双曲线及其性质（练习）（含解析）2023年高考数学二轮复习

考点8・3双曲线及其性质

俾练基础

1.（2021•全圜高考真题（文））点（3,0）到双曲线1-4=1的一条渐近线的距离为（）

169

9-8「6c4

A.-B.—C.-D.一

5555

【答案】A

【公析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.

【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：—-ɪɪθ,即3x±4y=0,

169

9+（）Q

结合对称性，不妨考虑点（3,0）到直线3x+4y=0的距离：d=-^-=-.

故选：A.

工分别为双曲线（7:鸟-看=1

2.（2021・山东•高三开学考试）已知片，(a>O,b>O)的

左、右焦点，A,B是C右支上的两点，且直线AB经过点亮.若IA闾=2忸用，以"鸟为

直径的圆经过点B,则C的离心率为（）

A.—B.夜C.√5D.

32

【答案】A

【分析】由以6名为直径的圆经过点B得/耳8名=90。，结合双曲线的定义及勾股定理可得

解.

【详解】由题意得NKB居=90。,设I明|=加，则怛耳∣=∕n+2ɑ,∣A闾=2∕n,I做∣=2m+2α,

IABI=3”,

在Rt在他中，由勾股定理得（租+24J+（3〃?y=（2w+2α）-,解得∕n=1α,

2Q

则I叫I=铲，∖BFl∖=-a,

在R/W中，由勾股定理得ClaJ=（Ze）：化简得c2=g,

所以C的离心率e=£=姮，

a3

故选：A.

22

3.（2。22.广东.深圳外国语学校高三阶段练习）已知双曲线U,>l4>0,/?>0)

的左右焦点分别为X,尸2,。为坐标原点，点尸为双曲线C中第一象限上的一点，/"Pg

的平分线与X轴交于Q,若θQ=gθG,则双曲线的离心率范围为（）

A.（1,2）B.（1,4）C.（√2,2）D.（√2,4）

【答案】B

【分析】根据角平分线的性质得出IP4I=5α,∣P闾=34,利用三角形的三边关系以及双曲

线的性质即可求解.

【详解】设双曲线的半焦距为c（c>0）,离心率为e,

由OQ=则IQKl=Ic,IQKI=5c,

因为PQ是/KPg的平分线，

所以IP制:归q=5:3,

又因为IwHP闾=24,

所以IP周=5α,∣P闻=34,

（5α+30>2cC

所以、C,解得1<一<4,即l<e<4,

[2a<2ca

所以双曲线的离心率取值范围为（1,4）.

故选：B

4.（2022.全国•高考真题（理））若双曲线V-5=I（加>0）的渐近线与圆产+丁―4y+3=0

nΓ

相切，则机=.

【答案】3

3

【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半

径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可.

Y?Y

【详解】解：双曲线>2—泉=IW>0）的渐近线为y=±∖,即X±"‹y=θ,

不妨取x+my=0,0x2+∕-4y+3=O,即f+（y-2）?=1,所以圆心为（0,2）,半径厂=1,

依题意圆心（0,2）到渐近线X+,町，=0的距离〃=尸,=1,

√1+∕H^

解得加或加=一立•（舍去）.

33

故答案为：立.

3

22

5.（2022•河南开封♦高三模拟（理））已知双曲线（7:5-营=1（4>0,6>0）的左、右焦点

分别为A，ɛ,过E作直线/垂直于双曲线的一条渐近线，直线/与双曲线的两条渐近线分

别交于A,B两点,若5A月=68,则双曲线C的离心率e为.

【答案】姮

3

【分析】联立直线方程可得点A,B的坐标，结合5A鸟=玛8,可得，■，进而可得离心率.

【详解】由题意，双曲线C的渐近线为y=±2χ,若过尸2的直线/与直线y=-±χ垂直，垂

aa

足为A,直线/与直线y=gX交于B,玛（G0）,

因为5Ag=gB,所以名在A,B之间，

如图所示，宜线/的方程为y=?X-C'),

y=；(X-C)

a~cabc\

山,

y=——X

a

y=?(X-C)

a1cabc

由,:，得B

ba1-b-'a--b1},

y=-χ

a

abcabc5所以A2鸿2

由5A6二,可得5-,所以

a2+b2∖a2-b1a2-^-h2a2-h2'

所以双曲线C的离心率

同理，过F2的直线/与直线y=2χ垂宜时，双曲线C的离心率e=巫.综上所述，双曲线C

。3

的离心率e为恒,

3

故答案为：叵.

