2021新高考数学一轮复习学案4-2平面向量基本定理及坐标表示

第二节平面向量基本定理及坐标表示课标要求考情分析1.了解平面向量基本定理及其意义．2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件.1.本节是高考中的常考内容，涉及平面向量基本定理的应用，向量的坐标表示及坐标运算．2．命题形式多种多样，题型以选择题、填空题为主，常以创新型的题目出现，属中低档题.知识点一平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．知识点二平面向量的坐标运算1．向量加法、减法、数乘及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).2．向量坐标的求法(1)若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\o(AB,\s\up15(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up15(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).知识点三平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共线⇔x1y2－x2y1＝0.1．思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内的任意两个向量都可以作为一组基底．(×)(2)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.((3)在等边三角形ABC中，向量eq\o(AB,\s\up15(→))与eq\o(BC,\s\up15(→))的夹角为60°.(×)(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2).(×)(5)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．(√)(6)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．(√)2．小题热身(1)已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)b＝(D)A．(－2，－1) B．(－2,1)C．(－1,0) D．(－1,2)(2)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量eq\o(AC,\s\up15(→))＝(－4，－3)，则向量eq\o(BC,\s\up15(→))＝(A)A．(－7，－4) B．(7,4)C．(－1,4) D．(1,4)(3)已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则eq\f(m,n)＝－eq\f(1,2).(4)向量a，b满足a＋b＝(－1,5)，a－b＝(5，－3)，则b＝(－3,4)．(5)在平行四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up15(→))＝a，eq\o(AD,\s\up15(→))＝b，eq\o(AN,\s\up15(→))＝3eq\o(NC,\s\up15(→))，M为BC的中点，则eq\o(MN,\s\up15(→))＝－eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b(用a，b表示)．解析：(1)因为a＝(1,1)，b＝(1，－1)，所以eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)b＝eq\f(1,2)(1,1)－eq\f(3,2)(1，－1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(3,2)))＝(－1,2)．(2)根据题意得eq\o(AB,\s\up15(→))＝(3,1)，∴eq\o(BC,\s\up15(→))＝eq\o(AC,\s\up15(→))－eq\o(AB,\s\up15(→))＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．故选A.(3)由已知条件有ma＋nb＝(2m,3m)＋(－n,2n)＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(2,3)－(－2,4)＝(4，－1)，由ma＋nb与a－2b共线，则有eq\f(2m－n,4)＝eq\f(3m＋2n,－1)，所以n－2m＝12m＋8n，所以eq\f(m,n)＝－eq\f(1,2).(4)由a＋b＝(－1,5)，a－b＝(5，－3)，得2b＝(－1,5)－(5，－3)＝(－6,8)，所以b＝eq\f(1,2)(－6,8)＝(－3,4)．(5)因为eq\o(AN,\s\up15(→))＝3eq\o(NC,\s\up15(→))，所以eq\o(AN,\s\up15(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up15(→))＝eq\f(3,4)(a＋b)，又因为eq\o(AM,\s\up15(→))＝a＋eq\f(1,2)b，所以eq\o(MN,\s\up15(→))＝eq\o(AN,\s\up15(→))－eq\o(AM,\s\up15(→))＝eq\f(3,4)(a＋b)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)b))＝－eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b.考点一平面向量基本定理的应用【例1】如图所示，在△ABC中，点M是AB的中点，且eq\o(AN,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)eq\o(NC,\s\up15(→))，BN与CM相交于点E，设eq\o(AB,\s\up15(→))＝a，eq\o(AC,\s\up15(→))＝b，则eq\o(AE,\s\up15(→))等于()A.eq\f(2,5)a＋eq\f(1,5)bB.eq\f(1,5)a＋eq\f(2,5)bC.eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)bD.eq\f(2,5)a＋eq\f(4,5)b【解析】由题意得eq\o(AN,\s\up15(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up15(→))＝eq\f(1,3)b，eq\o(AM,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)a，由N，E，B三点共线可知，存在实数m，满足eq\o(AE,\s\up15(→))＝meq\o(AN,\s\up15(→))＋(1－m)eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\f(1,3)mb＋(1－m)a.由C，E，M三点共线可知，存在实数n，满足eq\o(AE,\s\up15(→))＝neq\o(AM,\s\up15(→))＋(1－n)eq\o(AC,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)na＋(1－n)b，所以eq\f(1,3)mb＋(1－m)a＝eq\f(1,2)na＋(1－n)b，因为a，b为基底，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m＝\f(1,2)n，,\f(1,3)m＝1－n，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(3,5)，,n＝\f(4,5).))所以eq\o(AE,\s\up15(→))＝eq\f(2,5)a＋eq\f(1,5)b，故选A.【答案】A方法技巧平面向量基本定理的实质及解题思路1应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.2用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.