广西贵港市港北区2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷+

2022-2023学年广西贵港市港北区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知四个数一3,9,2,d成比例，贝鱼等于（）

A.3B.6C.-3D.-6

2.在RtAACB中，ZC=90°,AB=8,sinA=贝的长为（）

4

A.6B.7.5C.8D.12.5

3.反比例函数y=§的图象与一次函数y=x+2的图象交于点4（a,b）,则a-ab-b的值是（）

A.3B.-3C.-1D.1

4.一组数据：5,6,7,8,x的平均数为7,则这组数据的方差是（）

A.1B.1.5C.2D.2.5

5.下列两个图形一定相似的是（）

A.有一个角为110。的两个等腰三角形B.两个直角三角形

C.有一个角为55。的两个等腰三角形D.两个矩形

6.若rn是关于x的一元二次方程/-%-1=0的根，则3-2爪2+2爪的值是（）

A.2B.1C.4D.5

7.△力BC中，D,E分别是48,4C的中点，8C=6.下面四个结论：

@DE=3；@AADE-ABC；

③△4DE的面积与△ABC的面积之比为1：4；

④AADE的周长与AABC的周长之比为1：4.其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

8.关于x的一元二次方程厩2—4比+2=0有实数根，贝艮的取值范围是（）

A.k=2B.k>2且k力0C.k<2D.k<2且k丰0

9.如图，河坝横断面迎水坡4B的坡比为1：坝高BC为4小，贝IJ4B的长B

度为（）

A.4V-3m

B.8m

C.8/3m

D.16m

10.如图，面积为32C的RtaOAB的斜边OB在久轴上，^ABO=30°,反比

例函数y=5的图象恰好经过点4贝必的值为（）

A.3<3

B.-373

C.-1273

D.-1673

11.如图，在△ABC中，DC平分NACB,8£>1。。于点。,Z.ABD=Z.A,若A

BD=1,AC=7,贝lltan/CB。的值为（）

A.5

B.2<6

C.3

D.726

12.如图，在平面直角坐标系中有菱形04BC,点力的坐标为（5,0）,对角线

OB、4C相交于点D,AD=OB,双曲线y=g（%>0）经过48的中点F，交BC

于点E,下列四个结论：

@AC+OB=6/5;

@S^OABC40；

③E点的坐标是G，4）；

④连。F、CF,贝USACOF=10，则正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

13.函数丫=高的自变量久的取值范围是.

14.如图，在RtZkZBO中，44=90。，点C在40上，乙4cB=45。，tanzD=则

CD

CA=-----•

15.如图，D、E分另（j是△ABC的边2B、AC上的点，且DE〃BC,BE、CD相交于点

2时，四边形DBCE的面积是______./\

。,若S^OOE：S^DOB=1：3,则当S—OE=:

16.一组数据有10个数，它们的平方和是50,平均数是2,则这组数据的方差是______.

17.如图，等边△ABC的边长为6,P,。分别是BC、AC边上点，且NAPD=60°,A

BP=2,贝UCD长为

18.如图，在平面直角坐标系中，2（8,0）,点8是直线y=-%上的动点，以。Bky

为彷作TF方般。BCD.当4R曷小时占。,恰好落中后比例V—也的图象匕mil/r'\

JX

的值为______.

三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

19.（本小题10分）

按要求解下列方程：

（1）%2-4=0（直接开平方法）；

（2）2/+2x-1=0（公式法）.

20.（本小题5分）

2cos60。-（-3）2+|2-<3|-（7T-2023）0.

21.（本小题6分）

如图，Rt△力BC中，ZC=90°,AC=3,BC=4.

（1）在力B上求作一点D,使△力BCsACBD（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）;

（2）在（1）的条件下，求△2CD的周长.

22.（本小题8分）

为了解学生的睡眠情况，某校随机抽取部分学生对他们最近两周的睡眠情况进行调查，得到他们每日平均

睡眠时长x（单位：八）的一组数据，将所得数据分为四组（4：x<8；B：8<%<9；C：9<x<10；D：

x>10）,并绘制成如下两幅不完整的统计图.

根据以上信息，解答下列问题：

（1）本次一共抽样调查了,扇形统计图中。组所对应的扇形圆心角的度数是

（2）将条形统计图补充完整.

（3）若该校共有1200名学生，请估计最近两周有多少名学生的每日平均睡眠时长大于或等于9爪

23.（本小题8分）

消防车是救援火灾的主要装备.图①是一辆登高云梯消防车的实物图，图②是其工作示意图，起重臂

AC（20米WACW30米）是可伸缩的，且起重臂4C可绕点4在一定范围内上下转动，张角/乙4石（90。<

乙CAE<150°）,转动点4距离地面的高度4E为4米.

