探究动态几何问题-2023年中考数学知识点练习（江苏）（解析版）

2023年中考数学【热点•重点•难点】专练（江苏专用）

重难点03探究动态几何问题

【命题趋势】

数学因运动而充满活力，数学因变化面精彩纷呈。动态几何问题是近年来中考的一个重难点问题，以

运动的观点探究几何图形或函数与几何图形的变化规律，从而确定某一图形的存在性问题。随之产生的动

态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性

的试题。以动态儿何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。

【满分技巧】

D动态几何问题是以几何图形为背景的，几何图形有直线型和曲线型两种，那么动态几何也有直线型的和

曲线型的两类，即全等三角形、相似三角形中的动态几何问题，也有圆中的动态问题。有点动、线动、面

动，就其运动形式而言，有平移、旋转、翻折、滚动等。根据其运动的特点，又可分为（1）动点类（点在线

段或弧线上运动）也包括一个动点或两个动点；（2）动直线类；（3）动图形问题。

2）解决动态几何题，通过观察，对几何图形运动变化规律的探索，发现其中的‘变量"和"定量”动中求静，

即在运动变化中探索问题中的不变性;动静互化抓住“静''的瞬间，使一般情形转化为特殊问题，从而找到“动

与静”的关系;这需要有极敏锐的观察力和多种情况的分析能力，加以想象、结合推理，得出结论。解决这类

问题，要善于探索图形的运动特点和规律抓住变化中图形的性质与特征，化动为静，以静制动。解决运动

型试题需要用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系

和变量关系，并特别关注--些不变量和不变关系或特殊关系。

3）动态几何形成的存在性问题，重点和难点在于应用分类思想和数形结合的思想准确地进行分类，包括等

腰（边）三角形存在问题，直角三角形存在问题，平行四边形存在问题，矩形、菱形、正方形存在问题。全等

三角形存在问题，相似三角形存在问题等。

A卷（真题过关卷）

一、单选题

I.（2021.江苏苏州.统考中考真题）如图，线段AB=10,点C、。在4B上，AC=BD=1.已知点P从点C出

发，以每秒1个单位长度的速度沿着AB向点。移动，到达点D后停止移动，在点P移动过程中作如下操作：

先以点P为圆心，PA,PB的长为半径分别作两个圆心角均为60。的扇形，再将两个扇形分别围成两个圆锥的

侧面.设点P的移动时间为（秒）.两个圆锥的底面面积之和为S.贝IJS关于t的函数图像大致是（）

【答案】D

【分析】由题意，先求出P4=t+1,PB=9-t,然后利用再求出圆锥的底面积进行计算，即可求出函数

表达式，然后进行判断即可.

【详解】解：根据题意，

•：AB=10,AC=BD=1,且已知点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿着AB向点。移动，到达点

。后停止移动，则0≤t≤8,

：.PA=t+l,

ΛPB=10-（t+l）=9-t,

由PA的长为半径的扇形的弧长为：竺需ɪ2=吗义

.∙.用P4的长为半径的扇形围成的圆锥的底面半径为T

6

.∙.其底面的面积为芈*

由PB的长为半径的扇形的弧长为：怨磬=中

1803

.∙.用PB的长为半径的扇形围成的圆锥的底面半径为?

6

...其底面的面积为畔

36

.∙.两者的面积和S=X誓+△磬=白"(d_8t+41)

363618

.∙.图像为开后向上的抛物线，且当t=4时有最小值；

故选：D.

【点睛】本题考查了扇形的面积公式，二次函数的最值，二次函数的性质，线段的动点问题，解题的关键

是熟练掌握扇所学的知识，正确的求出函数的表达式.

2.(2022.江苏泰州.统考中考真题)如图，正方形ABCD的边长为2,E为与点力不重合的动点，以OE一

边作正方形DEFG.设DE=dι,点、F、G与点C的距离分别为必，ʤ,则由+加+为的最小值为()

4D

A.√2C.2√2

【答案】C

【分析】连接CF、CG、AE,证AADEWACDG(SAS)可得AE=CG,当A、E、F、C四点共线时，即得最

小值；

【详解】解：如图，连接C3CG、AE,

"：Z.ADC=乙EDG=90°

.∖∆ADE=乙CDG

在ATWE和ACDG中，

(AD=CD

".'∖∆ADE=乙CDG

(DE=DG

LAADE三ACOG(SAS)

.".AE=CG

.".DE+CF+CG=EF+CF+AE

当EF+CF+AE=Ae时,最小，

2222

AC=yjAD+CD=√2+2=2√2

.∙.J∕+⅛+⅛的最小值为2女，

故选：C.

【点睛】本题主要考查正方形的性质、三角形的全等证明，正确构造全等三角形是解本题的关键.

