高三第一轮复习-圆的方程及求法

圆的方程及求法

【提纲挈领】(请阅读下面文字，并在关键词下面记着重号)

1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.

2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.

主干知识归纳

1.圆的定义：平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)

2.圆的方程：

标准方程(x—a)2-\-(y—b)2=r2(r>0)圆心：(a,/?),半径：r

圆心：(一茅—f)，

x1+y1+Dx+Ey+F=0

•一般方程

(D2+j?-4F>0)

半径：~^D2+E2-4F

方法规律总结

1.待定系数法求圆的方程

(1)若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a,6r的方程组,

从而求出a,b,r的值；

(2)若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于£>,E,F的方程

组，进而求出D,E,F的值.

2.几何法求圆的方程：

利用圆的有关几何性质，如“圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上”、“半径，弦心距，弦长的一半构成

直角三角形''等.

3.求与圆有关的轨迹问题的四种方法

【指点迷津】

【类型一】确定圆的方程

【例1］：求经过点P(l,l)和坐标原点，并且圆心在直线2x+3y+l=0上的圆的方程

【解析】：设圆的标准方程为(x—a)2+(y—。)2=厂2,

〃2+房=户a=4

由题意列出方程组((〃-1)2+0-1)2=尸

解之得〃二一3,

2。+3/?+1=0r=5

・••圆的标准方程是(x—4)2+0+3)2=25.

答案：(x-4)2+(>-+3)2=25.

【例2］：已知圆心为C的圆经过点40,-6),8(1,-5),且圆心在直线/：x—y+l=0上，求圆的标准

方程.

【解析】：法一：设圆的方程为F+V+Dr+Ey+F=0(£)2+E2-4F>0),则圆心坐标为(一帝一。

(-6)2-6E+F=0

D+E-IO=O[0=6

由题意可得41+(—5)2+。一5E+F=0,消去尸得，,解得，代入求得产=-12,

D-E-2=0[七=4

D-E-2=0

所以圆的方程为/+炉+6工+4)，-12=0,标准方程为(x+3)2+(y+2)2=25.

法二：因为A(0,-6),8(1,-5),所以线段AB的中点。的坐标为一?)，

直线AB的斜率kAn=_5P)=1,

1-0

因此线段AB的垂直平分线I的方程是y+｝一即x+y+5=0.

fx+y+5=0[x—―3

圆心C的坐标是方程组,「的解，解得.',所以圆心C的坐标是(一3,-2).

[x—y+l=0[y=~2

圆的半径长r=|AC|=J(0+3)~+(―6+2厂=5,

所以，圆心为C的圆的标准方程是(x+3)2+(-y+2)2=25.

答案：(X+3)2+G，+2)2=25.

【类型二】与圆有关的轨迹问题

【例1】：己知圆F+)2=4上一■定点A(2,0),为圆内一点，P,。为圆上的动点.

(1)求线段4P中点的轨迹方程；

(2)若NPBQ=90°,求线段PQ中点的轨迹方程.

【解析】：(1)设AP的中点为M(x,y),由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x—2,2y).

因为P点在圆/+9=4上，所以(2x-2)2+(2y)2=4.

故线段AP中点的轨迹方程为(X—1尸+产=1.

(2)设PQ的中点为Mx，y)，在RtZiPBQ中，|PM=由N，设。为坐标原点，连接0N(图略)，则CW_LPQ,

所以|0PF=|0而+|PNF=|。而+IBNF，

所以9+)2+(*—1)2+0—1)2=4.

故线段PQ中点的轨迹方程为x1+y2-x-y-1=0.

答案：⑴(%—l)2+y2=l.(2)9+尸一x—y—1=0.

【例2】：已知直角三角形48c的斜边为AB,且&-1,0),5(3,0),求：

(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC中点M的轨迹方程.

【解析】：(I)设顶点C(x,y),因为AULBC,且A,B,C三点不共线，所以xW3且xW—L

yy

又心。=-77，kBc=---7，且kAC•kBc=11,

x十1X—3

所以卡丁-3=-1,化简得r+V一2x—3=0.

因此，直角顶点C的轨迹方程为/+产―2x—3=O(x#3且xW—l).

