第一章 数字逻辑基础Z1

实验16学时（8个）课堂教学64学时课堂教学的考核：平时成绩40（作业+出勤+课堂表现）+试卷考试60=100数字电子技术的课程组成数字电路是专业基础课，是后续课程的基础电类专业考研学生的必考课大学生竞赛的主要科目毕业设计中重要参考内容

学习本门课程的目的参考资料余孟尝，数字电子技术基础简明教程，高等教育出版社阎石，数字电子技术，清华大学出版社第一章数字逻辑基础基本要求掌握二进制、十进制、十六进制的相互转换

掌握常用的编码及其之间的相互转换熟悉逻辑代数的基本定律与规则掌握逻辑函数及代数和卡诺图化简方法第一章数字逻辑基础§第一节数字电路的基础知识§第二节

逻辑代数及运算规则

§第三节逻辑函数的变换§第四节逻辑函数的化简小结一、模拟信号与数字信号模拟信号：随时间连续变化的信号t正弦波信号t锯齿波信号第一节数字电路的基础知识数字信号：在时间和幅度上都是离散的信号。例：产品数量的统计、数字表盘的读数、脉冲信号等。Ttwtu+5V0

2.占空比q-----表示脉冲宽度占整个周期的百分比

:q1.脉冲宽度tw

-----表示脉冲作用的时间。数字电路中，通常用数字“0”和“1”来表示。“0”和“1”，不是十进制数中的数字，而是逻辑0和逻辑1;

表示彼此相关又互相对立的两种状态。例如，“是”与“非”、“真”与“假”、“开”与“关”、“低”与“高”等等。因而常称为数字逻辑。又称二值数字逻辑，它们可以用电子器件的开关特性来实现。产生离散信号电压或数字电压，通常用逻辑电平来表示。电压(V)二值逻辑电平+51H(高电平)00L(低电平)例如，逻辑电平与电压值的关系可用下表来描述：在模拟电路中，晶体管一般工作在放大状态。分析方法：图解法、小信号模型法。二、数字电路与模拟电路的比较电路元件：晶体三极管、场效应管、集成运算放大器。模拟电路：研究输入、输出信号间的大小、相位、失真等方面的关系。研究对象包括交直流放大器、滤波器、信号发生器等。在数字电路中，三极管工作在开关状态，即工作在饱和和截止状态。数字电路：研究电路输出、输入间的逻辑关系。主要的分析工具是逻辑代数，表达电路的功能主要是真值表、逻辑表达式、卡诺图及波形图等。组成电路元件：逻辑门电路、触发器。（一）十进制数任何一位数可以而且只可以用0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数码表示。式中，101

、100

是根据每一个数码所在的位置而定的，称之为“权”。在十进制中，各位的权都是10的幂，而每个权的系数只能是0～9这十个数码中的一个。进位规律是“逢十进一”。即9+1=10=1×101+0×1001.特点：二、数制(333.33)10=3

102

+

3

101+

3

100+3

10-1

+3

10-2权权权权权位置计数法按权展开式2.一般表达式:位权系数（二）二进制数1.特点：任何一位数可以而且只可以用0和1表示。进位规律是：“逢二进一”。各位的权都是2的幂。例如：1+1=10=1×21

+0×202.二进制数的一般表达式为:位权系数（1001）B==(9)D将每一位二进制数乘以位权然后相加便得相应的十进制数。3.二进制数的优缺点易于电路实现---每一位数只有两个值，可以用管子的导通或截止，灯泡的亮或灭、继电器触点的闭合或断开来表示。基本运算规则简单缺点：位数太多，不符合人的习惯，不能在头脑中立即反映出数值的大小，一般要将其转换成十进制后，才能反映。优点：（三）十～二进制之间的转换2.十进制数转换成二进制数：

常用方法是“按权相加”

整数部分用“辗转相除”法:

