河南鲁山县第一高级中学2020-2021学年高二上学期10月月考数学试卷

鲁山一高高二年级10月月考数学试题一、选择题(每小题5分，共60分)1.如图，棱长为2的正方体QUOTE中，QUOTE是棱QUOTE的中点，点QUOTE在侧面QUOTE内，若QUOTE，则QUOTE的面积的最小值为（

）A.

QUOTE

B.

QUOTE

C.

QUOTE

D.

12.已知四棱锥QUOTE的所有顶点都在同一球面上，底面QUOTE是正方形且和球心QUOTE在同一平面内，若此四棱锥的最大体积为QUOTE，则球QUOTE的表面积等于（

）A.

QUOTE

B.

QUOTE

C.

QUOTE

D.

QUOTE3.三棱锥QUOTE中，QUOTE平面QUOTE，QUOTE，QUOTE的面积为2，则三棱锥QUOTE的外接球体积的最小值为(

)A.

QUOTE

B.

QUOTE

C.

QUOTE

D.

QUOTE4.在长方体QUOTE中，QUOTE，QUOTE，QUOTE，P，Q分别为棱QUOTE，QUOTE的中点.则从点QUOTE出发，沿长方体表面到达点Q的最短路径的长度为（）A.

QUOTE

B.

QUOTE

C.

QUOTE

D.

QUOTE5.设球的半径为时间t的函数R（t）．若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径（

）A.

成正比，比例系数为C

B.

成正比，比例系数为2C

C.

成反比，比例系数为C

D.

成反比，比例系数为2C6.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（

）A.

2+

B.

C.

D.

1+7.底面为正方形的四棱锥S﹣ABCD，且SD⊥平面ABCD，SD=QUOTE，AB=1，线段SB上一M点满足QUOTE=QUOTE，N为线段CD的中点，P为四棱锥S﹣ABCD表面上一点，且DM⊥PN，则点P形成的轨迹的长度为（

）A.

QUOTE

B.

QUOTE

C.

QUOTE

D.

2QUOTE8.如图，已知QUOTE是顶角为QUOTE的等腰三角形，且QUOTE，点QUOTE是QUOTE的中点.将QUOTE沿QUOTE折起，使得QUOTE，则此时直线QUOTE与平面QUOTE所成角的正弦值为（

）A.

QUOTE

B.

QUOTE

C.

QUOTE

D.

QUOTE9.如图，正方体QUOTE的棱长为1，QUOTE分别是棱QUOTE的中点，过QUOTE的平面与棱QUOTE分别交于点QUOTE.设QUOTE，QUOTE．①四边形QUOTE一定是菱形；②QUOTE平面QUOTE；③四边形QUOTE的面积QUOTE在区间QUOTE上具有单调性；④四棱锥QUOTE的体积为定值.以上结论正确的个数是（

）A.

4

B.

3

C.

2

D.

110.用斜二测画法画如图所示的直角三角形的水平放置图，正确的是（

）A.

B.

C.

D.

11.空间四边形ABCD中，E、F分别为AC、BD中点，若QUOTE，EF⊥AB，则EF与CD所成的角为(

)A.

30°

B.

45°

C.

60°

D.

90°12.在三棱锥QUOTE中，QUOTE平面QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE是边QUOTE上的一动点，且直线QUOTE与平面QUOTE所成角的最大值为QUOTE，则三棱锥QUOTE的外接球的表面积为（

）A.

QUOTE

B.

QUOTE

C.

QUOTE

D.