(1)当起重臂2C的长度为24米，张角ZZ71E=120。时，云梯消防车最高点C距离地面的高度CF的长为

______米.

(2)某日一栋大楼突发火灾，着火点距离地面的高度为26米，该消防车在这栋楼下能否实施有效救援？请

说明理由(参考数据：=1.7)(提示：当起重臂4c伸到最长且张角NC4E最大时，云梯顶端C可以达到最

大高度)

24.(本小题8分)

哈市某展览馆计划将长60米，宽40米的矩形场馆重新布置，展览馆的中间是个1500平方米的矩形展览

区，四周留有等宽的通道.

(1)求通道的宽为多少米？

(2)若展览区用彩色地砖铺设，铺设每平方米需要80元，通道用白色地砖铺设，铺设每平方米需要60元，

铺设整个展馆需要多少钱？

通道

・10米通道］展览区■通道

____________通道

60米

25.(本小题10分)

如图，点4在双曲线y=g(x>0)上，点B在y轴的正半轴上，点C在双曲线丫=一:(><0)上，过点4作

轴，过点C作CN1无轴，垂足分别为M,N.

(1)求阴影部分的面积；

(2)若四边形力BC。是平行四边形，求器的值；

(3)在(2)的条件下，若AM=6,直接写出点B的坐标.

26.(本小题11分)

如图，矩形ABCD中，AB=8,BC=12,E,F分别为BC上两个动点，连接EF,将矩形沿EF折叠，点力,

B的对应点分别为“，G.

(1)如图1,当点G落在DC边上时，连接BG.

图1图2

①求靠的值；

②若点G为DC的中点，求CF的长.

(2)如图2,若E为2。的中点，媒=事求sin/GBC的值.

DrZ

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：根据题意得—3：9=2：d,

所以—3d=18,

解得d=-6.

故选：D.

根据成比例的定义得到-3：9=2：d,然后利用比例的性质可求出d的值.

本题考查了比例线段：对于四条线段b、c、d,如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段

的比相等，如a：b=c：d（即ad=bc）,我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段.

2.【答案】A

【解析】解：如图.

3

•・•Z.C=90°,AB=8,sinA=

4

.“BCBC3

-,-SlnA=AS=T=4-

BC=6.

故选：A.

根据正弦值的定义解决此题.

本题主要考查正弦值的定义，熟练掌握正弦值的定义是解决本题的关键.

3.【答案】B

【解析】解：由于反比例函数y=：的图象与一次函数y=x+2的图象交于点2（a,6）,

所以ab=1,b=a+2,

所以a—ctb—b

=a-b—ab

=-2-1

=-3,

故选：B.

根据反比例函数、正比例函数图象上点的坐标特征，得到ab=l,b=a+2,再代入计算即可.

本题考查一次函数、反比例函数的图象的交点，掌握一次函数、反比例函数图象和性质是正确解答的前

提.

4.【答案】C

【解析】解：由题意知，5+6+7+8+x=5x7,

解得x=9,

则这组数据的方差为：X[(5-7)2+(6-7)2+(7-7)2+(8-7)2+(9-7)2]=2,

故选：C.

先根据算术平均数的定义列式求出x的值，再根据方差的定义计算即可.

本题主要考查方差，解题的关键是掌握算术平均数，方差的定义.

5.【答案】A

【解析】解：4、分别有一个角是110°的两个等腰三角形，其底角等于55。，所以有一个角是110。的两个等

腰三角形相似，此选项符合题意；

2、两个直角三角形的对应锐角不一定相等，对应边不一定成比例，所以两个直角三角形不一定相似，此

选项不符合题意；

C、一个角为55。的两个等腰三角形不一定相似，因为55。的角可能是顶角，也可能是底角，此选项不符合

题意；

。、两个矩形的对应边不一定成比例，所以两个矩形不一定相似，此选项不符合题意.

故选：A.

根据相似图形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个图形一定相似，结合选项，用排除法求解.

本题考查了相似三角形的判定方法、等腰三角形的性质；熟练掌握相似三角形的判定方法和等腰三角形的

性质是解决问题的关键.

6.【答案】B

【解析】解：：山是关于工的二元二次方程/一支—1=0的根，

■■■m2—m—1=0,BPm2—m=1.

3—2m2+2m

—3—2(m2—m)

=3-2x1

=3-2

=1.

故选：B.