3

2维练能力W

6∙(2022∙山东青岛•二模)设O为坐标原点，抛物线^：)，2=22田(。＞0)与双曲线

C2：5-£=1(。＞0力＞0)有共同的焦点F,过尸与X轴垂直的直线交G于A,8两点，与G

在第一象限内的交点为例，若OM=〃?04+〃O3(m,〃eR),〃"?=：,则双曲线C?的离心率

8

为()

A√5+ln√5+lC√6+√2n√6+2√2

3223

［答案］C

【分析】利用向量的运算建立方程，转化为离心率e的方程求解.

【详解】因为抛物线G：V=2px(p＞0)的焦点尸(§0),

由题可知，c=g即抛物线方程为V=4cx,

令X=C代入抛物线方程V=4cχ,可得y=±2c∙,

元2y2力2

代入双曲线方程会■-方=1,可得产士?,

j2

Xr设A(C,2c),B(c,-2c),M(c,—),

a

m+n=1?

由OM=mOA+几OB(m,〃∈R)有＜从

两边平方相减可得，4∕πn=l-（-）2,

Iac

由mn二三有：b1-y∕2ac，X⅛2=C2—a2

8

β∏c2-a1-∖∣2ac=O，由C=二有：e2-1-42e=O

a

由e〉l,解得e=6+∙∙故A,B,D错误.

2

故选：C.

2ɔ

7.（2022•新疆•三模（理））已知双曲线C:二-6=1（α>0,10）的左、右焦点分别为"，F,,

a~b~

过点Fl且斜率为一3√7的直线与双曲线在第二象限交于点4,M为AF?的中点，且

Λ∕F∣.MF2=O.则双曲线C的渐近线方程是（）

A.y=+y∣3xB.y=±^-χ

3

125

C.y=+—XD.y=±—X

•512

【答案】A

【分析】依题意可得tanNA£g=—3j7,即可求出CoS乙乙，再由M即可得到

∖AF∖=∖FlE∖=2c,由余弦定理求出IA闾，即可得到20=c,再根据c?=储+火即可得到。、

b的关系，即可得解；

【详解】解：由kAF=-3√7,即tanZAFlE,=-3√7,又tanNA^g=SmMg2,且

2

MɪcosZAF1F2

22

sinZAF1F2+cosZAF1F2=I,

解得COSNAeg=-J或COSNA耳玛=J（舍去），

88

由M鸟且M为AF?的中点，知IA用=闺用=2c,

.∙∙M=3c,.∙.2α=网-∣*∣=c,又/=/+〃，

∙'∙b=∖∣3a,渐近线方程为y=±Jlx.

故选：A

8.（2022∙云南师大附中高三阶段练习（文））如图，已知"，死分别为双曲线C：

22

,-方=l（α>0∕>0）的左、右焦点，P为第一象限内一点，且满足优P∣=4α,

(FIP+F1F2)-F2P=O,线段KP与C交于点。，若F[P=2Fg,则C的离心率为()

A.√6B.√5C.2D.√3

【答案】B

【分析】由题意可得。为线段入P的中点；由(KP+KEAEP=O得KQL鸟P,结合双曲

线定义求得IQ片I，利用勾股定理可得IQ6I2+IQKI2=I66F,即得的关系式，求得答

案.

【详解】如图，因为鸟P=2gQ,所以Q为线段gP的中点；

由于(KP+1E)∙鸟尸=0,即2耳0由P=O,所以耳。，跟尸,

所以为等腰三角形，且有|£P|=IKEl=2α

连接「。，又∣6QI=2o,点。在双曲线C匕

由双曲线的定义，可得IQGl-IQ入1=2"，故IQKl=2α+2α=44;

所以在Rt△耳Q耳中,有IQ6F+∣Q5∣2=IG玛|2,即(44+(2α)2=(2c)2,

整理得5∕=c2,所以离心率e=£=0,

a

故选:B.