QUOTE二、填空题（共16分）13.如下图，将圆柱的侧面沿母线QUOTE展开，得到一个长为QUOTE，宽QUOTE为4的矩形，由点A拉一根细绳绕圆柱侧面两周到达QUOTE，线长的最小值为________（线粗忽略不计）14.如图，在棱长为2的正方体QUOTE中，QUOTE、QUOTE分别为棱QUOTE、QUOTE的中点，QUOTE是线段QUOTE上的点，且QUOTE，若QUOTE、QUOTE分别为线段QUOTE、QUOTE上的动点，则QUOTE的最小值为________．15.如图，已知正方体QUOTE的棱长为QUOTE，点QUOTE为线段QUOTE上一点，QUOTE是平面QUOTE上一点，则QUOTE的最小值是________．16.三棱锥QUOTE中，QUOTE平面ABC，QUOTE，QUOTE，QUOTE，则该三棱锥外接球的表面积为________．三、解答题（共6题；共70分）17.已知梯形QUOTE中，QUOTE，QUOTE，G是QUOTE的中点.QUOTE，E、F分别是QUOTE、QUOTE上的动点，且QUOTE，设QUOTE（QUOTE），沿QUOTE将梯形QUOTE翻折，使平面QUOTE平面QUOTE，如图.（1）当QUOTE时，求证：QUOTE；（2）若以B、C、D、F为顶点的三棱锥的体积记为QUOTE，求QUOTE的最大值；（3）当QUOTE取得最大值时，求二面角QUOTE的余弦值.18.在底面是正方形的四棱锥QUOTE中,QUOTE,QUOTE,点QUOTE在QUOTE上,且QUOTE.（Ⅰ）求证:QUOTE平面QUOTE;（Ⅱ）求二面角QUOTE的余弦值.19.如图，在四棱锥QUOTE中，平面QUOTE

QUOTE平面QUOTE，底面QUOTE是边长为2的正方形，且QUOTE，QUOTE.（Ⅰ）证明：QUOTE；（Ⅱ）求平面QUOTE与平面QUOTE所成二面角的正弦值.20.如图，在三棱柱QUOTE中，QUOTE，平面QUOTE平面QUOTE.（1）求证：QUOTE；（2）若QUOTE，求QUOTE.21.如图所示1，已知四边形ABCD满足QUOTE，QUOTE，E是BC的中点.将QUOTE沿着AE翻折成QUOTE，使平面QUOTE平面AECD，F为CD的中点，如图所示2.（1）求证：QUOTE平面QUOTE；（2）求AE到平面QUOTE的距离.22.如图，四棱锥QUOTE的底面QUOTE是平行四边形，侧面QUOTE是边长为2的正三角形，QUOTE,QUOTE.

（Ⅰ）求证：平面QUOTE平面QUOTE；

（Ⅱ）设QUOTE是棱QUOTE上的点，当QUOTE平面QUOTE时，求二面角QUOTE的余弦值.

数学试题答案一、单选题1.A2.【答案】B3.【答案】C4.【答案】B5.【答案】D6.【答案】A7.【答案】B8.【答案】A9.【答案】B10.【答案】B11.【答案】A12.【答案】B二、填空题13.2QUOTE14.QUOTE15.QUOTE16.三、解答题17.（1）解：如图所示：QUOTE于H，连接QUOTE，平面QUOTE平面QUOTE，QUOTE，故QUOTE平面QUOTE，QUOTE平面QUOTE，故QUOTE，易知QUOTE为正方形，故QUOTE，QUOTE，故QUOTE平面QUOTE，QUOTE平面QUOTE，故QUOTE.

（2）解：QUOTE，故QUOTE.

