高一数学人教A版必修1学案1-2-1第2课时函数的定义域与值域

第2课时函数的定义域与值域[目标]1.了解构成函数的要素，理解函数相等的概念；2.会求简单函数的定义域与值域；3.会求形如f(g(x))的函数的定义域．[重点]函数相等的概念，求函数的值域．[难点]求函数的值域，求形如f(g(x))的函数的定义域.知识点一函数相等[填一填]1．条件：①定义域相同；②对应关系完全一致．2．结论：两个函数相等．[答一答]1．若两个函数的定义域和值域相同，它们是否为同一函数？对应关系和值域相同呢？提示：观察下表：函数定义域对应关系值域f1(x)＝xRx→xRf2(x)＝2xRx→2xRf3(x)＝x2[0,2]x→x2[0,4]f4(x)＝x2[－1,2]x→x2[0,4]对于f1(x)和f2(x)，定义域和值域虽相同，但对应关系不同，故不是同一函数；对于f3(x)和f4(x)，对应关系和值域虽相同，但定义域不同，故不是同一函数．知识点二函数的定义域[填一填]函数的定义域是使函数有意义的所有自变量的集合．求函数的定义域时，一般遵循以下原则：1．f(x)是整式时，定义域是全体实数的集合．2．f(x)是分式时，定义域是使分母不为0的一切实数的集合．3．f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值的实数的集合．4．零(负)指数幂的底数不能为零．5．对于含字母参数的函数，求其定义域时，需根据问题的具体情况对字母参数进行讨论．6．由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．[答一答]2．函数f(x)＝eq\f(\r(x－1),x－2)＋(x－1)0的定义域为(D)A．{x|x≥1}B．{x|x>1}C．{x|1≤x<2或x>2}D．{x|1<x<2或x>2}解析：要使函数有意义，则只需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1≥0，,x－2≠0，,x－1≠0，))解得1<x<2或x>2，所以函数的定义域为{x|1<x<2或x>2}．故选D.知识点三函数的值域[填一填]求函数的值域是一个较复杂的问题，要首先明确两点：一是值域的概念，即对于定义域A上的函数y＝f(x)，其值域就是指其函数值的集合：{f(x)|x∈A}；二是函数的定义域、对应关系是确定函数的依据．另外，在求函数的值域时，要根据所给的函数的形式，采用相应的方法．[答一答]3．已知函数y＝x2，x∈{0,1,2，－1}，函数y＝x2的值域是什么？提示：当x＝0时，y＝0；当x＝±1时，y＝1；当x＝2时，y＝4.所以函数的值域是{0,1,4}．类型一函数相等的判断[例1]下列各组函数：①f(x)＝eq\f(x2－x,x)，g(x)＝x－1；②f(x)＝eq\f(\r(x),x)，g(x)＝eq\f(x,\r(x))；③f(x)＝eq\r(x＋1)·eq\r(1－x)，g(x)＝eq\r(1－x2)；④f(x)＝eq\r(x＋32)，g(x)＝x＋3；⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)＝80x(0≤x≤5)．其中表示相等函数的是____________(填上所有正确的序号)．[答案]③⑤[解析]①不同，定义域不同，f(x)定义域为{x|x≠0}，g(x)定义域为R.②不同，对应法则不同，f(x)＝eq\f(1,\r(x))，g(x)＝eq\r(x).③相同，定义域、对应法则都相同．④不同，值域不同，f(x)≥0，g(x)∈R.⑤相同，定义域、对应法则都相同．讨论函数问题时，要保持定义域优先的原则.判断两个函数是否相等，要先求定义域，若定义域不同，则不相等；若定义域相同，再化简函数的解析式，若解析式相同，则相等，否则不相等.[变式训练1]下列各组中两个函数是否表示相等函数？(1)f(x)＝6x，g(x)＝6eq\r(3,x3)；(2)f(x)＝eq\f(x2－9,x－3)，g(x)＝x＋3；(3)f(x)＝x2－2x－1，g(t)＝t2－2t－1.