如图，eq\o(OC,\s\up15(→))＝2eq\o(OP,\s\up15(→))，eq\o(AB,\s\up15(→))＝2eq\o(AC,\s\up15(→))，eq\o(OM,\s\up15(→))＝meq\o(OB,\s\up15(→))，eq\o(ON,\s\up15(→))＝neq\o(OA,\s\up15(→))，若m＝eq\f(3,8)，那么n等于(C)A.eq\f(1,2)B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,4)D.eq\f(4,5)解析：因为eq\o(AB,\s\up15(→))＝2eq\o(AC,\s\up15(→))，所以C为AB中点，故eq\o(OC,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up15(→))＝2eq\o(OP,\s\up15(→))，所以eq\o(OP,\s\up15(→))＝eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up15(→)).由eq\o(OM,\s\up15(→))＝meq\o(OB,\s\up15(→))，eq\o(ON,\s\up15(→))＝neq\o(OA,\s\up15(→))，所以eq\o(OB,\s\up15(→))＝eq\f(1,m)eq\o(OM,\s\up15(→))，eq\o(OA,\s\up15(→))＝eq\f(1,n)eq\o(ON,\s\up15(→))，所以eq\o(OP,\s\up15(→))＝eq\f(1,4m)eq\o(OM,\s\up15(→))＋eq\f(1,4n)eq\o(ON,\s\up15(→))，因为M，P，N三点共线，故eq\f(1,4m)＋eq\f(1,4n)＝1，当m＝eq\f(3,8)时，n＝eq\f(3,4).故选C.考点二平面向量的坐标运算【例2】(1)已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若eq\o(MN,\s\up15(→))＝－3a，则点N的坐标为()A．(2,0)B．(－3,6)C．(6,2)D．(－2,0)(2)在△ABC中，点P在BC上，且eq\o(BP,\s\up15(→))＝2eq\o(PC,\s\up15(→))，点Q是AC的中点，若eq\o(PA,\s\up15(→))＝(4,3)，eq\o(PQ,\s\up15(→))＝(1,5)，则eq\o(BC,\s\up15(→))＝________.【解析】(1)eq\o(MN,\s\up15(→))＝－3a＝－3(1，－2)＝(－3,6)，设N(x，y)，则eq\o(MN,\s\up15(→))＝(x－5，y＋6)＝(－3，6)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－5＝－3，,y＋6＝6，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝0.))(2)∵eq\o(AQ,\s\up15(→))＝eq\o(PQ,\s\up15(→))－eq\o(PA,\s\up15(→))＝(－3,2)，∴eq\o(AC,\s\up15(→))＝2eq\o(AQ,\s\up15(→))＝(－6,4)．∵eq\o(PC,\s\up15(→))＝eq\o(PA,\s\up15(→))＋eq\o(AC,\s\up15(→))＝(－2,7)，∴eq\o(BC,\s\up15(→))＝3eq\o(PC,\s\up15(→))＝(－6,21)．【答案】(1)A(2)(－6,21)方法技巧平面向量坐标运算的技巧1向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标.2解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.1．若向量a＝(2,1)，b＝(－1,2)，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,2)))，则c可用向量a，b表示为(A)A.eq\f(1,2)a＋b B．－eq\f(1,2)a－bC.eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b D.eq\f(3,2)a－eq\f(1,2)b解析：设c＝xa＋yb，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,2)))＝(2x－y，x＋2y)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＝0，,x＋2y＝\f(5,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)，,y＝1，))则c＝eq\f(1,2)a＋b.2．已知平行四边形ABCD中，eq\o(AD,\s\up15(→))＝(3,7)，eq\o(AB,\s\up15(→))＝(－2,3)，对角线AC与BD交于点O，则eq\o(CO,\s\up15(→))的坐标为(D)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，5))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，5))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－5))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－5))解析：eq\o(AC,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(AD,\s\up15(→))＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)，∴eq\o(OC,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up15(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，5)).∴eq\o(CO,\s\up15(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－5)).考点三平面向量共线的坐标表示【例3】(1)若A，B，C，D四点共线，且满足eq\o(AB,\s\up15(→))＝(3a,2a)(a≠0)，eq\o(CD,\s\up15(→))＝(2，t)，则t等于()A.eq\f(3,4) B.eq\f(4,3)C．3 D．－3(2)已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝________.(3)设向量a，b满足|a|＝2eq\r(5)，b＝(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为________．【解析】(1)因为A，B，C，D四点共线，所以eq\o(AB,\s\up15(→))∥eq\o(CD,\s\up15(→))，故3a·t＝2a·2，t＝eq\f(4,3).故选B.(2)由题意知－2m－12＝0，m(3)因为b＝(2,1)，且a与b的方向相反，所以设a＝(2λ，λ)(λ<0)，因为|a|＝2eq\r(5)，所以4λ2＋λ2＝20，λ2＝4，λ＝－2.所以a＝(－4，－2)．【答案】(1)B(2)－6(3)(－4，－2)方法技巧(1)向量共线的两种表示形式设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，①a∥b⇒a＝λb(b≠0)；②a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.(2)两向量共线的充要条件的作用判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值．1．已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与eq\o(AB,\s\up15(→))同方向的单位向量是(A)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(4,5)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，－\f(3,5)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，\f(4,5)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，\f(3,5)))解析：eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\o(OB,\s\up15(→))－eq\o(OA,\s\up15(→))＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)，∴与eq\o(AB,\s\up15(→))同方向的单位向量为eq\f(\o(AB,\s\up15(→)),\a\vs4\al(|\o(AB,\s\up15(→))|))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(