把Hl代入方程得到爪2―爪的值，变形代数式后整体代入得结果.

本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.掌握

整体代入的思想方法是解决本题的关键.

7.【答案】C

【解析】解：在AABC中，D、E分别是4B、47的中点，如图，

:△ADEMABC,

故①②正确；

MADEfABC,芸DF=，1

DCL

・•.△4DE的面积与△ABC的面积之比为1：4,

故③正确；

•••△4DE的周长与AABC的周长之比为1：2,

故④错误.

故选：C.

根据题意做出图形，点。、E分别是AB、AC的中点，可得。E〃BC,DE=BC=2,则可证得△力DE-A

ABC,由相似三角形面积比等于相似比的平方，证得AADE的面积与AABC的面积之比为1：4,然后由三

角形的周长比等于相似比，证得△ADE的周长与△力BC的周长之比为1：2,选出正确的结论即可.

此题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形中位线的性质，解答本题的关键是注意掌握数形结合思想

的应用，以及相似三角形的周长之比等于相似比，面积比等于相似比的平方.

8.【答案】D

【解析】解：•••关于x的一元二次方程k--4%+2=。有实数根，

...（—4）2-4x>0,且kK0,

解得k<2且k中0,

故选：D.

根据一元二次方程的定义及根的判别式即可判断.

此题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，熟练掌握一元二次方程的定义及根的判别式是解题的关

键.

9.【答案】B

【解析】解：••・迎水坡4B的坡比为1：<3,

,,,标=7T

BC=4m,

AC=4-\/3m,

由勾股定理得：AB—VBC2+AC2=J42+(4A/"^)2=8(m)，

故选：B.

根据坡度的概念求出AC,再根据勾股定理计算，得到答案.

本题考查的是解直角三角形的应用一坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键.

10.【答案】D

【解析】解：作力。1OB于D,

••,RtAOAB中，Z.ABO=30°,

1

OA^^OB,

•••ZXDO=乙OAB=90°,/-AOD=ABOA,

••.AAOD^LBOA,

.S&AOD__1

VJ

"SABOA~OB~4'

SAAOD=‘SABOA="32A/*5=8y/~3,

•J^LAOD=2%I，

|fc|=

・••反比例函数y=:图象在二、四象限,

k——16V-3.

故选：D.

作4。1OB于D,根据30。角的直角三角形的性质得出。4=^。8,然后通过证得△AOD-aBO4求得△

40。的面积，然后根据反比例函数y=（的几何意义即可求得k的值.

本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，求得△4。。的面积是解答此题的

关键.

11.【答案】B

【解析】解：如图，延长BD交4C于点£

•••DC平分乙4CB,BD1CD于点、D,

.­•乙CDE=4CDB=90°,4DCE=乙DCB.

在ADCE和ADCB中，

NCDE=乙CDB

CD=CD,

/DCE=Z.DCB

2DCE"DCB(SAS).

.・.BD=ED=1.

•••Z.ABD=Zi4,

AE=BE=2.

•・•AC=7,

・•.CE=AC-AE=S.

•••CD=VCE2-DE2=V52—l2=2V-6.

.Dr»_CD_2V_6_r-T

tsnZ.CjBD=7—=--—=2QV6.

BD1

故选：B.

延长BD交AC于点E,先证明从而求出BE的长，再利用等腰三角形的判定求出AE,利用

线段的和差关系求出CE，利用勾股定理求出CD,最后求出NCBD的正切.

本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、勾股定理、等腰三角形的判定、全等三角

形的判定与性质是解决本题的关键.

12.【答案】D

【解析】解：如图，过尸作FGlx轴于点G,过B作BMlx轴于点M,

•••4(5,0),

OA=5.

设。D=%,

AD=2OD=2x.

又AC1BD,

OD2+AD2=OA2.

x2+4x2=25.

x—75,

AC=2AD=4"，OB=20D=2

•••AC+OB=6/5.故①正确.

S菱形04BC=聂67.OB=2x4AA5x2"=20,故②正确.

又S菱形OZBC=BM-OA-5BM=20,

BM=4.

在中，AB=5,BM=4,由勾股定理可得力M=3,

OM=OA-AM=5-3=2.

・・・F为ZB中点，

・•・FG是△ABM的中位线，

113

・•.FG==2,MG=^AM=/

・••7吗2).

•・,双曲线过点F,

7

'­k=xy=-X2=7.

・,・双曲线解析式为y=|(x>0).

由上可知，BM=4,故设E(%,4).

将其代入双曲线y=：(%>0),得4=：，

7

•••X=-.