解：(1)g(x)＝6eq\r(3,x3)＝6x，它与f(x)＝6x定义域相同，对应关系也相同，所以是相等函数．(2)f(x)＝eq\f(x2－9,x－3)＝x＋3(x≠3)，它与g(x)＝x＋3的定义域不同，故不是相等函数．(3)虽然自变量用不同的字母表示，但两个函数的定义域和对应关系都相同，故是相等函数．类型二函数的定义域命题视角1：求具体函数的定义域[例2]求下列函数的定义域，结果用区间表示：(1)y＝eq\r(x＋2)＋eq\f(1,x2－x－6)；(2)y＝eq\f(x＋10,\r(|x|－x)).[解](1)要使函数有意义，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2≥0，,x2－x－6≠0))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥－2，,x≠－2且x≠3，))故函数的定义域是(－2,3)∪(3，＋∞)．(2)要使函数有意义，必须满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1≠0，,|x|－x>0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－1，,x<0，))故函数的定义域是(－∞，－1)∪(－1,0)．求函数的定义域就是求使函数式有意义的自变量的取值范围.当一个函数式由两个以上数学式子的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合.[变式训练2]求下列函数的定义域：(1)y＝eq\r(1－x)＋eq\f(1,x＋5)；(2)y＝eq\f(3,1－\r(1－x)).解析：(1)由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x≥0，,x＋5≠0，))解得x≤1且x≠－5.所求定义域为{x|x≤1且x≠－5}．(2)由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x≥0，,1－\r(1－x)≠0，))解得x≤1且x≠0.所求定义域为{x|x≤1且x≠0}．命题视角2：求抽象函数的定义域[例3](1)已知函数f(x)的定义域是[－1,4]，求函数f(2x＋1)的定义域．(2)已知函数f(2x＋1)的定义域是[－1,4]，求函数f(x)的定义域．[分析]在对应关系相同的情况下，f(x)中x应与f(g(x))中g(x)的取值范围相同，据此可解答该题．[解](1)由已知f(x)的定义域是[－1,4]，即－1≤x≤4.故对于f(2x＋1)应有－1≤2x＋1≤4.∴－2≤2x≤3，∴－1≤x≤eq\f(3,2).∴f(2x＋1)的定义域是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(3,2))).(2)由已知f(2x＋1)的定义域是[－1,4]，即f(2x＋1)中，应有－1≤x≤4，∴－1≤2x＋1≤9.∴f(x)的定义域是[－1,9]．因为fgx就是用gx代替了fx中的x，所以gx的取值范围与fx中的x的取值范围相同.若已知函数fx的定义域为[a，b]，则函数fgx的定义域是指满足不等式a≤gx≤b的x的取值范围；而已知fgx的定义域是[a，b]，指的是x∈[a，b]，要求fx的定义域，就是求x∈[a，b]时gx的值域.[变式训练3]若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝eq\f(f2x,x－1)的定义域是(B)A．[0,1] B．[0,1)C．[0,1)∪(1,4] D．(0,1)解析：因为f(x)的定义域为[0,2]，所以对于函数g(x)满足0≤2x≤2，且x≠1，故x∈[0,1)．类型三求函数的值域[例4]求下列函数的值域．(1)f(x)＝3x－1，x∈[－5,2)；(2)y＝2x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；(3)y＝x2－4x＋6，x∈[1,5)；(4)y＝eq\f(5x－1,4x＋2).