9.(2022•全国・高三专题练习)如图所示，已知双曲线C:「-5■=l(α>0,b>0)的右焦点为

F,双曲线C的右支上一点A,它关于原点。的对称点为B,满足/AEB=120。，且

忸尸|=2∣A可，则双曲线C的离心率是.

【答案】√3

【分析】连接AU,BF',结合双曲线定义及余弦定理解三角形，可得离心率.

设双曲线的左焦点为尸'，连接AP',BF',

由条件可得忸尸ITAFl=IA产TIAPl=2∖AF∖-∖AF∖=2a,

则IAFl=2α,∖BF∖=4a,ZF'AF=60°,

所以IF尸T=IA9「+1Aff-21AF'HAF∣∙cos/尸AF,

即4c2=16/+4/-16/χL

2

l!∣i4C2=12a2,c=>∕3a

所以双曲线的离心率为：e=-=√3,

a

故答案为百.

10.(2021•青海•大通回族土族自治县教学研究室高三开学考试(文))已知双曲线

C:*-£=l(a>0,b>0)的右焦点为尸，右顶点为A,以坐标原点。为圆心，过点A的圆与双

曲线C的一条渐近线交于位于第一象限的点P,若直线PF的斜率为-3,则双曲线C的渐近

线方程为.

【答案】y=±*

【分析】先由题意得到圆的方程，再与双曲线的渐近线联立得到户的坐标，利用P，尸的坐标

求出直线PF的斜率，得到-『3继而求出双曲线的渐近线方程

【详解1解：由题意得圆的方程为/+V=/,双曲线经过第一象限的渐近线方程为y=2χ,

a

22ab

x+∕=α'解得点尸的坐标为竹片｝有％=

联立方程b_Z__£

a"=b

y=一工-----c

ac

又由直线尸产的斜率为-3,可得-g=-3,有2=?，

ba3

故双曲线C的渐近线方程为y=±gχ.

故答案为：y=±；X

3维练素养f∣∣

11.（2022•江西丰城九中高三开学考试（文））已知牛鸟分别为双曲线C:t-£=l的左、

412

右焦点，E为双曲线C的右顶点.过死的直线与双曲线C的右支交于A8两点（其中点A在

第一象限），设M,N分别为“耳鸟,8"弱的内心，则IMElTN国的取值范围是（）

‹4√34√^

A.-OO-,+8B.

C.D.-,-

\-F3/

【答案】B

【分析】由内心的性质，可知M,N的横坐标都是“，得到MN,X轴，设直线AB的倾斜角

为"有/诚M=当C,NEgN=],将IMEITN£]表示为。的三角函数，结合正切函数的

性质可求得范围.

【详解】设AGAK,耳片上的切点分别为〃、/J

则∖AH^A1IMM=I耳/,内”=厄.

由MTMI=20,得（|々/|+|期|）-（|加|+阳|）=2%

.∖∖HFl∖-∖lF2∖=2a,^∖jFl∖-∖jF^=2a.

设内心M的横坐标为/,山JM_Lx轴得点J的横坐标也为％,则（c+%o）-（。一/）=为,

得AO=”,则E为百线JM与X轴的交点，即J与E重合.

同理可得ABK巴的内心在直线JM上,

设直线AB的领斜角为。,则NE入M=^-,ZEF2N=*,

JT—∩0

∖ME∖-∖NE∖=(c-a)tan——一(e-ɑ)tanɪ

(Θ.Θ∖

cos—sin—

=(C-〃)•22=(c-a)^^-=(c-a)-^-

.θθsinθtanθ

sin—cos—

I22；

TT

当时，IMEl-∣NE∣=O;

2

当。Wg时、由题知，6/=2,c=4,—=ʌ/ɜ,

2a

因为A,8两点在双曲线的右支上，

∙,∙ɪ<^<,且6H,所以tanθ<-∖∣3或tan夕>百，

22

12.（2022・全国•高三专题练习）长为11的线段AB的两端点都在双曲线工-E=I的右支

916

上，则48中点M的横坐标的最小值为（）

【答案】B

【分析】用A、B两点的坐标表示出IEAl和IEBI,（F为双曲线右焦点）解出A、B两点的坐

标，利用（∣E4∣+∣EB∣）≥∣A8∣,求得〃?的最小值.

