说明哪个车间产品较稳定？18．空间四边形PABC中，PA，PB、PC两两相互垂直，∠PBA＝45°，∠PBC＝60°，M为AB的中点．（1）求BC与平面PAB所成的角；（2）求证：AB⊥平面PMC．19.已知，，，.（1）求的值；（2）求的值.20.已知中，，，所对的边分别为，，且.（1）判断△ABC的形状，并求sinA+sinB的取值范围；（2）如图，三角形ABC的顶点A、C分别在l1、l2上运动，AC＝2，BC＝1，若直线l1⊥直线l2，且相交于点O，求O，B间距离的取值范围．21．2021年广东省高考实行“3+1+2”模式．“3+1+2”模式是指：“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有学生必考；“1”为首选科目，考生须在高中学业水平考试的物理、历史科目中选择1科；“2”为再选科目，考生可在化学、生物、政治、地理4个科目中选择2科，共计6个考试科目．并规定：化学、生物、政治、地理4个选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A，B+，B，C+，C，D+，D，E八个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%，7%，16%，24%，24%，16%，7%，3%．选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[91，100]，[81，90]，[71，80]，[61，70]，[51，60]，[41，50]，[31，40]，[21，30]八个分数区间，得到考生的等级成绩．假设小明转换后的等级成绩为x分，则，所以x＝63.45≈63（四舍五入取整），小明最终成绩为63分．某校2019级学生共1000人，以期末考试成绩为原始成绩转换了本校的等级成绩，为学生合理选科提供依据，其中化学成绩获得等级A的学生原始成绩统计如表：成绩93919088878685848382人数1142433327（1）求化学获得等级A的学生等级成绩的平均分（四舍五入取整数）；（2）从化学原始成绩不小于90分的学生中任取2名同学，求2名同学等级成绩不相等的概率．22．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点G在棱D1C1上，且，点E、F、M分别是棱AA1、AB、BC的中点，P为线段B1D上一点，AB＝4．（Ⅰ）若平面EFP交平面DCC1D1于直线l，求证：l∥A1B；（Ⅱ）若直线B1D⊥平面EFP．（i）求三棱锥B1﹣EFP的表面积；（ii）试作出平面EGM与正方体ABCD﹣A1B1C1D1各个面的交线，并写出作图步骤，保留作图痕迹．设平面EGM与棱A1D1交于点Q，求三棱锥Q﹣EFP的体积．参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．已知向量＝（2，1），＝（3，t），||＝1，则•＝（）A．2 B．3 C．7 D．8解：因为＝﹣＝（1，t﹣1）；∵||＝1，∴12+（t﹣1）2＝12⇒t＝0；∴＝（3，1），∴•＝2×3+1×1＝7；故选：C．2．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c＝2acosB，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．等腰或直角三角形 D．直角三角形解：由正弦定理可得sin（A+B）＝2sinAcosB，由两角和的正弦公式可得：sinAcosB+cosAsinB＝2sinAcosB，∴sin（A﹣B）＝0，又﹣π＜A﹣B＜π，∴A﹣B＝0，故△ABC的形状为等腰三角形，故选：B．3．某水平放置的△OAB用斜二测画法得到如图所示的直观图△O'A'B'，若O'B'＝A'B'，则△OAB中（）A．∠OBA＝90° B．OB＝BA C．OB＝OA D．OB＞OA解：因为∠B'O'A'＝45°，所以∠BOA＝90°，则∠OBA≠90°，故选项A错误；设O'B'＝A'B'＝x，则O'A'＝，还原后，OB＝2x，∠BOA＝90°，OA＝，所以AB＝，所以OB＞OA，故选项C错误，选项D正确．故选：D．4．上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1），充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系．图2为骨笛测量春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图．图3是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角．由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如表：黄赤交角23°41′23°57′24°13′24°28′24°44′正切值0.4390.4440.4500.4550.461年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是（）A．