（3）解：如图所示：以QUOTE为QUOTE轴建立空间直角坐标系，则QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，易知平面QUOTE的一个法向量为QUOTE，设平面QUOTE的一个法向量为QUOTE，则QUOTE，即QUOTE，取QUOTE，得到QUOTE，故QUOTE，观察知二面角QUOTE的平面角为钝角，故余弦值为QUOTE.18.解：（Ⅰ）正方形ABCD边长为1,PA=1,QUOTE，所以QUOTE，即QUOTE，根据直线和平面垂直的判定定理，有QUOTE平面QUOTE.（Ⅱ）如图，以A为坐标原点，直线QUOTE分别x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.则QUOTE，由(1)知QUOTE为平面ACD的法向量,QUOTE，设平面ACE的法向量为QUOTE，则QUOTE令QUOTE,则QUOTE,设二面角QUOTE的平面角为QUOTE,则QUOTE=QUOTE，又有图可知，QUOTE为锐角，故所求二面角的余弦值为QUOTE19.解：（Ⅰ）证明：（Ⅰ）因为平面QUOTE面QUOTE，平面QUOTE平面QUOTE，QUOTE,QUOTE平面QUOTE,所以QUOTE平面QUOTE又QUOTE平面QUOTE，所以QUOTE又QUOTE，QUOTE，所以QUOTE面QUOTE又QUOTE面QUOTE，所以平面QUOTE平面QUOTE（Ⅱ）取DC的中点O，连接MO，由DM＝MC得MO⊥DC。又MO⊥BC，所以MO⊥平面ABCD，如图建立空间直角坐标系则M（0，0，1），A（2，1，0），B（2，1，0）QUOTE,QUOTE.设QUOTE是平面MAB的一个法向量则QUOTE即QUOTE可取QUOTE，QUOTE是平面MCD的一个法向量QUOTE

平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值是QUOTE20.（1）证明：因为平面AA1C1C⊥平面ABC，交线为AC，又BC⊥AC，所以BC⊥平面AA1C1C，因为C1C平面AA1C1C，从而有BC⊥C1C．

因为∠A1CC1＝90°，所以A1C⊥C1C，又因为BC∩A1C＝C，所以C1C⊥平面A1BC，A1BQUOTE平面A1BC，所以CC1⊥A1B．

（2）解：如图，以C为坐标原点，分别以QUOTE的方向为x轴，y轴的正方向建立空间直角坐标系Cxyz．由∠A1CC1＝90°，AC＝QUOTEAA1得A1C＝AA1．不妨设BC＝AC＝QUOTEAA1＝2，则B(2，0，0)，C1(0，－1，1)，A(0，2，0)，A1(0，1，1)，所以QUOTE＝(0，－2，0)，QUOTE＝(－2，－1，1)，QUOTE＝(2，－2，0)，设平面A1BC1的一个法向量为QUOTE，由QUOTE·QUOTE＝0，QUOTE·QUOTE＝0，可取QUOTE＝(1，0，2)．设平面ABC1的一个法向量为QUOTE，由QUOTE·QUOTE＝0，QUOTE·QUOTE＝0，可取QUOTE＝(1，1，3)．cosáQUOTE，QUOTEñ＝QUOTE＝QUOTE，又因为二面角A1BC1A为锐二面角，所以二面角A1BC1A的余弦值为QUOTE21.（1）证明：如图，连接QUOTE，取QUOTE的中点QUOTE,连接QUOTE,在四边形ABCD中，由QUOTE，QUOTE，E是BC的中点，易得四边形QUOTE、四边形QUOTE均为平行四边形，可得QUOTE,QUOTE均为等边三角形，在等边QUOTE中，F为CD的中点，可得QUOTE,且QUOTE,故QUOTE,在等边QUOTE,QUOTE为QUOTE的中点，故QUOTE,又平面QUOTE平面AECD，平面QUOTE平面QUOTE,且QUOTE平面QUOTE，故可得：QUOTE平面AECD，故：QUOTE,由QUOTE，QUOTE，QUOTE平面QUOTE，QUOTEQUOTE平面QUOTE，故：QUOTE平面QUOTE

（2）解：如图，连接QUOTE,取QUOTE的中点QUOTE点，连接QUOTE,由（1）得：QUOTE平面AECD，故QUOTE,且易得四边形QUOTE为平行四边形，QUOTE，由QUOTE,可得QUOTE,由QUOTE,且QUOTE平面QUOTE,QUOTE平面QUOTE,可得QUOTE平面QUOTE，QUOTE,易得QUOTE，且QUOTE点为QUOTE的中点，故QUOTE,又QUOTE,且QU