高数同济六版课件D13函数的极限

高数同济六版课件D13函数的极限contents目录引言函数极限的定义与性质函数极限的存在条件与判定无穷小量与无穷大量函数极限的计算方法函数极限的应用举例总结与展望01引言123函数的极限是数学分析中的重要概念，是微积分学的基础，对于理解和掌握后续课程内容具有重要意义。数学分析的基础函数的极限在实际问题中有着广泛的应用，如求解瞬时速度、切线斜率等，是解决实际问题的有力工具。解决实际问题通过学习函数的极限，可以培养学生的数学思维能力和逻辑推理能力，提高数学素养。培养数学素养课程的背景与意义

函数的极限概念简介极限思想的萌芽早在古代，人们就已经有了极限的思想，如“一尺之棰，日取其半，万世不竭”等。函数的极限定义函数的极限是描述函数在某一点或某一区间的变化趋势的重要工具，其定义包括趋近于某一点的极限和趋近于无穷大的极限两种。极限的性质函数的极限具有唯一性、局部有界性、保号性等重要性质，这些性质在求解极限问题时具有重要的应用价值。掌握函数的极限概念、性质和求解方法，能够熟练求解各类极限问题。学习目标通过课堂听讲、课后复习、练习巩固等方式，逐步深入理解函数的极限概念和方法，提高解题能力。同时，可以积极参与课堂讨论和小组学习，与他人交流学习心得和解题技巧，共同提高学习效果。学习方法学习目标与方法02函数极限的定义与性质自变量趋于有限值时函数的极限函数极限的定义阐述当自变量趋近于某个确定值时，函数值的变化趋势及极限值的确定。自变量趋于无穷大时函数的极限描述当自变量无限增大时，函数值的变化趋势及极限状态。通过几何图形直观展示函数极限的几何含义，如函数图像与极限值的接近程度等。极限的几何意义在函数极限存在的邻域内，函数值是有界的。局部有界性在函数极限存在的邻域内，函数值的符号与极限值的符号相同。局部保号性若函数在某点的极限存在，则极限值唯一。极限的唯一性若两个函数在某点的极限相同，且第三个函数在这两点之间，则第三个函数在该点的极限也存在且与前两个函数相同。夹逼准则函数极限的性质ABCD极限的四则运算法则极限的和差运算法则两个函数极限存在时，它们的和或差的极限等于各函数极限的和或差。极限的商运算法则若两个函数的极限存在且分母函数的极限不为零，则它们的商的极限等于各函数极限的商。极限的乘积运算法则两个函数极限存在时，它们的乘积的极限等于各函数极限的乘积。极限的幂运算法则若函数的极限存在且为正数，则该函数的任意正整数次幂的极限等于该函数极限的该次幂。03函数极限的存在条件与判定自变量趋于有限值时函数极限的存在条件当自变量x趋于某个有限值x0时，如果函数f(x)的左右极限都存在且相等，则称函数f(x)在x0处有极限。自变量趋于无穷大时函数极限的存在条件当自变量x趋于无穷大时（包括正无穷大和负无穷大），如果函数f(x)的极限存在，则称函数f(x)当x趋于无穷大时有极限。函数极限的存在条件直接代入法对于一些简单的函数，可以直接将自变量的值代入函数表达式中计算极限。因式分解法对于一些较为复杂的函数，可以通过因式分解等方法简化函数表达式，再计算极限。洛必达法则对于0/0型或∞/∞型的未定式，可以使用洛必达法则求解极限。极限的判定方法如果两个函数在某一点的极限都存在且相等，那么这两个函数在该点附近的函数值可以被夹在这两个极限值之间，从而得到原函数在该点的极限值。夹逼定理如果一个函数在某区间内单调增加（或减少），且在该区间内有上界（或下界），则该函数在该区间内必有极限。这个极限值可以通过对函数在该区间内的取值进行夹逼来得到。单调有界定理极限的夹逼定理与单调有界定理04无穷小量与无穷大量无穷小量的定义当自变量趋近于某个值或无穷时，函数值趋近于0的变量称为无穷小量。无穷小量的性质有限个无穷小量的和、差、积仍是无穷小量；有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量。