公元前2000年到公元元年 B．公元前4000年到公元前2000年 C．公元前6000年到公元前4000年 D．早于公元前6000年解：由题意，可设冬至日光与垂直线夹角为α，春秋分日光与垂直线夹角为β，则α﹣β即为冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角，将图3近似画出如下平面几何图形：则tanα＝＝1.6，tanβ＝＝0.66，tan（α﹣β）＝＝≈0.457．∵0.455＜0.457＜0.461，∴估计该骨笛的大致年代早于公元前6000年．故选：D．5．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β B．若m∥n，n⊂β，则m∥β C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β D．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β解：对于A：由于m⊥α，故直线m相当于平面α的法向量，由于m∥n，所以n⊥α，由于n∥β，则α⊥β，故A正确；对于B：由于m∥n，n⊂β，则m∥β或m⊂β，故B错误；对于C：当m⊥n，m⊂α，n⊂β，则可能α∥β，故C错误；对于D：m⊂α，n⊂α，当m和n为相交直线时，m∥β，n∥β，则α∥β，故D错误；故选：A．6．2020年4月21日，习近平总书记在学校考察调研时提出“文明其精神，野蛮其体魄”，“野蛮其体魄”就是强身健体．青少年的体质状况不仅关乎个人成长和家庭幸福，也关乎国家未来和民族希望，为落实《国家学生体质健康标准》达标测试工作，全面提升学生的体质健康水平，某校在高二年级随机抽取部分男生，测试立定跳远项目，依据测试数据绘制了如图所示的频率分布直方图．已知立定跳远200cm以上成绩为及格，255cm以上成绩为优秀，根据图中的样本数据估计该校高二年级男生立定跳远项目的及格率和优秀率分别是（）A．72.5%，5% B．78.75%，10% C．72.5%，10% D．78.75%，5%解：立定跳远200cm以上成绩为及格，255cm以上成绩为优秀，由频率分布直方图得立定跳远200cm以上的频率为：1﹣（0.00750×20+0.01250××20）＝0.7875，由频率分布直方图得立定跳远255cm以上的频率为：0.00500×20＝0.1，∴根据图中的样本数据估计该校高二年级男生立定跳远项目的及格率和优秀率分别是78.75%和10%．故选：B．7．气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续5天的日平均温度均不低于22℃”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数，单位：℃）：①甲地：5个数据的中位数为24，极差不超过2；②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据中有1个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8．其中肯定进入夏季的地区有（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③解：对于甲地，由于5个数据的中位数为24，若有低于22，假设取21，此时极差超过2，故假设不成立，甲地连续5天的日平均温度均不低于22℃，故甲地肯定进入夏季，故①正确，对于乙地，5个数据的中位数为27，总体均值为24，当5个数据为19，20，27，27，27时，可得其连续5天的日平均气温有低于22，故乙地不一定进入夏季，故②错误，对于丙地，5个数据中有1个数据是32，总体均值为26，若有低于22，假设取21，此时＞10.8，故假设不成立，丙地连续5天的日平均温度均不低于22℃，丙地肯定进入夏季，故③正确，综上所述，正确的为①③．故选：B．8．正多面体各个面都是全等的正多边形，其中，面数最少的是正四面体，面数最多的是正二十面体，它们被称为柏拉图多面体（PlatonicSolids）．某些病毒，如疱疹病毒就拥有正二十面体的外壳．正二十面体是由20个等边三角形所组成的正多面体．已知多面体满足：顶点数﹣棱数+面数＝2，则正二十面体的顶点的个数为（）A．30 B．20 C．12 D．10解：解法一、设正二十面体共有n个顶点，且每个顶点处都有5条棱，有20个面，根据“顶点数﹣棱数+面数＝2”，列方程得n﹣n+20＝2，解得n＝12，即正二十面体的顶点个数为12．解法二、由20个三角形，每个三角形有3条边，每条边被用了两次，所以正二十边形共有棱数为20×3÷2＝30（条），根据欧拉公式“顶点数﹣棱数+面数＝2”，得正二十面体的顶点个数为2+30﹣20＝12．故选：C．二、选择题：本大题共4小题，每小题5分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．对于任意非零向量，，，下列命题正确的是（）A．若，，则 B．若•＝•，则 C．若，，则 D．