第五章 信号处理初步

机械工程测试技术基础

第五章信号处理初步（一）基本内容

1.信号分析及信号处理类型；数字信号处理的过程；采样与频率混叠；信号的截断与泄漏；周期信号的整周期截断。

2.相关系数；相关函数（自相关函数、互相关函数）。（二）重点要求1、数字信号处理的一般步骤，如何解决数字信号处理过程出现的问题。2、自相关函数的性质及应用，能够对一个典型的自相关函数进行分析。3、互相关函数的性质及应用。机械工程测试技术基础

第五章信号处理初步§5.1数字信号处理的基本步骤§5.2信号数字化出现的问题§5.3相关分析及其应用§5.4功率谱密度函数机械工程测试技术基础第五章信号处理初步信号分析：研究信号的构成和特征值信号处理：信号经过必要的变换以获得所需信息的过程机械工程测试技术基础一、信号分析信号时间历程分析：信号幅值分析：信号相关分析：信号频域分析：了解它的时变规律。主要是采用直接的观察法，即定性地了解被测对象的大致情况。定量地了解它的中心趋势、波动分量、主次成分以及是否有随机性等。了解两个信号之间是否存在确定的、甚至线性的关系。了解它的频率组成成分，信号幅值、相位在哪些频率上具有相关性，研究信号经过某一系统输出后与原信号之间是否存在可以确定的关系。等等机械工程测试技术基础二、信号处理1、模拟信号处理：由一系列能实现模拟运算的电子设备组成。它们主要由放大器、模拟滤波器、乘法器、微积分放大器等基本组件组成。优点：处理几乎是实时的。缺点：处理精度较差。2、数字信号处理系统：用数字方法处理信号，既可以在通用计算机上借助程序来完成，也可以用专用信号处理器进行。数字化处理优点：极好的稳定性、高灵活性、高精度、高分辨率、为设备智能化和成果共享提供了条件。机械工程测试技术基础§5.1数字信号处理的基本步骤信号预处理：把信号变成适于数字处理的形式，以减轻数字处理的困难。经过预处理后的信号仍是模拟量。模数（A/D）转换：模拟信号向数字信号转换，含采样、量化、编码。数字信号处理器或计算机对离散的时间序列进行运算处理运算结果可以直接显示或打印，如果后接D/A转换和记录仪就可以进行绘图。机械工程测试技术基础§5.2信号数字化出现的问题

一、信号数字化的过程

“数据离散”和“点数有限”是使用数字计算机进行信号分析和处理的两大特点。因此信号数字化必须满足这两个特点。二、数字化处理的若干问题机械工程测试技术基础一、信号数字化的过程采样：将连续变化的模拟信号离散化的过程。量化：把采样取得的各断续点上的幅值和一组离散电平做比较，以最接近采样幅值的电子值代替该幅值。编码：编码过程就是把已量化的数字量用一定的代码表示并输出。通常采用二进制代码。机械工程测试技术基础A/D转换

A/D转换包括了在时间上对原信号进行采样、幅值上的量化及编码，就可以把连续信号变成离散的时间序列，其处理过程如下：

机械工程测试技术基础采样已知信号x(t)，

其频谱为X(f)最高频率值记为fh采样信号s(t)，

其频谱为s(f)，频率间隔为fs且fs＝1/Ts采样即x(t)s(t),其频谱为X(f)*S(f)若fs<2fh，则采样后频谱重叠。（采样定理）机械工程测试技术基础采样定理一个连续的模拟信号，如果它的最高频率分量为fh，则当采样频率fs≥2fh

时，采样后的信号可以无失真地恢复原来的连续信号实际工作中，若使信号为有限带宽信号（具有最高频率fh），必然要把该信号送入低通滤波器滤波处理。在信号采集之前用一个抗混频滤波器，把不感兴趣的频率成分先滤掉。考虑到实际滤波器不可能具有理想的截止特性，在其截止频率后总有一定的过渡带，故采样频率常选（3～4）fh。机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础“点数有限”的处理：用矩形窗函数截断。T为截断时间，又叫采样时间。截断后的信号在时域上为原信号和矩形窗函数的乘积，频域上为原频谱和抽样函数的卷积。卷积的结果使得原频谱出现了很多皱波，说明信号所包含的能量发生了变化。这种现象叫做泄漏。泄漏主要由抽样函数的旁瓣引起。机械工程测试技术基础信号加窗分析与能量泄漏