将十进制数连续不断地除以2,直至商为零，所得余数由低位到高位排列，即为所求二进制数。1.二进制数转换成十进制数：整数部分小数部分225余1

b0122余0

b162余0

b232余1

b312余1

b40(25)D=(b4b3b2b1b0)=(11001)B例：十进制数25转换成二进制数的转换过程

若十进制数较大时，不必逐位去除2，可算出2的幂与十进制对比，如：（261)10=(?)2

∵28=256，261–256=5，(5)10=(101)2,∴(261)10=(100000101)2

小数部分用“乘基取整法”法:小数乘以目标数制的基数（R=2），第一次相乘结果的整数部分为目的数的最高位，将其小数部分再乘基数依次记下整数部分，反复进行下去，直到小数部分为“0”，或满足要求的精度为止。十进制小数可表示为：

0.8125×21.6250整数部分=1

0.6250×21.2500整数部分=1整数部分=0

0.2500×20.5000

0.5000×21.0000整数部分=1故（0.8125）10=（0.1101）2低位高位小数转换不一定能算尽，达到一定精度的位数为止！注意：例：将（0.8125）10化为二进制小数可如下进行例将(0.706)D转换为二进制数，要求其误差不大于2-10。解：0.706×2=1.412由于最后的小数小于0.5，根据“四舍五入”的原则，b－10应为0。所以，(0.706)D=(0.101101001)B，其误差……1……b－10.412×2=0.824……0……b－20.824×2=1.648……1……b－30.648×2=1.296……1……b－40.296×2=0.592……0……b－50.592×2=1.184……1……b－60.184×2=0.368……0……b－70.368×2=0.736……0……b－8

0.736×2=1.472……1……b－9（四）八进制1.特点：八进制数以8为基数，采用0,1,2,3,4,5,6,7八个数码表示任何一位数。000～111表示0～7进位规律是“逢八进一”。各位的权都是8的幂。例如

(144)O=64+32+4=(100)D2.二进制转换成八进制

转换时，由小数点开始，整数部分自右向左，小数部分自左向右，三位一组，不够三位的添零补齐，则每三位二进制数表示一位八进制数。例：11010111.0100111B=?O

11010111.0100111B=327.234O11010111.0100111小数点为界000723234转换方法八进制数如何转换成二进制数？十进制数如何转换成八进制数？（五）十六进制1.特点：十六进制数采用0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A、B、C、D、E、F十六个数码表示。进位规律是“逢十六进一”。各位的权都是16的幂。从小数点开始，将二进制数的整数和小数部分每四位分为一组，整数部分自右向左，小数部分自左向右，不足四位的分别在整数的最高位前和小数的最低位后加“0”补足，然后每组用等值的十六进制码替代，即得目的数。例9：111011.10101B=?H

111011.10101B=3B.A8H111011.10101小数点为界00000B3A82.二进制与十六进制间的转换转换方法十六进制数如何转换成二进制数？十进制数如何转换成十六进制数？3.优点：

十六进制在数字电路中，尤其在计算机中得到广泛的应用，因为：

与二进制之间的转换容易。计数容量较其它进制都大。假如同样采用四位数码，二进制最多可计至1111B=15D；八进制可计至7777O=14095D；十进制可计至9999D；十六进制可计至FFFFH=65535D，即64K。其容量最大。计算机系统中，大量的寄存器、计数器等往往按四位一组排列。故使十六进制的使用独具优越性。（六）常用数制对照表三、编码数字系统的信息数值文字符号二进制代码编码为了表示字符为了分别表示N个字符，所需的二进制数的最小位数：常用四位自然二进制码，表示十进制数0--15，各位的权值依次为23、22、21、20。（一）自然二进制码1.自然二进制码按自然数顺序排列的二进制码当用n位二进制码时，有2n

个代码。编码可以有多种，数字电路中所用的主要是二—十进制码（BCD码）。BCD------Binary-Coded-Decimal（二）二—十进制BCD码在BCD码中，用四位二进制数表示0~9十个数码。四位二进制数最多可以表示16个字符，因此0~9十个字符与这16中组合之间可以有多种情况，不同的对应便形成了一种编码。有权码四位二进制数中的每一位都对应有固定的权(N)D=W3K3+W2K2+W1K1+W0K0W3~W0为二进制各位的权重