⑵设点M(x,y),点C(xo,y)),因为8(3,0),M是线段5c的中点，由中点坐标公式得且x"1),

)'=咛"，于是有xo=2x—3,yo=2)，.

由(1)知，点C在圆(%—1)2+)2=4。£3且xW—1)上运动，将xo,刈代入该方程得(2x—4)2+(2)，＞=4,

即(X-2A+于=1.

因此动点M的轨迹方程为(x—2)2+y2=i(xW3且x^l).

答案：(1)x2+9一2x—3=0(xW3且xH—1).(2)(x—2)2+产=l(xW3且xWl).

例3.(2010•山东烟台调研)若圆r+y2—ax+2y+1=0与圆/+>2=i关于直线y=x—1对称，过点C(一

。)的圆尸与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为()

A.炉一4x+4y+8=0B.y+公一2丁+2=0

C.产+4工―4y+8=0D.y2—2x—y—1=0

【解析】：由圆/+产一水+2厂H=0与圆/+尸=1关于直线y=x-l对称可知两圆半径相等且两圆圆心

连线的中点在直线5=4一1上，故可得4=2,即点。(一2,2),所以过点。(一2,2)且与y轴相切的圆尸的圆

心的轨迹方程为(X+2)2+。-2)2=总整理即得)2+4L4)，+8=0.

答案：C.

【同步训练】

【一级目标】基础巩固组

一、选择题

I.已知两点A(9,4)和B(3,6),则以A8为直径的圆的方程为()

A.(x-6)2+(y-5)2=10B.(x+6)2+0'+5)2=10

C.(x-5)2+(>-6)2=10D.(X+5)2+O'+6)2=1O

【解析】：线段AB的中点坐标(6,5)为圆心坐标，半径="L|AB|=M

2

答案：A.

2.(2014.四川成都外国语学校)已知圆Ci：(x+l)2+(j—1>=1,圆C2与圆Ci关于直线x-y—1=0对称，

则圆C2的方程为()

A.(x+2)2+(>-2)2=IB.(x-2)2+(j+2)2=I

C.(X+2)2+G+2)2=1D.(x-2)2+(y-2)2=l

【解析】：(*+1)2+。-1)2=1的圆心为(-1,1),它关于直线x-y—1=0对称的点为(2,—2),对称后半径

不变，所以圆C2的方程为(X-2)2+G，+2)2=1.

答案：B.

3.若曲线C：1+产+2改一4砂+5a2—4=0上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为()

A.(—oo,—2)B.(—oo,—1)C.(1,+oo)D.(2,+oo)

【解析】：曲线C的方程可化为(*+a)2+0—2a)2=4,则该方程表示圆心为(一。,2。)，半径等于2的圆.因

为圆上的点均在第二象限，所以。>2.

答案：D.

222

4.方程x+y+ax+2ay+2a+a—1=0表示圆，则a的取值范围是()

A.aV—2或B.-1<a<0C.-2<a<0D.-2<a<l

333

222

【解析】：方程x+y+〃x+2纱+2加+4—1=0

2Q2Q2

转化为(犬+q)+G+。)=一上。~—。+1,所以若方程表示圆，则有一上〃~—。+1>0,

244

2O

.•・3〃+4〃-4V0,/.—2<6/<_.

3

答案：D.

5.已知圆C关于)，轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成两段弧长比为1：2,则圆C的方程为()

A.Q±W)2+yB.Q孝)2+产孑

c-M等内D.f+Q萼＞《

【解析】：由己知圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为多t,设圆心(0,。)，半径为一，则rsin：=

1,/ros^=|iz|,解得广=泉，即户=今|。|=坐，

即a=用,故圆c的方程为r+Qq§)=*

答案：C.

二、填空题

6.经过点(1,0),且圆心是两直线x=l与x+y=2的交点的圆的方程为.

[x=\,[x=1,

【解析】：由।得

1x+y=2,[y=l,

即所求圆的圆心坐标为(1,1),又由该圆过点(1,0),得其半径为1,故圆的方程为。-1)2+()-1)2=1.

答案：。-1)2+。-1)2=1.

