广西桂林市部分学校2022-2023学年高一年级下学期期末考试数学试卷（含解析）

桂林市部分学校2022〜2023学年度下学期期末质量检测

高一年级数学

第I卷选择题

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且

只有一项是符合题目要求的.

1.已知复数Z满足z=3+2i,则Z的虚部为（）

A.-2B.2C.-3D.3

答案：B

解析：因为z=3+2i,所以复数Z的虚部为2,

故选：B.

2.下列各角中，与18。角的终边相同的是（）

A.378oB.78oC.-18oD.118°

答案：A

解析：与18。角的终边相同的角的集合为{力I/?=18。+Z∙360o,k≡7},

令k=l,得到尸=378。，故选项A正确，易知，不存在&eZ,使£=78°,—18。/18°,故选项BCD均不

正确.

故选：A.

3.下列几何体中为台体的是（）

答案：C

解析：A：圆锥，B：圆柱，C：棱台，D：球,

所以属于台体的只有棱台，

故选：C.

4.已知向量d=（l,2）,A=（X,6）,且“〃b，则X=（)

A.2B.-2C.3D.-3

答案：c

解析：因为山妨，所以lχ6=2x,故x=3.

故选：C.

5.下列函数为偶函数的是()

A.y=sinXB.y=cosxc.y=tanxD.y=Inx

答案：B

解析：选项A,由y=sinx的性质知，y=sinX为奇函数，故选项A错误；

选项B,由V=COSX的性质知，V=COSX为偶函数，故选项B正确；

选项C,由y=tanx的性质知，y=tanx为奇函数，故选项C错误；

选项D,因y=Inx的定义域为(0,+8),不关于原点对称，所以y=lnx为非奇非偶函数，故选项D错误.

故选：B.

6.将函数/(x)=sin2x的图象向右平移E个单位长度得到g(χ)图象，则函数的解析式是()

6

A.g(x)=sin(2x+。)B.g(_x)=sin(2x+2)

C.g(x)=sin^2x-yjD.g(x)=sin(2x一看)

答案：C

TT

解析：由题意，将函数/(x)=sin2x的图象向右平移?个单位长度，

6

JTJT

可得g(x)=Sin2(尤---)=sin(2x---).

63

故选C.

7.已知。力,c是三条不同直线，是三个不同的平面，下列命题正确的是()

A.若CdIB,a/∕γ,则4///B.若H,ale,则Z√∕c

C.若;力，。-Lc，则匕J-CD.若a_L万，c_Ly，则用///

答案：A

解析：A中，若a//£,aHγ,由平行与同一平面的两平面平行，可得用//7,所以A正确；

B中，若;/_L.，a±c,则匕与C可能是异面直线，所以B错误；

C中，若aJ_6，a±c,则。与C可能平行，所以C错误；

D中，若αJ∙Q,aLγ,则夕与/可能相交，所以D错误.

故选：A.

8.两个粒子A,8从同一粒子源发射出来，在某一时刻，以粒子源为原点，它们的位移分别为S.=(4,0),

SB=(1,6),此时SzJ在SA上的投影向量为()

1Ic-

Sb

ʌ--^^A∙ISAC.-SAD.SA

答案：B

解析：因为SA=(4,0),SB=(LG),

所以之鸟=4,m=4,

S-SS1

所以品在SA上的投影向量为A卞B广,向A=ISc八.

故选：B

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有

多项是符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的是()

A.长度相等的向量是相等向量B.单位向量的模为1

C.零向量的模为0D.共线向量是在同一条直线上的向量

答案：BC

解析：对于A,长度相等、方向相同的向量叫相等向量，故A错误；

对于B,单位向量的模为1，故B正确；

对于C,零向量的模为O,故C正确；

对于D,方向相同或相反的向量叫共线向量，它们不一定在同一条直线上，故D错误.

