高中数学北师大版必修二课时分层作业2-2-2圆的一般方程

课时分层作业二十三圆的一般方程一、选择题(每小题5分，共30分)1.(2018·万州高二检测)与圆x2+y24x+6y+3=0同圆心，且过点(1，1)的圆的方程是 ()A.x2+y24x+6y8=0B.x2+y24x+6y+8=0C.x2+y2+4x6y8=0D.x2+y2+4x6y+8=0【解析】选B.由已知，可设所求圆的一般方程为x2+y24x+6y+F=0，将点(1，1)代入得F=8，所以圆的一般方程为x2+y24x+6y+8=0.2.x2+y2+3xy1=0的圆心坐标，半径分别为 ()A.(3，1)，1 B.QUOTE，QUOTE，QUOTEC.QUOTE，QUOTE，QUOTE D.QUOTE，QUOTE，QUOTE【解析】选C.x2+y2+3xy1=0可化为x+QUOTE2+yQUOTE2=QUOTE.3.圆x2+y22x+6y+8=0的面积为 ()A.8π B.4π C.2π D.π【解析】选C.圆的标准方程为(x1)2+(y+3)2=2，所以半径为QUOTE，面积为2π.4.方程x2+y2+ax+by+c=0表示圆心为C(2，2)，半径为2的圆，则a，b，c的值依次为 ()A.2，2，2 B.2，4，4C.4，4，4 D.4，4，4【解析】选D.圆心为C(2，2)，半径为2的圆的标准方程为(x2)2+(y2)2=4，展开得x2+y24x4y+4=0，所以a=4，b=4，c=4.5.已知两点A(2，0)，B(0，2)，点C是圆x2+y22x=0上任意一点，则△ABC的面积最小值是 ()A.3QUOTE B.3+QUOTEC.3QUOTE D.QUOTE【解析】选A.直线AB的方程为xy+2=0，圆心到直线AB的距离为d=QUOTE=QUOTE，所以，C到直线AB的最小距离为QUOTE1，S△ABC的最小值为QUOTE×|AB|×QUOTE1=QUOTE×2QUOTE×QUOTE1=3QUOTE.6.如果过A(2，1)的直线l将圆x2+y22x4y=0平分，则l的方程为 ()A.x+y3=0 B.x+2y4=0C.xy1=0 D.x2y=0【解析】选A.由题意知直线l过圆心(1，2)，由两点式可得直线的方程为x+y3=0.二、填空题(每小题5分，共10分)7.圆C：x2+y22x4y+4=0的圆心到直线3x+4y+4=0的距离d=_________.

【解析】因为圆心(1，2)，所以d=QUOTE=3.答案：38.(2018·沭阳高二检测)已知圆的方程为x2+y22x2y=0，则其半径为_________.