γ-V2__5

由双曲线L=I可知，〃=3,。=4,c=5,设AB中点M的横坐标为"?，e=二，

9163

则附=IST,网=汩f'

^

^^=;仁|川|+:+1|尸邳+:]=得（|可|+忻8|）+'^^3

m=ΛB1+3χiι+2上

4JkJCJC-j1∖jL⅛10Γ10510

当且仅当F、A、B共线且AB不垂直X轴时，胆取得最小值，此时机=?.

检验：如图，当广、A、8共线且ABj_x轴时，|4码为双曲线的通径，则根据通径公式得

IAM=I=*∙^=,<11,所以ABLX轴不满足题意.

综上，当尸、A、B共线且AB不垂直X轴时，加取得最小值，此时机用.

故选：B.

■›2

13.（2023•四川•成都七中模拟预测（理））已知双曲线C：毛-1=1（4>0,b>O）的

ab

左，右焦点分别是K,尸2,点尸是双曲线C右支上异于顶点的点，点H在直线％=。上，且

/、

满足PH=AΓ^i+Γ^J,2∈R.若5"P+4"K+3"6=0,则双曲线C的离心率为（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

‘丝+”]

【分析】由尸”=4可得H在NKP鸟的角平分线上，由双曲线的定义和切线长

定理可得//为△耳PS的内心，再由内心的向量表示，推得由川:|9|：|即|=5:4:3,再由

双曲线的定义和离心率公式，即可求解.

、用

【详解】因为PH=Zl2所以P”是NEP5的角平分线,

乂因为点/T在直线x=α匕且在双曲线中，点P是双曲线C右支上异于顶点的点,

则△尸耳外的内切圆圆心在直线X=。上，即点H是AP4K的内心，

如图，作出并分别延长心、HF^HFz生点、P、斤、鼻，使得HP'=5HP,

HF；=3HF、,HF;=4HF1,可知"为理的重心，

=mΔHPF=N∣=

设∙^ΔMPFl,^2,∙^ΔWFF2P»由重心性质UJ得15〃7=20〃=}2p,

即M:〃：〃=4:3:5,

又”为△「/:；鸟的内心，所以⑶用：卢耳I：|P61=5:4:3,

因为昭I=2c,所以陶=杂闾哼,阀W电I哼,则为=囱H明哼,

_£_2c_2c

所以双曲线C的离心率e=厂五=互=..

5

故选：C.

【点睛】三角形重心、内心和外心的向量形式的常用结论：

设&ASC的角A,B,C所对边分别为“，b,c,则

(1).ΛBC的重心G满足GA+GB+GC=0;

(2)„ABC的内心P满足aPA+bPB+cPC=O;

(3)-ABC的外心M满足∣ΛM∣=∣Mβ∣=∣MC∣.

14.(2022•辽宁葫芦岛•一模)已知双曲线G的方程］-<=l,其左、右焦点分别是耳，F2,

169

QFΩPFL_F1FLPFL

已知点P坐标为(4,2),双曲线G上点Q小,％),(Xo>°，%>°)满足

贝IJΔF1PQ—SAFJQ=-

【答案】8

【分析】设▲明《的内切圆与三边分别相切于D,E,G,利用切线长相等求得内切圆圆心横坐

F-PF

标为又由悯两」得P在/。4K的平分线匕进而得到P即为内心，应用双

曲线的定义求得面积差即可.

【详解】

如图，设.孙片的内切圆与二边分别相切于。,EG,可得QZ)=QG,耳。="E,gE=gG,

又由双曲线定义可得QK-O8=2α=8,则

QD+DFi-(QG+GF2)=DFt-GF2=EF1-EF2=2a,5LEF,+EF2=Ic,解得环=α+c,则

E点横坐标为。，即内切圆圆心横坐标为

QFt-PFlF2Fi-PFl闻CoSNwQ∖F2F]-∖PF1∖COSZPF1F2

乂IM-WI'可得一的—二—M—'

cosZPF}Q=cos/.PFyF2,即ZPF1Q=ZPFiF2,

即P耳是NQK玛的平分线，由于P(4,2),α=4,可得P即为•毋;月的内心，且半径r