故选：BC

10.已知复数z∣=l-i,z2=2i,则()

A.Z2是纯虚数B.z∣-Z2在复平面内对应的点位于第二象限

C.复数Zl的共辗复数为1+iD.Z]Z2=2i-2

答案：AC

解析：对于A,Z2是纯虚数，故A正确；

对于B,z1-z2=（l-i）-2i=l-3i,对应的点的坐标为（1,一3）,位于第四象限，故B错误；

对于C,复数Zl的共粗复数为^=l+i,故C正确；

对于D,z∣Z2=（l-i）∙2i=2i+2,故D错误.

故选：AC

11.函数/（x）=ASin（5+0）（A,ω,。是常数，A>0.ω>0）的部分图象如图所示，下列结论正

确的是（）

A.函数“X）的图象关于直线X=-jj兀对称

B./（X）的图象关于（|兀,θ）中心对称

C.函数/（X）在区间ɪ,ɪ上单调递减

答案：AB

解析：由题意可得，A=2，-屋=石"一1—7）二？，故T=冗,G=2,/(X)=2sin(2x+*),

又因为得）=2Sin（V+0）=-2,故誓〜3兀，)

"+9=2kjι4—~,κ∈Z,

所以0=:+2E∕∈Z,所以/（x）=2sin（C兀C7c.兀

2x+3-+2faιJ=2smI2x+3-J.

1IτrTr3τr

对于A,当X=-Y时，2x+-=一一，满足该函数取得最值的条件，A正确;

1232

5TTTT(5、

对于B,X=—时，2x÷-=2π,则丁,O是该函数的对称中心，B正确；

63k6)

,一,「兀兀C兀「5兀4兀

对于C,当x∈—■时，则/=2%+46■—^,-r-,

5兀4兀

因为函数y=2sinr在—,ʒ-不是单调减函数，

TrTr

所以函数/(χ)在区间上不是单调递减函数，C错误；

π兀兀

对于D,f—+—2sin-=1,D错误.

63

故选：AB

12.已知正方体ABe。一AAGD，则

A.直线BG与直线。A所成的角为60B.直线BG与直线BlA所成的角为60

C.直线BG与平面ABCD所成的角为45D.直线Ba与平面8耳。。所成的角为30

答案：BCD

解析：如图，连接用C、BG,因为A旦/∕CQ∣//CD,A14=GA=C。，

所以四边形ABC。为平行四边形，所以Aθ∕∕B∣c,

所以直线BG与B1C所成的角即为直线BC1与DA1所成的角，

因为四边形B与CC为正方形，则4C∙LBG,故直线8C∣与。A所成的角为90，A错误;

DiC1

对于B,连接A2，D1B1,因为AB∕Λ41g//RG，AB=AiBi=DiCl,

则四边形ABG。为平行四边形，可得A?/∕BC∣,

直线BG与Be所成的角即为AA与8①所成的角,

设正方体棱长为1,则AA=A4=4。=0,

所以A旦2为等边三角形，所以直线8G与Be所成的角为60,故B正确;

因为GC_L平面ABC。，所以NC/C为直线BG与平面ABC。所成的角，易得GBC为等腰直角三角

形，所以NGBC=45,故C正确.

连接4G，设AGBB=O,连接80,

因为BBl1平面A1B1C1D1,C1OU平面A1B1C1D1,则GO1BxB,

因为C0，BQ,BQICBIB=BI,BIDlU平面BBQQ,BiBU平面BBQD,所以GO_L平面BBQO,

所以NCf。为直线BG与平面BBQQ所成的角，

设正方体棱长为1，则GO=巫，BC1=√2,SinNG8。=段=；,

所以，直线BG与平面所成的角为30,故D正确；

故选：BCD.

第∏卷非选择题

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.计算：sin↑50°=.

答案：g

解析：Sin150°=Sift(180°-30o)=sin30°=

2

故答案为：g

14.若向量α=(ι,2)和向量力=(加,一1)垂直，则机=.

答案：2

解析：因为向量α=（1,2）与向量力=（∕n,-l）垂直，

所以α力=m一2=0，解得加=2.