8421码是一种有权码，是指各位的权重是8、4、2、1。按权相加，即可得到所代表的十进制数。除此之外，还可取四位二进制码的前五种和后五种状态，代表十进制的0～9，中间六个状态不用，这就构成了2421码，它也是一种有权码，其权依次为2、4、2、1。另外还有5421码和余3码等（余3码为无权码，它是8421码加0011得来的）。由自然二进制码的本位与高位异或而得。

Gn=BnGi=Bi+1⊕Bi格雷码格雷码是一种无权码（三）几种常见的码

ASCII码是美国标准信息交换码，它是用七位二进制码表示，其编码见P28。它共有128个代码，可以表示大、小写英文字母、十进制数、标点符号、运算符号、控制符号等，普遍用于计算机、键盘输入指令和数据等。000000010010001101100111100010011010101111011110111101011100010001236789101113141551240123578964012356789403456782910123678549二进制数自然码8421码2421码5421码余三码§1-2逻辑代数及运算规则返回逻辑代数与基本逻辑关系逻辑代数的基本定律

逻辑代数的运算公式规则

逻辑代数与基本逻辑关系取值：逻辑0、逻辑1。逻辑0和逻辑1不代表数值大小，仅表示相互矛盾、相互对立的两种逻辑状态。与运算或运算非运算一、逻辑变量二、基本逻辑运算与逻辑只有决定某一事件的所有条件全部具备，这一事件才能发生。EFABC开关A开关B灯F断断断断断合断合断断合合合断断合断合合合断

合合合灭灭灭灭灭灭灭亮开关CF=A•B•C逻辑式逻辑乘法逻辑与AFBC00001000010011000010101001101111真值表与逻辑运算符，也有用“”、“∧”、“∩”、“&”表示&ABCF逻辑符号或逻辑只有决定某一事件的有一个或一个以上具备，这一事件才能发生。AEFBC开关A开关B灯F

断断断断断合断合断断合合合断断合断合合合断合合合灭亮亮亮亮亮亮亮开关C逻辑式逻辑加法逻辑或AFBC00001001010111010011101101111111真值表F=A+B+C或逻辑运算符，也有用“∨”、“∪”表示1ABCF逻辑符号非逻辑当决定某一事件的条件满足时，事件不发生；反之事件发生。AEFR开关A灯F断亮合灭逻辑式逻辑非逻辑反真值表AF0110“-”非逻辑运算符逻辑符号AF1三、几种常见组合逻辑运算与非：条件A、B、C都具备，则F不发生。&ABCF或非：条件A、B、C任一具备，则F不发生。1ABCF1ABF10110100100逻辑表达式F=A

B=AB+AB

ABF=1逻辑符号ABF101101000011同或运算逻辑表达式F=AB=A

B

ABF=1逻辑符号“

”异或逻辑运算符“⊙”同或逻辑运算符异或运算四、几种基本逻辑运算从三种基本的逻辑关系，我们可以得到以下逻辑运算：0•0=0•1=1•0=01•1=10+0=00+1=1+0=1+1=1逻辑代数的基本定律一、基本运算规则A+0=AA+1=1A•0=0•A=0A•1=A二、基本代数规律交换律结合律分配律A+B=B+AA•B=B•AA+(B+C)=(A+B)+C=(A+C)+BA•(B•C)=(A•B)•CA(B+C)=A•B+A•CA+B•C=(A+B)(A+C)普通代数不适用!反演律（摩根定律）A+B+C=A.B.CA.B.C=A+B+C三、吸收规则1.原变量的吸收：A+AB=A证明：A+AB=A(1+B)=A•1=A利用运算规则可以对逻辑式进行化简。例如：被吸收2.反变量的吸收：证明：例如：被吸收3.混合变量的吸收：证明：例如：1公式可推广：例：用真值表证明反演律ABABA+BABA+B000110111110111010001000