无穷小量的阶数比较设α、β是在同一自变量的变化过程中的两个无穷小量，且α≠0，若β/α的极限为0，则称β是比α高阶的无穷小量，记作β=o(α)；若β/α的极限为∞，则称β是比α低阶的无穷小量；若β/α的极限为c(c≠0)，则称β与α是同阶无穷小量。无穷小量的概念与性质当自变量趋近于某个值或无穷时，函数值趋近于无穷大的变量称为无穷大量。无穷大量的定义两个无穷大量的和、差、积仍为无穷大量；有界函数与无穷大量的乘积不一定是无穷大量。无穷大量的性质类似无穷小量的阶数比较，可以定义无穷大量的阶数比较。无穷大量的阶数比较无穷大量的概念与性质无穷小量与无穷大量之间可以通过取倒数相互转化，即一个无穷小量的倒数是一个无穷大量，反之亦然。在求极限时，可以利用无穷小量与无穷大量的性质进行化简和计算。无穷小量与无穷大量是相对的，一个变量在某一变化过程中是无穷小量，在另一变化过程中可能是无穷大量。无穷小量与无穷大量的关系05函数极限的计算方法03极限幂运算法则若底数函数的极限存在且大于零，指数函数的极限也存在，则幂函数的极限等于底数函数极限的指数函数极限次幂。01极限和差运算法则若两个函数的极限存在，则它们的和或差的极限等于各函数极限的和或差。02极限乘除运算法则若两个函数的极限存在且分母函数的极限不为零，则它们的积或商的极限等于各函数极限的积或商。极限的四则运算法则应用等价无穷小替换原则在求极限过程中，若分子或分母中的某部分可以用等价无穷小替换，且替换后能使计算简化，则可以进行替换。注意事项等价无穷小替换只适用于乘除极限，不适用于加减极限；同时要注意替换的时机，不能在加减极限中随意替换。常用等价无穷小当x→0时，sinx~x，tanx~x，arcsinx~x，arctanx~x，ln(1+x)~x，e^x-1~x等。利用等价无穷小替换求极限对于0/0型或∞/∞型未定式极限，若分子分母都可导且导数不为零，则极限等于分子分母导数的极限。洛必达法则适用条件首先判断极限类型是否为0/0型或∞/∞型；然后求分子分母的导数；接着判断导数极限是否存在；最后根据导数极限求原极限。洛必达法则应用步骤洛必达法则不是万能的，有些情况下使用洛必达法则会使问题复杂化；同时要注意洛必达法则只适用于局部极限的计算，不能用于全局极限的计算。注意事项利用洛必达法则求极限06函数极限的应用举例若函数在某点的极限值等于该点的函数值，则称函数在该点连续。连续性的定义连续函数的性质连续性的应用连续函数具有局部保号性、有界性、最值性等重要性质。连续性在求解函数的极限、判断函数的可导性以及研究函数的图像等方面都有广泛应用。030201连续性的概念与性质导数的定义导数描述了函数在某一点附近的变化率，是函数增量与自变量增量之比的极限。导数的计算根据导数的定义和运算法则，可以计算多项式、三角函数、指数函数等基本初等函数的导数。导数的应用导数在研究函数的单调性、极值、最值以及描绘函数的图像等方面都有重要作用。导数的概念与计算积分的定义01积分是微分的逆运算，表示函数在某个区间上的整体性质。积分的性质02积分具有线性性、可加性、区间可加性等基本性质。积分的应用03积分在求解面积、体积、弧长以及研究函数的平均值等方面都有广泛应用。同时，积分也是研究函数变化规律、进行数值计算和分析实际问题的重要工具。积分的基本概念与性质07总结与展望课程重点回顾函数极限的定义阐述了函数在某一点的极限值及其性质，包括单侧极限、双侧极限等概念。极限的运算法则详细介绍了极限的四则运算法则、复合函数的极限运算法则以及极限的夹逼定理等。无穷小与无穷大讲解了无穷小与无穷大的概念、性质以及它们之间的关系，同时介绍了无穷小阶的比较。函数的连续性与间断点阐述了函数在一点连续的定义、连续函数的性质以及间断点的分类。对于函数极限这一章，概念的理解至关重要。建议多阅读教材，结合实例进行理解。深刻理解概念通过大量的练习，加深对概念的理解，提高解题能力。注重练习熟练掌握极限的运算法则，能够灵活运用法则求解各种极限问题。掌握运算法则定期复习所学内容，巩固知识点，避免遗忘。及时复习01030204学习方法与建议导数与微分介绍