新教材高中数学人教A版学案8-1第2课时圆柱圆锥圆台球简单组合体

第2课时圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体[目标]1.记住圆柱、圆锥、圆台、球的定义及它们的结构特征；2.能用圆柱、圆锥、圆台的定义及结构特征解答一些相关问题；3.了解组合体的概念．[重点]圆柱、圆锥、圆台、球的定义及结构特征．[难点]圆柱、圆锥、圆台之间关系的理解．要点整合夯基础知识点一圆柱[填一填]1．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱．2．旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线．3．棱柱和圆柱统称为柱体．[答一答]1．(1)在圆柱中，圆柱的任意两条母线是什么关系？过两条母线的截面是怎样的图形？(2)在圆柱中，过轴的截面是轴截面，圆柱的轴截面是什么图形？轴截面含有哪些重要的量？(3)圆柱上底面圆周上任一点与下底面圆周上任一点的连线是圆柱的母线吗？提示：(1)圆柱的任意两条母线平行，过两条母线的截面是矩形．(2)圆柱的轴截面是矩形，轴截面中含有圆柱的底面直径与圆柱的母线．(3)不一定．圆柱的母线与轴是平行的．知识点二圆锥[填一填]1．以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥．2．棱锥与圆锥统称为锥体．[答一答]2．直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥吗？提示：不是．当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底面圆锥组成的几何体．知识点三圆台[填一填]1．用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台．2．棱台与圆台统称为台体．[答一答]3．类比圆柱、圆锥的形成过程，圆台可以由平面图形旋转而成吗？提示：(1)圆台可以看作是直角梯形以垂直底边的腰所在的直线为旋转轴，其他三边旋转一周而成的曲面所围成的几何体．(2)圆台也可以看作是等腰梯形以其两底边的中点连线为轴，各边旋转半周形成的曲面所围成的几何体．知识点四球[填一填]半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球．半圆的圆心叫做球的球心；连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径；连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径．[答一答]4．半圆或圆绕它的直径所在直线旋转一周形成什么？它与球有区别吗？提示：半圆或圆绕它的直径所在直线旋转一周形成球面．球面是一曲面，它只能度量面积而不能度量体积；球是由球面围成的几何体，它不仅可以度量球的表面积，还可以度量其体积．5．用一个平面去截球，得到的是一个圆吗？提示：不是，得到的是一个圆面，球是一个几何体，包括表面及其内部．知识点五简单组合体的结构特征[填一填]1．定义：由简单几何体组合而成的几何体称为简单组合体．2．简单组合体构成的两种基本形式简单组合体eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(由简单几何体拼接而成；,由简单几何体截去或挖去一部分而成.))[答一答]6．组合体的形式有哪些？提示：(1)多面体与多面体的组合体．(2)旋转体与旋转体的组合体．(3)多面体与旋转体的组合体.典例讲练破题型类型一旋转体的结构特征[例1]下列命题正确的是________．①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②圆柱的母线是连接圆柱上底面上一点和下底面上一点的直线；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④以等腰三角形的底边上的高所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥；⑤球面上四个不同的点一定不在同一平面内；⑥球的半径是球面上任意一点和球心的连线段；⑦球面上任意三点可能在一条直线上；⑧用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面．