3.（2022•江苏南通•统考中考真题）如图，在胤4BCD中，对角线4C,BD相交于点O,AC1BC1BC=4,∆ABC=

60°,若EF过点。且与边4B,CD分别相交于点E,F,设BE=x,0E2=y,则y关于X的函数图像大致为（）

【答案】C

【分析】过点。向AB作垂线，交A8于点M,根据含有30。角的直角三角形性质以及勾股定理可得A8、AC

的长，再结合平行四边形的性质可得AO的长，进而求出0朋、AM的长，设BE=X,则EM=5-X,然后

利用勾股定理可求出y与X的关系式，最后根据自变量的取值范围求出函数值的范围，即可做出判断.

【详解】解：如图过点。向48作垂线，交A8于点

VAC±BC,ZABC=60o,

o

ΛZjβAC=30,

;BC=4,

.∙.A8=8,AC=4√3,

・・・四边形ABCD是平行四边形，

：.AO=-AC=2√3,

2

：.OM=-AO=√3,

2

.MM=y∕AO2-OM2=3,

设BE=x,OE2=y,则EM^AB-AM-EM=8-3-x=5-x,

VOE2=OM2+EM2,

.,.y=(X—5)2+3,

当0≤x<3时，3<y≤28,

当3≤x≤8时，3≤y≤12.

且图像是二次函数的一部分

故选：C.

【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理、含有30。角的直角三角形的性质以及二次函数图象

等知识，解题关键是求解函数解析式和函数值的范围.

4.(2022.江苏苏州.统考中考真题)如图，点A的坐标为(0,2),点B是X轴正半轴上的一点，将线段A3绕

点4按逆时针方向旋转60。得到线段AC.若点C的坐标为(m,3),则,"的值为()

・3333

【答案】C

【分析】过C作CDJ∙X轴于D,CEJ_y轴于E,根据将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60。得到线段AC,

可得△A8C是等边三角形，又A(0,2),C(∕n,3),即得AC=VmzTT=BC=AB,可得BD=y∕BC2-CD2=

√τn2—8,OB-yJ∆B2—OA2-'Jm2—3.从而∙√r∏2_3+√m2—8=m,即可解得Tn-ʒɪ.

【详解】解：过C作CQLX轴于Q,CELy轴于E,如图所示：

二四边形EODC是矩形，

；将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60。得到线段AC,

：.AB=AC,ZBAC=60°,

ZVlBC是等边三角形，

.∙.A8=4C=8C,

VA(0,2),C(/«,3),

,CE=m=OD,CD=3,0A=2,

.'.AE=OE-OA=CD-OA=1,

：.AC=yjAE2+CE2=√m2÷1=BC=AB,

在Rt∆BCD中，BD=√BC2-CD2=√m2-8,

在Rt∆AOB中，OB=y∣AB2-OA2=√m2-3,

∖'OB+BD=OD=m,

.*.Nrri2-3+√m2—8=m，

化简变形得：3∕-22∕√-25=0,

解得：Tn=竽或m=-苧（舍去），

二m=#，故C正确.

故选：C.

【点睛】本题考查直角坐标系中的旋转变换，解题的关键是熟练应用勾股定理，用含〃7的代数式表示相关

线段的长度.

5.（2022.江苏扬州.统考中考真题）如图,在ZUBC中,48<AC,将AABC以点4为中心逆时针旋转得到

点。在BC边上，DE交AC于点F.下歹IJ结论：Φ∆AFE-∆DFC;②DA平分NBDE；©Z.CDF=∆BAD,其中

A.①②B.②③C.①③D.O@③

【答案】D

【分析】根据旋转的性质可得对应角相等，对应边相等，进而逐项分析判断即可求解.

【详解】解：°.♦将AABC以点4为中心逆时针旋转得到A4DE,

△ADE=△ABC,

乙E=ZC,

VZ.AFE=∆DFC,

・•・>AFE~XDFC,故①正确;

VΔADE=△ABC,

・••AB—AD,

ʌ∆ABD=∆ADB1

•・•Z.ADE=Z-ABC,

ʌZ-ADB=∆ADE,

・•・Zλ4平分4BDE,故②正确;

•・•ΔADE=△ABC,

二Z.BAC=∆DAE»

∙∙∙Z.BAD=∆CAE,

VΔAFEDFC，

・•・∆CAE=∆CDF

：•乙CDF=/-BAD，

故③正确

故选D

【点睛】本题考查了性质的性质，等边对等角，相似三角形的性质判定与性质，全等三角形的性质，掌握

以上知识是解题的关键.