AB=A+BA+B=AB证明方法1.利用真值表2.利用基本定律例F=AB=A

B

AB+AB=AB.AB=(A+B)(A+B)=AB+AB=A

B

任何一个含有某变量的等式，如果等式中所有出现此变量的位置均代之以一个逻辑函数式，则此等式依然成立。例：A

B=A+BBC替代B得由此反演律能推广到n个变量：利用反演律逻辑代数的运算公式和规则1.代入规则对于任意一个逻辑函数式F，做如下处理：若把式中的运算符“.”换成“+”,“+”换成“.”；常量“0”换成“1”，“1”换成“0”；原变量换成反变量，反变量换成原变量;那么得到的新函数式称为原函数式F的反函数式。例：F(A、B、C)其反函数为或2.反演规则

保持原函数的运算次序--先与后或，可时适当加入括号。不属于单个变量上的非号有两种处理方法：非号保留，而非号下面的函数式按反演规则变换将非号去掉，而非号下的函数式保留不变。注意对于任意一个逻辑函数，做如下处理：若把式中的运算符“.”换成“+”，“+”换成“.”；常量“0”换成“1”，“1”换成“0”得到新函数式为原函数式F的对偶式F′，也称对偶函数。3.对偶规则如果两个函数式相等，则它们对应的对偶式也相等。例：其对偶式求对偶式时运算顺序不变，且它只变换运算符和常量，其变量是不变的。函数式中有“

”和“⊙”运算符，求反函数及对偶函数时，要将运算符“

”换成“⊙”，“⊙”换成“

”。

注意一、逻辑函数用有限个与、或、非逻辑运算符，按某种逻辑关系将逻辑变量A、B、C、...连接起来，描述输入变量与输出变量之间的逻辑关系，所得的表达式F=f（A、B、C、...）称为逻辑函数。输入变量输出变量§1-3逻辑函数的标准形式五种常用表达式F(A、B、C)“与―或”式“或―与”式“与非―与非”式

“或非―或非”式“与―或―非”式基本形式表达式形式转换二、逻辑函数的表示方法真值表：输入变量不同取值组合与函数值间的对应关系列成表格。挑出函数值为1的项ABCF00000100101110011011101100001101101111101111每个函数值为1的输入变量取值组合写成一个乘积项这些乘积项作逻辑加1.逻辑函数式F=ABC+ABC+ABC把相应的逻辑关系用逻辑符号和连线表示出来。&AB&CD1FF=AB+CD2.逻辑图乘积项用与门实现，和项用或门实现。方法：逐级写出逻辑表达式然后化简。已知逻辑图求逻辑表达式BAABABL&&&11ABABY11111解：例:已知函数的逻辑图如下所示，试求它的逻辑函数式。方法：先化简→转化为需要的形式→画逻辑图对其二次求非求最简与或式用与非门表示例解：已知逻辑表达式求逻辑图ACL&&&&&DB画出对应的逻辑图例:

已知逻辑函数返回&ABCY111&11ABC§1-4

逻辑函数的化简逻辑函数化简的目的：逻辑电路所用的门数量少、每个门的输入端个数少、逻辑电路的级数少，并保证电路可靠的工作。常用的与—或表达式的最简的标准有两条：（1）与项最少，即表达式中“+”号最少；（2）每个与项中的变量数最少，即表达式中“.”号最少。逻辑函数的化简化简后电路简单、可靠性高1.与或表达式的简化方法：并项：利用将两项并为一项，消去变量B消项：

利用A+AB=A消去多余的项AB和互补律、配项：利用重叠律先增添项，再消去多余项BC消元：利用消去多余变量A一、代数法简化函数例：试化简函数解：利用反演律配项加AB消反变量消项AB试求函数的最简或与式解:F对偶式(消去求原函数求对偶式F(最简或与式)F(或与式)求对偶式F′(与或式）