[分析]准确理解旋转体的定义，在此基础上掌握各旋转体的性质，才能更好地把握它们的结构特征，以作出准确的判断．[解析]①以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周才可以得到圆锥，故①错误；②圆柱的母线是连接圆柱上底面上一点和下底面上一点的线段，且这条线段与轴平行，故②错误；③它们的底面为圆面，故③错误；④正确；作球的一个截面，在截面的圆周上任意取四点，则这四点就在球面上，故⑤错误；根据球的半径定义可知⑥正确；球面上任意三点一定不共线，故⑦错误；用一个平面去截球，一定截得一个圆面，故⑧正确．[答案]④⑥⑧简单旋转体判断问题的解题策略,1准确掌握圆柱、圆锥、圆台和球的生成过程及其特征性质是解决此类概念问题的关键.,2解题时要注意两个明确：,①明确由哪个平面图形旋转而成；,②明确旋转轴是哪条直线.[变式训练1]下列命题：①任意平面截圆柱，截面都是圆面；②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线，其中正确的是(D)A．①②B．②③C．①③D．②解析：过圆柱两母线的截面为矩形，有时斜的截面为椭圆，故①错误；圆台的母线不是上底面和下底面上任意两点的连线，③错误；由圆锥母线的定义知②正确，故选D.类型二旋转体的有关计算命题视角1：圆柱、圆锥、圆台的计算问题[例2]已知一个圆台的母线长为12cm，两底面的面积分别为4πcm2和25πcm2(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长．[分析]在解答有关台体的问题时，一般要把台体还原成锥体，这就是常应用的“还台为锥”的思想，不仅在作图时应用，而且在计算时也常应用此思想寻求元素间的关系，以便解决问题．[解](1)设圆台的轴截面为等腰梯形ABCD(如图所示)．由题意可得上底的一半O1A＝2cm，下底的一半OB＝5cm，腰长AB＝12cm，所以圆台的高AM＝eq\r(122－5－22)＝3eq\r(15)(cm)．(2)如图，延长BA，OO1，CD，交于点S，设截得此圆台的圆锥的母线长为lcm，则由△SAO1∽△SBO，得eq\f(l－12,l)＝eq\f(2,5)，解得l＝20.故截得此圆台的圆锥的母线长为20cm旋转体中有关底面半径、母线、高的计算，可利用轴截面求解，即将立体问题平面化.对于圆台的轴截面，可将两腰延长相交后在三角形中求解.这是解答圆台问题常用的方法.[变式训练2]如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为116，截去的圆锥的母线长是3cm，求圆台O′O的母线长解：设圆台的母线长为lcm，由截得圆台上、下底面面积之比为116，可设截得圆台的上、下底面的半径分别为r、4r.过轴SO作截面，如图所示．则△SO′A′∽△SOA，SA′＝3cm∴eq\f(SA′,SA)＝eq\f(O′A′,OA)，∴eq\f(3,3＋l)＝eq\f(r,4r)＝eq\f(1,4).解得l＝9.即圆台的母线长为9cm命题视角2：球的截面问题[例3]已知半径为10的球的两个平行截面的周长分别是12π和16π，求这两个截面间的距离．[分析]画出球的截面图，球心与截面圆心连线垂直于截面所在的平面，构造直角三角形解决．对于球的两个平行截面要注意讨论它们在球心同侧还是异侧，否则容易漏解．[解]设球的大圆为圆O，C，D两点为两截面圆的圆心，AB为经过C，O，D三点的直径且两截面圆的半径分别是6和8.当两截面在球心同侧时，如图(1)，此时CD＝OC－OD＝eq\r(OE2－EC2)－eq\r(OF2－DF2)＝8－6＝2.当两截面在球心两侧时，如图(2)，此时CD＝OC＋OD＝eq\r(OE2－EC2)＋eq\r(OF2－DF2)＝8＋6＝14.故两截面间的距离为2或14.利用球的截面，将立体问题转化为平面问题是解决球的有关问题的关键.[变式训练3]一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的直径为2eq\r(2).解析：设球心到平面的距离为d，截面圆的半径为r，则πr2＝π，∴r＝1，设球的半径为R，则R＝eq\r(d2＋r2)＝eq\r(2)，故球的直径为2eq\r(2).