窗函数正弦信号正弦信号的加窗窗函数的频率正弦信号的频谱主瓣旁瓣.=*=将截断信号谱|X(f)WR(f)|与原始信号谱X(f)相比较可知，它已不是原来的两条谱线，而是两段振荡的连续谱.原来集中在f1处的能量被分散到两个较宽的频带中去了，这种现象称之为频谱能量泄漏。f机械工程测试技术基础泄漏是不可避免的，因为任何的窗函数的频谱都不会变为δ(f)

选择好的窗函数，尽可能减少能量的泄漏。好的窗函数，就是窗函数的频谱尽可能衰减的快，即主瓣和旁瓣的比例尽可能的大。主瓣旁瓣机械工程测试技术基础时域信号可用计算机处理后，其频域仍不是计算机能够处理的离散函数，所以还必须进行频域上的离散化。即乘以频域采样函数D(f)注意：△f是频率分辨力的指标之一，△f越小，频率分辨力越高，不能参加处理的频率成分越少。且T=1/△f时域上采样的结果得到频域上的周期函数，而频域上采样的结果得到时域上的周期函数。这个过程就是离散傅立叶变换(DFT)。因此：DFT意味着时域和频域两方面的周期化。机械工程测试技术基础二、数字化处理中出现的问题（一）频率混叠现象（采样频率过低时出现）

(1)、抗混叠滤波预处理

(2)、满足采样定理（二）泄漏（信号截断时出现）

1、增大采样时间T2、采样其它形式窗函数（三角窗、汉宁窗、指数窗）（三）频率分辨力、整周期截断

△f越小，频率分辨力越高。周期信号进行整周期截断是获得准确频谱的先决条件。

机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础§5.3相关分析及其应用变量的相关是指变量间的线性关系。统计学中用相关系数来描述变量x，y之间的相关性。是两随机变量之积的数学期望，表征了x、y之间的关联程度。用ρxy来表示。一、相关系数ρxy利用柯西-许瓦兹不等式:

，知||≤1。xyxyxyxy机械工程测试技术基础二、信号的自相关函数

1、定义：x(t)为某各态历经随机过程的一个样本记录，x(t+τ)是x(t)时移τ后的样本。记为,简写有：而机械工程测试技术基础若用表示自相关函数，其定义为:从而得得到：自相关函数：描述随机过程一个时刻的幅值与另一个时刻幅值之间的依赖关系。或者说，现在的波形与时间坐标移动了之后的波形之间的相似程度。机械工程测试技术基础2、自相关函数的性质(1)、(2)、(3)、(4)、自相关函数是

的实偶函数，Rx(

)=Rx(-

)；(5)、周期函数(周期为T)的自相关函数仍为同频率的周期函数,但不保留原信号的相位信息。Rx(+nT)=Rx(

)；

机械工程测试技术基础例5-1求正弦函数的自相关函数。初始相位角为一随机变量。解：此正弦函数，是一个零均值的各态历经随机过程，其各种平均值可以用一个周期内的平均值表示之。该正弦函数的自相关函数为式中——正弦函数的周期，令，则。于是可见正弦函数的自相关函数是一个余弦函数，在时具有最大值，但它不随τ的增加而衰减至零。它保留了原正弦信号的幅值和频率信息，而丢失了初始相位信息。机械工程测试技术基础

自相关函数应用之一：用自相关函数判定信号的统计特征参数。机械工程测试技术基础自相关函数应用之二：判定信号的类型。有利于检测和识别淹没在随机噪声中的周期信号。机械工程测试技术基础自相关分析的工程应用：自相关分析测量转速理想信号干扰信号实测信号自相关函数自相关分析的主要应用：用来检测混肴在干扰信号中的确定性周期信号成分。机械工程测试技术基础自相关分析的工程应用

机械工程测试技术基础自相关分析的工程应用

案例：机械加工表面粗糙度自相关分析根据自相关函数性质，提取出回转误差等周期性故障源。观察a(t)的自相关函数Ra(t)，发现Ra(t)呈周期性，这说明造成粗糙度的原因之一是某种周期因素。从自相关函数图可以确定周期因素的频率为