简化F′(最简与或式)2.或与表达式的简化综合运用例1先配项利用A+AB=A消去多余项展开例2代数法化简在使用中遇到的困难：1.逻辑代数与普通代数的公式易混淆，化简过程要求对所有公式熟练掌握；2.代数法化简无一套完善的方法可循，它依赖于人的经验和灵活性；3.用这种化简方法技巧强，较难掌握。特别是对代数化简后得到的逻辑表达式是否是最简式判断有一定困难。所以，介绍另一种方法---卡诺图化简法。3个变量有23（8）个最小项

n个变量的逻辑函数中，包括全部n个变量的乘积项（每个变量必须而且只能以原变量或反变量的形式出现一次）。最小项000001010011100101110111二进制数01234567十进制数m0m1m2m3m4m5m6m7编号n个变量有2n个最小项，记作mi1.最小项二、最小项的定义与性质A(B+C)

是最小项吗？任意一组变量取值，只有一个最小项的值为1，其它最小项的值均为0;同一组变量取值任意两个不同最小项的乘积为0;不同的最小项，使它的值为1的那一组变量取值也不同；全部最小项之和为1。2.最小项的性质001ABC000m0m1m2m3m4m5m6m71000000001000000110100111001011101110000000000001000000100000010000001000000100000011111113.三变量的最小项

为“与或”逻辑表达式；在“与或”式中的每个乘积项都是最小项。4.最小项的表达式例1将化成最小项表达式=m7＋m6＋m3＋m1

例2将

化成最小项表达式去掉非号去括号

将AB乘以可见，任一逻辑函数都可以化成唯一的最小项表达式。图中的一小格对应真值表中的一行，即对应一个最小项AB00011011m0m1m2m3miABC0100011110m0m1m2m3m4m5m6m70001111000011110m0m1m2m3m4m5m6m7m12m13m14m15m8m9m10m11ABCD二变量K图三变量K图四变量K图1.卡诺图（K图）二、图形法化简函数k图为方形图。n个变量的函数--k图有2n个小方格，分别对应2n个最小项。k图中行、列两组变量取值按循环码规律排列，使变量各最小项之间具有逻辑相邻性。上下左右几何相邻的方格内，只有一个因子不同有三种几何相邻：邻接、相对（行列两端）和对称（图中以0、1分割线为对称轴）方格均属相邻。0001111000011110m0m1m2m3m4m5m6m7m12m13m14m15m8m9m10m11ABCD四变量K图两个相邻格圈在一起，结果消去一个变量ABDADA1四个相邻格圈在一起，结果消去两个变量八个相邻格圈在一起，结果消去三个变量十六个相邻格圈在一起，结果

mi=12.K图的特点3.根据函数填写卡诺图已知函数为最小项表达式，存在的最小项对应的格填1，其余格均填0。若已知函数的真值表，将真值表中使函数值为1的那些最小项对应的方格填1，其余格均填0。函数为一个复杂的运算式，则先将其变成与或式，再用直接法填写。（4）一个包围圈的方格数要尽可能多，包围圈的数目要可能少。（3）同一取值为1的方格可以被不同的包围圈重复包围多次，但新增的包围圈中一定要有原有包围圈未曾包围的方格。（1）包围圈内的方格数一定是2n个，且包围圈必须呈矩形。（2）循环相邻特性包括上下底相邻，左右边相邻和四角相邻。X（5）取值为1的方格均要被圈过，不能漏掉取值为1的项。4.作圈的步骤5.卡诺图化简函数规则几何相邻的2i（i=1、2、3…n）个小格可合并在一起构成正方形或矩形圈，消去i个变量，而用含（n-i）个变量的积项标注该圈。6.与或表达式的简化

先将函数填入相应的卡诺图中，存在的最小项对应的方格填1，其它填0。

合并：按作圈原则将图上填1的方格圈起来，要求圈的数量少、范围大，圈可重复包围但每个圈内必须有新的最小项。

按取同去异原则，每个圈写出一个乘积项。

最后将全部积项逻辑加即得最简与或表达式。例1用卡诺图化简逻辑函数1111111111三、图形法简化函数举例逻辑函数最