[解](1)∵x∈[－5,2)，∴－15≤3x<6，∴－16≤3x－1<5，∴函数f(x)＝3x－1，x∈[－5,2)的值域是[－16,5)．(2)∵x∈{1,2,3,4,5}，∴2x＋1∈{3,5,7,9,11}，即所求函数的值域为{3,5,7,9,11}．(3)y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2.∵x∈[1,5)，∴其图象如图所示，当x＝2时，y＝2；当x＝5时，y＝11.∴所求函数的值域为[2,11)．(4)y＝eq\f(5x－1,4x＋2)＝eq\f(\f(5,4)4x＋2－1－\f(10,4),4x＋2)＝eq\f(\f(5,4)4x＋2－\f(14,4),4x＋2)＝eq\f(5,4)－eq\f(7,24x＋2).∵eq\f(7,24x＋2)≠0，∴y≠eq\f(5,4)，∴函数y＝eq\f(5x－1,4x＋2)的值域为{y∈R|y≠eq\f(5,4)}．根据函数关系式，选择恰当的方法求函数的值域.1对于一次函数，已知自变量的取值范围，依据简单不等式的运算，求得函数的取值范围，即为函数的值域；2对于二次函数，可借助图象求函数的值域；3通过分离常数，借助反比例函数的特征求值域.无论哪种方法求值域，都应注意定义域的限制.[变式训练4]求下列函数的值域：(1)y＝2x＋1，x∈{0,1,3,4}；(2)y＝eq\f(x,x＋1)；(3)y＝x2－4x，x∈[1,4]．解：(1)∵y＝2x＋1，x∈{0,1,3,4}，∴y∈{1,3,7,9}．(2)∵y＝eq\f(x,x＋1)＝eq\f(x＋1－1,x＋1)＝1－eq\f(1,x＋1)，且eq\f(1,x＋1)≠0，∴函数y＝eq\f(x,x＋1)的值域为{y|y≠1}．(3)配方，得y＝(x－2)2－4.∵x∈[1,4]，∴函数的值域为[－4,0].1．函数f(x)＝eq\r(x＋1)＋eq\f(1,2－x)的定义域为(A)A．[－1,2)∪(2，＋∞) B．(－1，＋∞)C．[－1,2) D．[－1，＋∞)解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1≥0，,2－x≠0，))解得x≥－1且x≠2.故选A.2．函数f(x)＝x2＋1(0<x≤2且x∈N*)的值域是(D)A．{x|x≥1} B．{x|x>1}C．{2,3} D．{2,5}解析：∵0<x≤2且x∈N*，∴x＝1或x＝2.∴f(1)＝2，f(2)＝5，故函数的值域为{2,5}．3．若函数f(x)与g(x)＝eq\f(3,2－\r(x－2))是相等的函数，则函数f(x)的定义域是[2,6)∪(6，＋∞)．解析：∵2－eq\r(x－2)≠0，∴x≠6，又x－2≥0，∴x≥2，∴g(x)的定义域为[2,6)∪(6，＋∞)．故f(x)的定义域是[2,6)∪(6，＋∞)．4．已知函数f(x)的定义域为{x|－1<x<1}，则函数f(2x＋1)的定义域为{x|－1<x<0}．解析：因为f(x)的定义域为{x|－1<x<1}，所以－1<2x＋1<1，解得－1<x<0.所以f(2x＋1)的定义域为{x|－1<x<0}．5．试求下列函数的定义域与值域：(1)f(x)＝(x－1)2＋1；(2)y＝eq\f(5x＋4,x－1)；(3)y＝x－eq\r(x＋1).解：(1)函数的定义域为R，因为(x－1)2＋1≥1，所以函数的值域为{y|y≥1}．(2)函数的定义域为{x|x≠1}，y＝eq\f(5x＋4,x－1)＝5＋eq\f(9,x－1)，所以函数的值域为{y|y≠5}．(3)要使函数式有意义，需x＋1≥0，即x≥－1，故函数的定义域为{x|x≥－1}．设t＝eq\r(x＋1)，则x＝t2－1(t≥0)，于是y＝t2－1－t＝(t－eq\f(1,2))2－eq\f(5,4)，又t≥0，故y≥－eq\f(5,4)，所以函数的值域为{y|y≥－eq\f(5,4)}．——本课须掌握的三大问题1．两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一函