【解析】圆的标准方程为(x1)2+(y1)2=2，其半径为QUOTE.答案：QUOTE三、解答题(每小题10分，共20分)9.圆心在直线y=x上，且过点A(1，1)，B(3，1)，求圆的一般方程.【解析】设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，由题意得QUOTE解得D=E=4，F=2，故所求圆的一般方程是x2+y24x4y2=0.10.(2018·天津高二检测)已知圆C：x2+y2+2x2y2=0和直线l：3x+4y+14=0.(1)求圆C的圆心坐标及半径.(2)求圆C上的点到直线l距离的最大值.【解析】(1)圆的方程化为(x+1)2+(y1)2=4，所以圆心C的坐标为(1，1)，半径r=2.(2)圆心C到直线l的距离d=QUOTE=3，所以圆C上的点到直线l距离的最大值为d+r=5.一、选择题(每小题5分，共25分)1.圆C的方程为(x1)(x+2)+(y2)(y+4)=0，则其圆心坐标为 ()A.(1，1) B.QUOTEC.(1，2) D.QUOTE【解析】选D.将圆的方程化为一般式方程，得x2+y2+x+2y10=0，由于QUOTE=QUOTE，QUOTE=1，所以圆心为QUOTE.2.(2017·重庆高一检测)已知圆的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，且与y轴相切，则圆的方程是 ()A.x2+y24x=0 B.x2+y2+4x=0C.x2+y22x3=0 D.x2+y2+2x3=0【解析】选A.因为圆的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，且与y轴相切，所以圆的圆心坐标为(2，0)，所以圆的方程为(x2)2+y2=4，即x2+y24x=0.【补偿训练】直线l与圆C：x2+y2+2x4y+a=0(a<3)相交于A，B两点，弦AB的中点为D(0，1)，则直线l的方程为 ()A.xy+1=0 B.x+y+1=0C.xy1=0 D.x+y1=0【解析】选A.圆C的圆心坐标为(1，2)，弦AB中点D(0，1)，所以kCD=QUOTE=1，所以kAB=QUOTE=1，所以直线l的方程为y1=x0，即xy+1=0.3.(2018·万州高二检测)已知圆C：x2+y2+mx4=0关于直线xy+6=0对称的圆的方程为x2+y2+12x6y+32=0，则实数m的值为 ()A.8 B.6C.6 D.无法确定【解析】选C.将两圆的方程化为标准方程，QUOTE+y2=QUOTE+4，(x+6)2+(y3)2=13，由已知，两圆的半径相等，圆心关于直线xy+6=0对称，所以，由QUOTE+4=13，QUOTEQUOTE+6=0，解得m=6.【补偿训练】1.(2017·杭州高一检测)若圆x2+y22x+6y+5a=0关于直线y=x+2b对称，则ab的取值范围是 ()A.(∞，4) B.(∞，0)C.(4，+∞) D.(4，+∞)【解题指南】根据圆的方程得出a的取值范围，由圆关于直线对称，得出b的值，从而得出ab的范围.【解析】选A.将圆的方程变形为(x1)2+(y+3)2=105a，可知，圆心为(1，3)，且105a>0，即a<2.因为圆关于直线y=x+2b对称，所以圆心在直线y=x+2b上，即3=1+2b，解得b=2，所以ab<4.2.(2014·潍坊高一检测)若圆x2+y22kx4=0关于直线2xy+3=0对称，则k等于 ()A.QUOTE B.QUOTE C.3 D.3【解析】选B.圆心为(k，0)，在直线2xy+3=0上，所以2k0+3=0，所以k=QUOTE.4.已知方程x2+y22x+2k+3=0表示圆，则k的取值范围是 ()A.(∞，1) B.(3，+∞)C.(∞，1)∪(3，+∞) D.QUOTE【解析】选A.方程可化为：(x1)2+y2=2k2，只有2k2>0，即k<1时才能表示圆.5.圆x2+y2+2x+4y3=0上到直线x+y+1=0的距离为QUOTE的点共有 ()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【解析】选C.把x2+y2+2x+4y3=0化为(x+1)2+(y+2)2=8，圆心为(1，2)，半径2QUOTE，圆心到直线x+y+1=0的距离d=QUOTE=QUOTE，所以圆上到直线x+y+1=0的距离为QUOTE的点共有3个.二、填空题(每小题5分，共20分)6.圆x2+y2+Dx+Ey+F=0关于直线l1：xy+4=0与直线l2：x+3y=0都对称，则D=_________，E=_________.

【解析】由题设知直线l1，l2的交点为已知圆的圆心.由QUOTE，得QUOTE，所以QUOTE=3，QUOTE=1，所以D=6，E=2.答案：627.已知圆C：x2+y22x+2y3=0，AB为圆C的一条直径，点A(0，1)，则点B的坐标为_________.

【解析】圆C的标准方程为(x1)2+(y+1)2=5，所以圆心为C(1，1)，设B(m，n)，由中点坐标公式得QUOTE解得QUOTE即点B的坐标为(2，3).答案：(2，3)8.经过A(1，4)，B(2，3)，C(4，5)三点的圆的方程为__________________.