4

E([,4),故③正确.

S菱形CMBC=20,

SACOF=2s菱形O4BC=13故④正确.

综上所述，正确的结论有。个，

故选：D.

依据题意，过尸作FG1久轴于点G,过B作BMlx轴于点M,设。D=X，从而4D=2。£»=2%,进而分别

求出力C=2AD=475，OB=2OD=2<5,故可判断①②；由菱形的性质可求得的长度，可判断在

RtAABM中，可求得结合三角形中位线定理可以得到点F的坐标，则可求得双曲线解析式；设

E(x,4),将其代入反比例函数解析式求得点E的横坐标，由此可判断③；由菱形的性质可知，ACOF的面

积等于菱形。4BC的面积的一半，再求出菱形的面积即可判断④.

本题主要考查了反比例函数图象上点的特征，熟练掌握运用菱形的性质和勾股定理是解题的关键.

13.【答案】久不2

【解析】解：根据题意比—270,

解得XK2.

故答案为：x大2.

此题对函数y=5中乂的取值范围的求解可转化为使分式有意义，分式的分母不能为0的问题.

本题主要是考查函数自变量％的取值问题，比较简单.

14.【答案吗

【解析】解:在RtAABD中，•.•tan/D=器=全

.♦.设AB=2x,AD=3x,

•••zLACB=45°,

AC=AB=2x,

则CD=AD-AC=3x-2x=x,

._1

"Z;4_2x_2j

故答案为:I.

由tan/D=票=|可设4B=2x、AD=3x,根据〃CB=45。知4c=AB=2x,得出CD=x,继而可得答

案.

本题主要考查锐角三角形函数的定义，解题的关键是熟练掌握正切函数的定义及等腰三角形的性质.

15.【答案】16

【解析】解：.•・S^OOE：S^DOB=1：3,

0E_1

t—=-«

0B3

•・•DE/IBC,

ODE~AOCB,

._1

^~BC='OB=3f

•・•DE〃BC,

.••△/DE〜△ABC,

.S^ADE_（DE、2_小2_1

飞.一。/一（3）-9，

•，S—DE=2,

^LABC=1&

・•・四边形DBCE的面积=S*BC-S“DE=18-2=16,

故答案为：16.

由题意可得出案=9，由相似三角形的性质可得出答案.

UD3

本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.

16.【答案】1

【解析】解：根据求方差公式：----F_nx2^=_Lx(-50-10X4)=1,

故答案为：1.

根据已知条件10个数据的平方和是50,平均数是2,可知应该应用求方差公式，S2=：(埒+必+.•.+

照-晟2)代入求出即可.

此题主要考查了方差的求法，解决问题的关键是对方差公式的正确应用.

17.【答案吗

【解析】解：••・乙B=AAPD=NC=60°,

Z-APC=zB+Z-BAP,

Z-B+Z.BAP=乙APD+Z.CPD,

即MAP=乙CPD,

・•.△ABPfPCD,

•••~CP=CD"

•・•AB=BC=6,BP=2,

；,CP=BC-BP=6—2=4,

.6_2

4CD

4

・'CD=?

答：CD的长为孑

故答案为:

证明△ABPFPCD后,利用相似三角形的性质与判定即可求出答案.

本题考查相似三角形和等边三角形的性质，解题的关键是能够熟练运用相似三角形的判定与性质.

18.【答案】16

【解析】解：当力B最小时，AB1OB,

・・,点B是直线y=-%上的动点，

・••/.AOB=45°,

•••4(8,0),

OA=8,

过点B作BE1。4于点E,

y

贝1JOE=BE=4,

・•・8(4,-4),

•・•四边形。BCD是正方形,

.••点。与点B关于y轴对称,

0(—4,—4)，

,・,点。恰好落在反比例y=(的图象上,

k

-44=--

—4

解得k=16,

故答案为：16.

先利用点B在直线y=-％的图象上，以及04=8,48最小，求出点B的坐标，再根据正方形的性质求出点

。的坐标，最后利用待定系数法求出k的值.

本题考查一次函数的图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，掌握相关函

数图象上点的坐标特征是解题的关键.

19.【答案】解：(1)X2-4=0,

x2=4,

=—2,x2=—2；

(2)2/+2%—1=0,

vJ=22-4x2x(-1)

=4+8

=12>0,

-2±/12-2±2/3-1±/3

•••X=-=7-

442

-1+/3

2,%2=2

【解析】（1）利用解一元二次方程-直接开平方法，进行计算即可解答；

（2）利用解一元二次方程-公式法，进行计算即可解答.