根据加工该工件的机械设备中各运动部件的运动频率(如电动机的转速，拖板的往复运动次数，液压系统的油脉动频率等)，通过测算和对比分析，运动频率与6Hz接近的部件的振动，就是造成该粗糙度的主要原因。机械工程测试技术基础例

图示为某信号的自相关函数图形，试确定该信号是什么类型信号，并在图中表示和的值。

参考答案：

由于该信号自相关函数的幅值随着时间增长快速衰减到某个值，根据自相关函数的性质，可以判断该信号为随机噪声信号。其和的值如图所示。

机械工程测试技术基础三、互相关函数1、定义：两个各态历经随机过程x(t)和y(t)的互相关函数定义为：机械工程测试技术基础2、性质2)两信号错开一个时间间隔

0

处相关程度有可能最高，即Rxy(τ)通常不在τ＝0处取峰值。但可能在τ＝τ0时达到最大值。τ0反映两信号x(t)、y(t)之间的滞后时间。3)当x(t)和y(t)都是随机信号，且该信号各自的均值为零而又互为统计独立时，Rxy(τ)＝0。1)互相关函数描述了两信号之间的一般依赖关系。互相关函数非奇非偶，是可正可负的实函数。机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础即直流信号和纯交流信号不相关机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础互相关技术的工程应用

1、滞后时间的测量（1）测量运动速度（2）确定深埋在地下的输油管裂损的位置。

2、检测混淆在噪声中的信号机械工程测试技术基础1)

确定信号通过一给定系统所需要的时间

一个信号x(t)经过测试系统后输出y(t)的时间τ0，这个时间就是由Rxy(τ)的互相关图中峰值的位置来确定利用互相关分析确定信号通过系统的时间互相关函数的性质互相关技术的工程应用

机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础4）地下输油管道漏损位置的探测tX1X2t机械工程测试技术基础传输通路分析5)

寻找振源——故障诊断

机械工程测试技术基础例：判断

傅立叶级数展开的过程，就是求取信号与单位正弦（或余弦）信号相关的过程。解释：例如周期方波信号和正弦信号做互相关，周期方波信号为，任一个正弦信号为，根据互相关函数“同频相关，不同频不相关”的性质，相关的结果是，则可以根据互相关的结果判定该周期方波信号包含这一频率，同时可以判定此频率上的幅值和相位的大小。同理，用频率为、、等的单位正弦函数与该方波信号分别做互相关，就可以找到此方波信号中包含的频率成分及每个频率成分的幅值和相位，这其实就是周期信号进行傅立叶级数展开的目的。√机械工程测试技术基础功率谱密度函数

自相关函数的傅立叶变换称为自功率谱密度函数或自谱。互相关函数的傅立叶变换称为互功率密度函数或互谱。§5.4功率谱密度函数机械工程测试技术基础一、自功率谱密度函数

若自相关函数Rx(τ)满足傅里叶变换的条件。则对其作傅里叶变换可得

其逆变换为（5.1）（5.2）

Sx(f)为x(t)的自功率谱密度函数，简称自谱。机械工程测试技术基础功率谱Sx(f)与自相关函数Rx(τ)之间是傅里叶变换对的关系，亦即由于Rx(τ)为实偶函数，因此Sx(f)亦为实偶函数。

当τ=0时，根据自相关函数Rx(τ)和自功率谱密度函数Sx(f)的定义，可得Sx(f)曲线下面和频率轴所包围的面积为信号的平均功率；Sx(f)就是信号的功率谱密度沿频率轴的分布，故也称为功率谱。机械工程测试技术基础

上式又称信号能量等式。|X(f)|2称能量谱，它是沿频率轴的能量分布密度。在整个时间轴上信号的平均功率可计算为

自谱密度函数与幅值谱之间的关系为二、巴塞伐尔(Parseval)定理－引出和关系巴塞伐尔定理：信号在时域中计算的总能量等于它在频域中计算的总能量。机械工程测试技术基础三、互功率谱密度函数

若互相关函数Rxy(τ)满足傅里叶变换的条件，

，则定义Rxy(τ)的傅里叶变换 为信号x(t)和y(t)的互功率谱密度函数，简称互谱密度函数或互谱。互谱与互相关函数也是一个傅里叶变换对，即 因此Sxy(f)的傅里叶逆变换为：机械工程测试技术基础

互谱和幅值谱的关系为