6.（2022.江苏连云港.统考中考真题）如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点4、B、。恰好

都落在点。处，且点G、。、C在同一条直线上，同时点E、。、尸在另一条直线上.小炜同学得出以下结

论：©GF//EC-,②AB=吸。；③GE=粕DF；④OC=2√∑OF:（g）∆COF^∆CEG.其中正确的是（）

C.①④⑤D.②③④

【答案】B

【分析】由折叠的性质知NFGE=90。，NGEC=90。，点G为4。的中点，点E为48的中点，⅛AD=BC=2a,

AB=CD=2h,在用ACQG中，由勾股定理求得〃=√∑α,然后利用勾股定理再求得QF=">=2，据此求解即

可.

【详解】解：根据折叠的性质知NOG尸=NOGF,NAGE=NOGE,

：.ZFGE=ZOGF+Z0GE=^(ZDGO+ZAGO)=90°,

同理NGEC=90。，

二ZFGE+ZGEC=ISO0

：.GF//EC；故①正确；

根据折叠的性质知DG=GO,GA=GO,

二DG=GO=GA,即点G为A。的中点，

同理可得点E为48的中点，

设A∕)=BC=2/AB=CD=Ih,贝IJnG=Gc>=GA=α,OC=BC=2a,AE=BE=OE=b,

.∙.GC=34,

在Rf△€ɪ£>G中，CG2=DG2+CD2,

即(3α)2=02+(2b)2,

：.b=∖[2a,

.".AB=2y∕2a=yj2AD,故②不正确；

⅛DF=FO=X,贝IJFC=2∕>-x,

在RrACOF中，CF2=OF2+OC2,

即(20-X)2=X2+(2")2,

∙∖T⅛金昌即DF=Fg总

GE=y∕a2+fc2=√3tz,

・GEʌ/ɜɑr

=-a-=76,

df√?

ΛGE=√6DF:故③正确：

•OC2aɔ/ʒ-

••林="τr=2V2,

of双

ΛOC=2√2OF;故④正确；

；N尸Co与NGCE不一定相等，

AC。FSACEG不成立，故⑤不正确；

综上，正确的有①③④，

故选：B.

【点睛】本题主要考查了折叠问题，解题时，我们常常设要求的线段长为X,然后根据折叠和轴对称的性质

用含.r的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案.

7.（2020•江苏镇江•统考中考真题）如图①，AB=5,射线A用〃BN,点C在射线8N上，将AABC沿AC所

在直线翻折，点8的对应点。落在射线BN上，点尸，Q分别在射线AM、BN上,PQ//AB.设AP=x,QD

=y.若y关于X的函数图象（如图②）经过点E（9,2）,则CoSB的值等于（）

【答案】D

【分析】由题意可得四边形ABQP是平行四边形，可得AP=BQ=x,由图象②可得当x=9时，y=2,此时

点Q在点。下方，且8Q=x=9时，y=2,如图①所示，可求8/）=7,由折叠的性质可求BC的长，由锐角

三角函数可求解.

【详解】解：∙.∙A例〃BMPQ//AB,

.∙.四边形ABQP是平行四边形,

.MP=BQ=X,

由图②可得当x=9时，y=2,

此时点Q在点。下方，且8Q=x=9时，y—2,如图①所示,

图①

：.BD=BQ-QD^x-y=1,

,.•将^ASC沿AC所在直线翻折，点8的对应点。落在射线BN上,

：.BC=CD=-BD=-,ACVBD,

22

7

・D-βc27

・∙cosB=—

AB510

故选：D.

【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，折叠的性质，锐角三角函数等知识.理解函数图象上的点

的具体含义是解题的关键.

8.（2020・江苏无锡•统考中考真题）如图，在四边形ZBCD中（AB>CD）,/.ABC=∆BCD=90o,AB=3,

BC=√3,把RMABC沿着4C翻折得到RMAEC,若tanNaED=则线段DE的长度为（）

【答案】B

【分析】根据已知，易求得4C=2√3,延长CD交AE于F,可得4F=CF=2,则EF=L再过点。作DG1EF,

设CG=Hx,则GE=2x,ED=√7x,FG=1-2x,在RtAFGD中，根据√5FG=GD,代入数值，即可

求解.

【详解】解：如图

,/乙B=90o,BC=√3,AB=3,

：.∆BAC=30°,

：.AC=2√3,

,:乙DCB=90o,

.,.CD//AB,

J.∆DCA=30o,延长CD交4E于F,

，AF=CF=2,贝IJEF=1,∆EFD=60o,

过点。作DG_LE尸，设DG=√5x,则GE=2x,ED=√7x,

：.FG=l-2x,

二在Rt△FGC中，WFG=GD,即百（1-2x）=gx,

解得：T

：.ED=—.

3

故选B.

【点睛】本题目考查三角形的综合，涉及的知识点有锐角三角函数、折叠等，熟练掌握三角形的有关性质,

正确设出未知数是顺利解题的关键.