本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，公式法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键.

20.【答案】解：原式=2x1-9+2-<3-l

=1-9+2-<3-1

=-7-73.

【解析】利用特殊角的三角函数值，有理数的乘方法则，绝对值的意义和零指数幕的意义化简运算即可.

本题主要考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，有理数的乘方法则，绝对值的意义和零指数基的意

义，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键.

21.【答案】解：（1）如图，点。即为所求；

.­•乙BDC=90°,

•••乙ACB=Z-BDC,

•・•(B=幺B,

ABC^ACBD；

(2)•・・AACB=90°,AC=3,CB=4,

・•.AB=y/AC2+BC2=V32+42=5,

ABC的周长=3+4+5=12,

•••NA=NA,AACB=乙ADC=90°,

：.LABC-LACD,

.的周长_丝_g

••的周长~AC

・•.△acD的周长=费.

【解析】（1）过点c作CD,48于点。，点。即为所求;

（2）利用相似三角形的判定和性质求解即可.

本题考查尺规作图-作垂线，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定

和性质.

22.【答案】5014.4°

【解析】解：(1)本次调查的学生人数为16+32%=50(名)，

。组所对应的扇形圆心角的度数为360。X。=14.4°；

故答案为：50；14.4°；

(2)4组人数为50-(16+28+2)=4(名),

补全图形如下：

(3)1200x甯=720(名).

答：估计该校最近两周有720名学生的每日平均睡眠时长大于或等于9九

(1)由B组人数及其所占百分比求出总人数，用360。乘以。组人数所占比例即可；

(2)根据总人数求出4组人数，从而补全图形；

(3)用总人数乘以睡眠时长大于或等于9八人数所占比例即可.

本题考查条形统计图、扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是解答本题的关键.

23.【答案】16

【解析】解：(1)如图，过点2作4G1CF,垂足为F.

BED

由题意知：四边形4EFG是矩形.

FG=AE=4米，Z.EAG=AAGC=4AGF=90°.

•••ACAE=120°,

.­.ACAG=ACAE-AEAG=30°.

在RtAAGC中，

•••sm^CAG=第，AC的长度为24米，

・•・CG=ACxsin300

1

=24x-

=12（米）.

・•.CF=CG+GF

=4+12

=16（米）.

答：云梯消防车最高点C距离地面的高度CF的长为16米;

故答案为：16；

当AC=30米，NG4E=150。时,

^HAC=30°.

在Rt△4F/C中，

cosZ-HAC=—,

••・AH=cosZ-HACxAC

=cos30°x30

73

=2x30

=15V3

«1.7x15

=25.5(米).

HE=AE+AH

=4+25.5

=29.5(米).

由题意知，四边形HEFC是矩形，

CF=HE=29.5米，

•••29.5>26,

•••该消防车能够实施有效救援.

(1)过点4作AG1CF,垂足为F.先在RtzlAGC中求出CG,再利用直角三角形的边角间关系求出CF；

(2)先计算当2C长30米、NC4E=150。时救援的高度，再判断该消防车能否实施有效救援.

本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角间关系及线段的和差关系是解决本题的关键.

24.【答案】解：(1)设通道的宽为无米，则中间的矩形展览区的长为(60-2久)米，宽为(40-2x)米，

根据题意得：(60-2x)(40-2%)=1500,

整理得：%2-50%+225=0,

解得：%1=5,K2=45(不符合题意，舍去).

答：通道的宽为5米.

(2)80X1500+60x(60x40-1500)

=80x1500+60x(2400-1500)

=80x1500+60x900

=120000+54000

=174000(元).

答：铺设整个展馆需要174000元钱.

【解析】(1)设通道的宽为x米，则中间的矩形展览区的长为(60-2久)米，宽为(40-20米，根据中间的

矩形展览区的面积为1500平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结

论；

(2)利用总价=单价x面积，即可求出结论.

本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的

关键.

、11

25.【答案】解：(1),•，S^CNO=2x।—阳=2,SMMO=，x|6|=3,

・•・阴影部分的面积=2+3=5；

(2)如图，连接/C交8。于点H,

•・•四边形ZBC。是平行四边形，

・•.AH=CH,

XA=-%C，

frI4I.4.4.._6

•••CN=—=-----=——,AM=—,

%c孙孙xA

.AM_3

'•~CN=2；

/C、AR,，AM3

⑶•••AM=6,—=

.•.点4(1,6),CN=4,

・・•点C坐标为(-1,4),

•••点H(O,5),

OH=5,

•••四边形4BC0是平行四边形，

BH