故答案为：2.

15.《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代的算法一致，

根据这一算法解决下列问题：现有一扇形田，下周长（弧长）为10米，径长（两段半径的和）为10米，则

该扇形田的面积为平方米.

答案：25

解析：如图所示，因径长为10米，下周长为10米，即。A+OB=10且AB=IO,

所以扇形所在圆的半径为R=T=5米，

所以该扇形田的面积为S=LXlOX5=25平方米.

2

故答案为：25.

O

16.已知，ABC的外接圆圆心为O,ZA=45o,若Ao=Τ∙AB+夕∙AC（q,夕∈R）,则α+"的最大值

为.

答案：2-JΣ

解析：设ABC三个角A、B、C所对的边分别为“力,c,

取AB,AC中点。,E,连接0£>,QE,

因为,ABC的外接圆圆心为O,所以0。_LAB,OEYAC,

则AB-AO-C--c--C2,ACAO-h-b--b2.

2222

因为Ao=αAB+Z?AC,

所以ABAO=£卜3『+夕ABAC，AC-AO=aAB-AC+β∖λc'∖,

^∙∖i-C2-c2a+^^hcβ<

-b2--bca+b2β，

2222

.√2⅛

a=1-------

解得，2二,

β=*

[2b

所以α+A=2-也已+工-)≤2--×2.∕-×-=2-√2,

2ch>2∖cb

即。=C时，等号成立

Cb

所以α+∕7的最大值为2—J5∙

故答案为：2-J5

C

四、解答题：本大题共6小题，共70分,解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤.

4

17.已知SinO=W,9为第二象限角.

(1)求sin2。的值；

(2)求sin(6+；)的值.

24

答案：(1)——■

25

⑵—

10

(1)

4_3

因为Sine=M,夕为第二象限角，所以COSe=

^5,

4324

故Sin26=2sin6cose=2x-x(—二)=---.

5525

(2)

43

由(I)sinθ——,CC)Se=—,

55

所以sin(e+q=sinOcos—+cosOsin—=当")看

I44425510

18.已知向量a,1满足同=1,W=Jα∙(d+1)=2.

⑴求a∙b；

(2)求α与b的夹角夕；

(3)求卜-2司.

答案：(1)1(2)-

4

(3)√5

(1)

因为同=1，MJ=®，又α∙(α+b)=q2+4.〃=2,

所以“∙b=2-l=L

(2)

a∙b1√2/-\

因为CoS(4,0丽=*=W,又但与6(°'兀),

所以〈郎?故α与。的夹角

(3)

|«-2/?|-a2-4a∙h+4b2=l-4×l+4×2=5,所以卜一2W=6.

19.如图,在四棱锥P—ABC。中,四边形ABC。是菱形√¾=PC,E为PB的中点.求证:

(1)PD平面AEC-,

(2)平面AECj_平面尸BZX

答案：(1)证明见解析

(2)证明见解析

因为。,E分别为BD,PB的中点,所以P。〃EO,

又因为POtJ平面AEC,EOU平面AEC,

所以平面AEC.

(2)

连接PO,如图所示:

因为∕¾=PC,。为AC的中点,所以AC_LPO,

又因为四边形ABCD为菱形,所以AClBD,

因POU平面P3Z),BDu平面P8Z),且POBD=O,

所以AC_L平面PE),又因为ACU平面AEC,

所以平面AEC±平面PBD.

20.在ABC中，角A、B、C的对边分别为a,b,c,且αsin8+√⅛cosA=O.

(1)求角A的大小；

⑵若6=4,ABC的面积S=26，求，ABC的周长.

⑵6+2√7

(1)

因为αsinB+J的CoSA=O,所以由正弦定理可得到SinASinB+GsinBcosA=O)

又因为Be(0,π),所以Sin,

故si〃A+&CoSA=O，得到tanA=-G，又因为Ae(O,π),所以A=g∙

(2)

因为b=4,ABC的面积S=2√i,

所以S=LOCSinA=LX4χ^∙c=2也，得到c=2,

222

在,ABC中，由余弦定理得/=t>-+，-2。CCOSA=I6+4+2χ4χ2χ,=28,

2

所以α=2√7,故CABC的周长为6+2近.