类型三简单组合体命题视角1：简单组合体的结构特征[例4](1)如图①所示的物体为燕尾槽工件，请说明该物体是由哪些几何体构成的．(2)指出图②中三个几何体的主要结构特征．[分析]由多面体和旋转体的结构特征进行判断．[解](1)题图①中的几何体可以看作是一个长方体割去一个四棱柱所得的几何体，也可以看成是一个长方体与两个四棱柱组合而成的几何体(如图所示)．(2)(A)中的几何体由一个三棱柱挖去一个圆柱后剩余部分组合而成，其中圆柱内切于三棱柱．(B)中的几何体由一个圆锥挖去一个四棱柱后剩余部分组合而成，其中四棱柱内接于圆锥．(C)中的几何体由一个球挖去一个三棱锥后剩余部分组合而成．其中三棱锥内接于球．会识别较复杂的图形是学好立体几何的第一步，我们应注意观察周围的物体，然后将它们“分拆”成几个简单的几何体，进而培养我们的空间想象能力和识图能力.[变式训练4]如图，绕虚线旋转一周后形成的旋转体是由哪些简单几何体组成的？解：如图所示，由一个圆锥O4O5，一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去圆锥O1O2组成的．命题视角2：与球有关的“切”与“接”问题[例5]已知正方体的棱长为a，分别求出它的内切球及与各棱都相切的球的半径．[分析]解决此题的关键是找准轴截面，建立半径与棱长的关系．[解](1)正方体的内切球与各面的切点为正方体各面的中心，故作出经过正方体相对两面的中心且与棱平行的截面，则球的一个大圆是其正方形截面的内切圆，如图(1)所示，设球的半径为R1，易得R1＝eq\f(a,2).(2)与正方体的各棱均相切的球与正方体相连接的点是正方体各棱的中点，故应作出经过正方体一组平行棱中点的截面，则球的轴截面是其正方形截面的外接圆，如图(2)所示，设球的半径为R2，易求得球的半径R2＝eq\f(\r(2),2)a.组合体问题应分清各部分之间是如何组合起来的，以便转化为平面图形进行计算．正方体的内切球直径等于正方体的棱长；外接球直径等于其体对角线的长；球与正方体各棱都相切，则球的直径等于正方体面对角线的长．[变式训练5]正三棱锥内有一个内切球，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的图形是(C)解析：正三棱锥的内切球与各个面的切点为正三棱锥各面的中心，所以过一条侧棱和高的截面必过该棱所对面的高线，故C正确．课堂达标练经典1．下列说法正确的是(C)A．用一平面去截圆台，截面一定是圆面B．通过圆台侧面上一点，有无数条母线C．圆台的任意两条母线延长后相交于同一点D．圆锥的母线可能平行解析：对于A，用一平面去截圆台，当截面与底面不平行时，截面不是圆面；对于B，通过圆台侧面上一点，只有一条母线；对于D，圆锥的母线延长后交于顶点，因此不可能平行．2．下图中的几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是(D)A．(1)(2) B．(1)(3)C．(1)(4) D．(1)(5)解析：由题图得当截面过旋转轴时，截面图形是(1)；当截面不过旋转轴时，截面图形是(5)，故选D.3．已知圆锥SO的母线长为5，底面直径为8，则圆锥SO的高h＝3.解析：如图，∵圆锥的底面直径AB＝8，∴圆锥的底面半径R＝OA＝4.又∵SA＝5，∴圆锥的高h＝SO＝eq\r(52－42)＝3.4．下列说法正确的是②③④.(填序号)①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；②矩形任意一条边所在的直线都可以作为轴，其他边绕其旋转形成圆柱；③半圆面绕其直径所在直线旋转一周形成球；④用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面．解析：①以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周可得到圆台；②③④正确．5．已知圆锥底面半径r＝1cm，母线l＝6cm解：如图，将圆锥侧面沿母线PA展开，所得扇形的圆心角θ＝eq\f(r,l)·360°＝eq\f(1,6)×360°＝60°.连接AA′，则AA′的长度就是蚂蚁爬的最短距离．因为△AA′P是等边三角形，所以AA′＝AP＝6cm即蚂蚁至少要爬6cm——本课须掌握的四大问题1．圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示．2．处理台