若|﹣|＝|+|，则•＝0解：对于A选项：因为为非零向量，则∥成立，故A正确；对于B选项：若•＝•，则或⊥（），故B错误；对于C选项：若，，则，故C正确；对于D选项：若|﹣|＝|+|，即有||²+||²﹣2＝||²+||²+2，故有＝0，故D正确；故选：ACD．10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（a+b）：（a+c）：（b+c）＝9：10：11，则下列结论正确的是（）A．sinA：sinB：sinC＝4：5：6 B．△ABC是钝角三角形 C．△ABC的最大内角是最小内角的2倍 D．若c＝6，则△ABC外接圆半径为解：（a+b）：（a+c）：（b+c）＝9：10：11，可设a+b＝9t，a+c＝10t，b+c＝11t，解得a＝4t，b＝5t，c＝6t，t＞0，可得sinA：sinB：sinC＝a：b：c＝4：5：6，故A正确；由c为最大边，可得cosC＝＝＝＞0，即C为锐角，故B错误；由cosA＝＝＝，由cos2A＝2cos2A﹣1＝2×﹣1＝＝cosC，由2A，C∈（0，π），可得2A＝C，故C正确；若c＝6，可得2R＝＝＝，△ABC外接圆半径为，故D正确．故选：ACD．11．为了解中学生课外阅读情况，现从某中学随机抽取200名学生，收集了他们一年内的课外阅读量（单位：本）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分．阅读量人数学生类别[0，10）[10，20）[20，30）[30，40）[40，+∞）性别男73125304女82926328学段初中25364411高中下面推断合理的是（）A．这200名学生阅读量的平均数可能是26本 B．这200名学生阅读量的75%分位数在区间[30，40）内 C．这200名学生中的初中生阅读量的中位数一定在区间[20，30）内 D．这200名学生中的初中生阅读量的25%分位数可能在区间[20，30）内解：由图表知，男生共7+31+25+30+4＝97人，女生共103人，这200名学生阅读量的平均数为20.5×+25.5×＝23.075，故A错，∵200×75%＝150，∴这200名学生阅读量的75%分位数是从小到大排序后的第150与第151个数的平均值，由表格知第150与第151个数都在区间[30，40）内，故B对，阅读量在区间[0，10）内共有15人，若初中生阅读量在区间[0，10）内共有0人，则其中位数在区间[20，30）内，若初中生阅读量在区间[0，10）内共有15人，则其中位数在区间[20，30）内，故这200名学生中的初中生阅读量的中位数一定在区间[20，30）内，故C对，当初中生阅读量在区间[0，10）内共有0人时，（25+36+44+11）×25%＝29，故这200名学生中的初中生阅读量的25%分位数是从小到大排序后的第29与第30个数的平均值，在区间[20，30）内，故D对，故选：BCD．12．蜂巢是由工蜂分泌蜂蜡建成的．从正面看，蜂巢口是由许多正六边形的中空柱状体连接而成，中空柱状体的底部是由三个全等的菱形面构成，菱形的一个角度是109°28'，这样的设计含有深刻的数学原理．我国著名数学家华罗庚曾专门研究蜂巢的结构，著有《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》，用数学的眼光去看蜂巢的结构，如图1．在正六棱柱ABCDEF﹣A'B'C'D'E'的三个顶点A，C，E处分别用平面BFM，平面BDO，平面DFN截掉三个相等的三棱锥M﹣ABF，O﹣BCD，N﹣DEF，平面BFM，平面BDO，平面DFN交于点P，就形成了蜂巢的结构．如图2，设平面PBOD与正六边形底面所成的二面角的大小为θ，则下列结论正确的有（）A．异面直线DO与FP所成角的大小为109°28' B．BF＜MN C．B，M，N，D四点共面 D．cosθ＝tan54°44'解：A选项，异面直线所成角的范围为（0°，90°]，故A不正确．B选项，由△BDF与△MON都是边长为的等边三角形，∴BF＝MN，因此B不正确；C选项，因为BD＝NM，且BD∥NM，所以四边形BMND是平行四边形，因此B，M，N，D四点共面，正确；D：利用第二个图：取BF的中点P，连接PA，PM，则∠MPA＝θ，不妨取AB＝2，在等腰三角形ABF中，∠BAF＝120°，则PB＝，PA＝1．在这直角三角形PMB中，PM＝．∴cosθ＝＝tan54°44′，正确．故选：CD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.13．将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后函数图象的解析式为y＝3sin（2x﹣）；平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是x＝﹣．解：将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后函数图象的解析式为y＝3sin（2x﹣+）＝3sin（2x﹣）．令2x﹣＝kπ+，求得x＝+，k∈Z．