21.已知函数/(x)=Sin2尤+Gsinxcosx+-.

2

（1）求函数f（x）的最小正周期;

（2）求函数的最大值及取得最大值时自变量X的取值集合;

（3）求函数的单调递减区间.

答案：（1）兀

（2）函数的最大值为2,取得最大值时自变量X的取值集合为（x∣尤=m+kτ,keZ

π,5π,._

(3)—Fkτt,----Fkit,攵∈Z

36

(1)

12-cosIx芳

/(Λ)=sinX+君SinXCoSX+；=------------1-----sin2x+-

222

ʌ/ɜ._1_F...兀\1

—sin2元—cos2x+1=si∏(2x—)+1,

226

2兀

所以函数八X）的最小正周期为T=E=九

(2)

TT7ΓTT

当2x-----=—+2kπ,Zr∈Z,即X=—■∖∙kπ,kGZ,

623

时函数∕ω取得最大值为2,

所以函数的最大值为2,

取得最大值时自变量X的取值集合为∣x∣x=→Zτπ,⅛∈zj.

（3）

TrTT4τrTT5冗

当—I-2kτt≤2x—-≤h2〃兀,&∈Z,即Pkτt≤X≤-----Fkit,Z∈Z,

26236

Ji5Tt

所以函数八X）的单调递减区间为-+kπ,-+kπ,k≡Z.

_36_

22.本市某路口的转弯处受地域限制，设计了一条单向双排直角拐弯车道，平面设计如图所示，每条车道宽

为4米，现有一辆大卡车，在其水平截面图为矩形ABCD,它的宽AD为2.4米，车厢的左侧直线Co与

中间车道的分界线相交于E、F，记N"E=e.

TT

（1）若大卡车在里侧车道转弯的某一刻，恰好。=一，且A、B也都在中间车道的直线上，直线8也恰

好过路口边界。，求此大卡车的车长.

（2）若大卡车在里侧车道转弯时对任意。，此车都不越中间车道线，求此大卡车的车长的最大值.

（3）若某研究性学习小组记录了这两个车道在这一路段的平均道路通行密度（辆∕km）,统计如下:

时间7:007:157:307:458:00

里侧车道通行密度IlO120110100110

外侧车道通行密度IlO117.5125117.5110

现给出两种函数模型：①/（x）=ASinfυx+B（A>0,口>0）

②g（x）=α∣x-4+c,请你根据上表中的数据，分别对两车道选择最合适的一种函数来描述早七点以后的

平均道路通行密度（单位：Wkm）与时间X（单位：分）的关系（其中X为7:00后所经过的时间，例如7:30

即x=30分），并根据表中数据求出相应函数的解析式.

答案：（1）8--

15

夜一日

(2)8

π

(3)/(x)=IOsin—X+110；g()=--∣%-30∣+125

30x

(1)

作EM垂足为作FTVLON,垂足为N,

TrTI

因为ZDAE=―,P斤以NMEo=/NOF=/BFO=—,

66

在RtAOE中，EO=2.4Xtan区=如3，在RtZ∖8CR中,"=2=M

兀5

65tan-

6

OE=4=WIOF」~=8

在RtOME中，兀-3，在Rt△<?Nb中，.π

cos—sin—

66

所以Co=OE+OF-EO-CT7=盛+8—述一^^=8—速

35515

442.4

，OFED=2.4tan6,CF=------

CoSeSinetan

4424

所以AB=CO=QE+O/一Eo-C尸=-------1--------2.4tan

cosθsinθtan

4sin^+4cos0-2.4sin20-2.4COS2θ4(Sine+cos9)—2.4

SineCoSeSineCOS6