7.已知圆x2H-y2+2x—4y+a=0关于直线y=2x-\-b成轴对称，则a-b的取值范围是.

【解析】：♦.•圆的方程可化为(x+1)2+。-2/=5—4,・♦•其圆心为(一1,2),且5—〃>0,即aV5.

又圆关于直线y=2x+。成轴对称，・・・2=-2+儿••包=4.・・.a—b=a—4<l.

答案：(一8,1).

8.圆心在直线2x-3y—1=0上的圆与x轴交于A(l,0),8(3,0)两点，则圆的方程为.

【解析】：所求圆与工轴交于41,0),3(3,0)两点，故线段43的垂直平分线X=2过所求圆的圆心，又所求

圆的圆心在直线2x—3y—l=0上，所以两直线的交点坐标即为所求圆的圆心坐标，解之得为Q,l),进一步

可求得半径为加,所以圆的标准方程为(X—2)2+。-1)2=2.

答案：。一2)2+。-1)2=2.

三、解答题

9.已知圆的方程是/+>2+2(根一1)%—4/〃v+5W—2根一8=0,

(1)求此圆的圆心与半径：

(2)求证：不论加为何实数，它们表示圆心在同一条直线上的等圆.

【解析】：(1)配方得：(x+机-1)2+。-2机)2=9

圆心为(1—〃z,2优)，半径r=3.

(2)证明：由(1)可知，圆的半径为定值3,且，

[y=2m

：.2x+y=2.

・••不论历为何值，方程表示的圆的圆心在直线Zx+y—2=0上，且为等圆.

答案：(1)圆心为(1一根,2加)，半径r=3.(2)圆心在直线2x+y—2=0上，且为等圆.

10.(2010•辽宁抚顺调研)已知圆炉十炉=4上一定点A(2,0),8(1,1)为圆内一点，P,。为圆上的动点.

(1)求线段AP中点的轨迹方程；

(2)若NP8Q=90。，求线段PQ中点的轨迹方程.

【解析】：(1)设A尸中点为M(x,y),由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x—2,2y).

・・・P点在圆5+)。=4上，，(右一2)2+(2)，)2=4.

故线段AP中点的轨迹方程为(X—1)2+V=1.

(2)设PQ的中点为N(x，y)，在中，|PN|=|8N|,设。为坐标原点，连接。M则。N_LPQ,

所以IOPF=|CW|2+IPM?=|CW]2+IBM?,

所以户+卡+。-1)2+。-1)2=4.

故线段PQ中点的轨迹方程为/+）?-x-y—1=0.

答案：（l）（x-l）2+y2=l.（2）f+y—x—y—l=0.

【二级目标】能力提升题组

一、选择题

[A=C/0,

1.已知二元二次方程A^+Cy+Dr+Ey+FnO,贝M是方程表示圆的（）

[£>十日一4尸〉0,

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

（A=CM，

【解析】：取A=C=4,0=2,E=2,F=1时，满足彳，〜但是4f+4）2+您+2），+1=0

[。〜+£2—4尸>0,

不表示圆；方程++&2+x+y+i=o表示圆，其中A=g,C=1,0=1,E=l,F=l,但不满足D+E2

-4F>0.综上可知，选D.

答案：D.

2.（2010•浙江宁波调研）若直线/：依+b+4=0（〃>0,方>0）始终平分圆C：W+V+ar+Zy+l：。，则H

的最大值为（）

A.4B.2C.1D.；

【解析】：由题意知，圆C的圆心坐标为（-4,-1）.又直线/始终平分圆C,所以直线/必过圆心，故4

=4a+b>2y[4ab，故ab<1.

答案：C.

二、填空题

3.（2009・扬州调研）若直线依+刀=1过点4儿幻，则以坐标原点。为圆心，0A长为半径的圆的面积的最

小值是.

【解析】：’・,直线or+by=l过点AS，〃）,••ab-\-ab=1,.\ab=^又京，

以。为圆心，0A长为半径的圆的面积：5=兀・。摩=（〃2+加）定2而兀=兀，

工面积的最小值为兀

答案：入

【高考链接】

1.（2016年浙江省文科第1（）题）已知〃£R