令k＝﹣1，可得平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程为x＝﹣，故答案为：y＝3sin（2x﹣）；x＝﹣．14．新冠肺炎疫情期间，为确保“停课不停学”，各校精心组织了线上教学活动．开学后，某校采用分层抽样的方法从三个年级的学生中抽取一个容量为150的样本进行关于线上教学实施情况的问卷调查．已知该校高一年级共有学生660人，高三年级共有540人，抽取的样本中高二年级有50人，则该校高二学生总数是600．解：高一、高三年级共有660+540＝1200人，设高二年级有x人，则，解得x＝600；故答案为：600．15．若，则cosα+sinα＝．解：由公式cos2α＝cos2α﹣sin2α，及等式，代入＝＝，则cosα+sinα＝．故答案应填．16．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD＝1，点M，N分别是边AD，BC的中点，延长BA和CD交NM的延长线于不同的两点P，Q，则的值为0．解：设∠ABC＝α，BC＝a，∠BCD＝β，则A（cosα，sinα），B（0，0），C（a，0），D（a﹣cosβ，sinβ），∴M（，），N（，0），∴＝（，），＝（﹣cosα，﹣sinα），＝（cosβ，﹣sinβ），∴＝（﹣cosα﹣cosβ，﹣sinα+sinβ），∴＝﹣（cos2α﹣cos2β）+（sin2β﹣sin2α）＝﹣（cos2α+sin2α）+（cos2β+sin2β）＝0，又∥，∴＝0，故答案为：0．四、解答题：本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．某化肥厂甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30分钟抽取一包产品，称其重量，分别记录抽查数据如下：甲：102，101，99，98，103，98，99乙：110，115，90，85，75，115，110（1）这种抽样方法是哪一种？（2）估计甲、乙两个车间产品的平均数与方差，并说明哪个车间产品较稳定？解：（1）由题意知这个抽样是在自动包装传送带上每隔30分钟抽取一包产品，是一个具有相同间隔的抽样，并且总体的个数比较多，这是一个系统抽样；（2）＝100，＝100；，，s2甲＜s2乙∴甲车间产品较稳定．18．空间四边形PABC中，PA，PB、PC两两相互垂直，∠PBA＝45°，∠PBC＝60°，M为AB的中点．（1）求BC与平面PAB所成的角；（2）求证：AB⊥平面PMC．解：（1）∵PC⊥PA，PC⊥PB，∴PC⊥平面PAB，∴BC在平面PBC上的射影是BP．∴∠CBP是CB与平面PAB所成的角，∵∠PBC＝60°，∴BC与平面PBA的角为60°．证明：（2）∵PA⊥PB，∠PBA＝45°，∴PA＝PB，∵PC⊥PA，PC⊥PB，PA＝PB，PC＝PC，∴△PAC≌△PBC，∴AB＝AC，∵M为AB的中点．∴PM⊥AB，CM⊥AB，∵PM∩CM＝M，∴AB⊥平面PMC．19．已知α∈（0，），β∈（，π），cosβ＝﹣，sin（α+β）＝．（1）求tan的值；（2）求sinα的值．解：（1）∵，且，∴，解得，∵，∴，∴，∴．（2）∵，，∴，又，故，∴，∴sinα＝sin[（α+β）﹣β]＝sin（α+β）cosβ﹣cos（α+β）sinβ＝．20．已知△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且2＝•+•+•．（1）判断△ABC的形状，并求sinA+sinB的取值范围；（2）如图，三角形ABC的顶点A、C分别在l1、l2上运动，AC＝2，BC＝1，若直线l1⊥直线l2，且相交于点O，求O，B间距离的取值范围．解：（1）∵，∴c2＝c•bcosA+c•acosB+b•acosC，∴，∴c2＝a2+b2，∴为直角三角形，∴sinA+sinB＝，∵，∴，∴，∴sinA+sinB∈（1，]；（2）简解：不妨设，B（x，y），则x＝2cosθ+sinθ，y＝cosθ，∴，∴．21．2021年广东省高考实行“3+1+2”模式．“3+1+2”模式是指：“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有学生必考；“1”为首选科目，考生须在高中学业水平考试的物理、历史科目中选择1科；“2”为再选科目，考生可在化学、生物、政治、地理4个科目中选择2科，共计6个考试科目．并规定：化学、生物、政治、地理4个选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A，B+，B，C+，C，D+，D，E八个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%，7%，16%，24%，24%，16%，7%，3%．选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[91，100]，[81，90]，[71，80]，[61，70]，[51，60]，[41，50]，[31，40]，[21，30]八个分数区间，得到考生的等级成绩．假设小明转换后的等级成绩为x