【解析】设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，把A(1，4)，B(2，3)，C(4，5)代入得，即QUOTE解得QUOTE所以所求圆的方程为x2+y22x+2y23=0.答案：x2+y22x+2y23=0【补偿训练】已知点A(1，2)在圆x2+y2+2x+3y+m=0外，则m的取值范围是__________________.

【解析】因为A(1，2)在圆外，所以12+22+2×1+3×2+m>0，即m>13，又D2+E24F=4+94m>0，所以m<QUOTE.答案：13<m<QUOTE【误区警示】解答本题易忽略D2+E24F>0这一条件而导致出现m>13的错误.9.若圆x2+y2+2ax4ay+5a24=0上所有点都在第二象限，则a的取值范围为_________.

【解析】由x2+y2+2ax4ay+5a24=0，得(x+a)2+(y2a)2=4，其圆心坐标为(a，2a)，半径为2，由已知，QUOTE解得a>2，所以，a的取值范围为(2，+∞).答案：(2，+∞)三、解答题(每小题10分，共30分)10.已知方程x2+y2+2(m+3)x2(2m1)y+5m2+2=0(m∈R)表示一个圆.(1)求m的取值范围.(2)若m≥0，求该圆半径r的取值范围.【解析】(1)依题意：4(m+3)2+4(2m1)24(5m2+2)>0，即8m+32>0，解得：m>4，所以m的取值范围是(4，+∞).(2)r=QUOTE=QUOTE.因为m∈[0，+∞)，所以r≥2QUOTE.所以r的取值范围是[2QUOTE，+∞).11.已知圆心为C的圆经过点A(1，0)，B(2，1)，且圆心C在y轴上，求此圆的一般方程.【解析】方法一：设圆心C的坐标为(0，b)，由|CA|=|CB|得QUOTE=QUOTE，解得b=2.所以C点坐标为(0，2).所以圆C的半径r=|CA|=QUOTE.所以圆C的方程为x2+(y2)2=5，即x2+y24y1=0.方法二：AB的中点为QUOTE，中垂线的斜率k=1，所以AB的中垂线的方程为yQUOTE=QUOTE，令x=0，得y=2，即圆心为(0，2).所以圆C的半径r=|CA|=QUOTE，所以圆的方程为x2+(y2)2=5，即x2+y24y1=0.【拓展延伸】圆的一般方程和标准方程的选择技巧(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径来列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.(2)如果已知条件和圆心或半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再利用待定系数法求出常数D，E，F.12.已知点P(x，y)，A(1，0)，B(1，1)，且|PA|=QUOTE|PB|.(1)求点P的轨迹方程.(2)判断点P的轨迹是否为圆，若是，求出圆心坐标及半径；若不是，请说明理由.【解析】(1)由已知，QUOTE=QUOTE·QUOTE，两边同时平方，化简得x2+y2+6x4y+3=0，即点P的轨迹方程为x2+y2+6x4y+3=0.(2)方法一：由(1)得(x+3)2+(y2)2=10，故点P的轨迹是圆，其圆心坐标为(3，2)，半径为QUOTE.方法二：由(1)得D=6，E=4，F=3，所以D2+E24F=36+1612=40>0，故点P的轨迹是圆.又QUOTE=3，QUOTE=2，所以圆心坐标为(3，2)，半径r=QUOTEQUOTE=QUOTE.【补偿训练】已知圆C：x2+y24x14y+45=0，及点Q(2，3).(1)P(a，a+1)在圆上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率.(2)若M为圆C上任一点，求|MQ|的最大值和最小值.【解析】(1)因为点P(a，a+1)在圆上，所以a2+(a+1)24a14(a+1)+45=0，所以a=4，P(4，5)，所以|PQ|=QUOTE=2QUOTE，kPQ=QUO