二、填空题

9.（2022•江苏常州•统考中考真题）如图，将一个边长为20Cm的正方形活动框架（边框粗细忽略不计）扭动

成四边形ABCD,对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到36Cm时才会断裂.若NBAD=60。,则橡皮筋4C

断裂（填"会’'或"不会”,参考数据：√3≈1.732）.

【答案】不会

【分析】设扭动后对角线的交点为。，根据正方形的性质，得出扭动后的四边形为菱形，利用菱形的性质及

条件，得出△48D为等边三角形，利用勾股定理算出TIO=IO8，从而得到AC,再比较即可判断.

【详解】解：设扭动后对角线的交点为0,如下图：

根据正方形的性质得，

得出扭动后的四边形四边相等为菱形，

AD=AB=20cm,

・必48。为等边三角形，

：・BD=20cm,

∙∙∙BO=泗=IoCm,

.∙.AO-Λ∕AB2—BO2=lθV3cm.

根据菱形的对角线的性质：AC=2AO=20√3≈34.64(cm).

•••34.64<36,

二AC不会断裂，

故答案为：不会.

【点睛】本题考查了正方形的性质、菱形的判定及性质、等边三角形、勾股定理，解题的关键是要掌握菱

形的判定及性质.

10.(2022.江苏扬州.统考中考真题)“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验.如图，已知三角形纸片ABC,

第1次折叠使点B落在BC边上的点8'处，折痕4。交BC于点D；第2次折叠使点4落在点。处，折痕MN交AB'

于点P.若BC=12,则MP+MN=.

第1次折叠第2次折叠

【答案】6

【分析】根据第一次折叠的性质求得BD=DB'=和力。1BC,由第二次折叠得到4M=DM,MN1AD,

进而得到MNIlBC,易得MN是△40C的中位线，最后由三角形的中位线求解.

【详解】解：；已知三角形纸片S8C,第1次折叠使点B落在BC边上的点B'处，折痕AC交BC于点D,

.".BD=DB'=-BB,,AD1BC.

2

・.・第2次折叠使点A落在点。处，折痕MN交4方于点P,

：.AM=DM,AN=ND,

：.MNLAD9

，MNIlBC.

*：AM=DM,

,MN是△力。C的中位线，

：.MP=LDBLMN=LDC.

22

♦：BC=12,BD+DC=CB,+2BD=BC,

：.MP+MN=-DB'+-DC=YDB'+DB'+B'C）=-BC=6.

222v72

故答案为：6.

【点睛】本题主要考查了折叠的性质和三角形中位线的性质，理解折叠的性质，三角形的中位线性质是解

答关键.

11.（2021.江苏镇江.统考中考真题）如图，点4,B,C,。在网格中小正方形的顶点处，直线/经过点C,

O,将AABC沿/平移得到AMNO,M是A的对应点，再将这两个三角形沿/翻折，P,。分别是A,”的对

应点.已知网格中每个小正方形的边长都等于1,则PQ的长为

【答案】√W

【分析】连接P。，AM,根据P。=AM即可解答.

【详解】解：连接P0,AM,

由图形变换可知：PQ^AM,

由勾股定理得：ΛΛ∕=√l2+32=√Tθ,

Λpρ=√ιo.

故答案为：VTo.

【点睛】本题主要考查了翻折的性质，勾股定理等知识，明确翻折前后对应线段相等是解题的关键.

12.（2021•江苏无锡•统考中考真题）如图，在RtAABC中，NBaC=90。，AB=2√2,AC=6,点E在线

段4C上，且AE=I,力是线段BC上的一点，连接DE,将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE,

当点G恰好落在线段AC上时，AF=.

【答案】∣√6

【分析】过点F作BWl∙AC于点M,由折叠的性质得尸G=AB=2√Σ,NEFG=乙BAC=90°,EF=AE=I,再

证明AFME-AGFE,得EM=IMF=∣√2,进而即可求解.

【详解】解：过点尸作FMlAC丁点M,

B

；将四边形4BDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE,当点G恰好落在线段AC上，

.'.FG=AB=2√2,ZEFG=Z.BAC=90o,EF=AE=I,

ΛEG=J12+(2√2)2=3,

,.∙ZFEM=ZGEF,ZFME=ZGFE=90°,

ΔFMEGFE9

.EM_EF_MF_1

∙'EF=EG=FG=3,

：.EM=-EF=^,MF=-FG=-√2,

3333

4

.∙.AM=AE÷EM=-,

3

：.AF=>∕AM2+MF2=JG)2+(I©?=∣√6.

故答案是：∣√6.

【点睛】本题主要考查折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，添加辅助线构造”母子相似三角

形”是解题的关键.

13.(2021•江苏盐城.统考中考真题)如图，在矩形ABC。中，AB=3,AD=4,E、F分别是边BC、CO上一

点，EFLAE,将△ECF沿EF翻折得△EC'F,连接ZC',当BE=时，△AEC'是以AE为腰的等腰三

角形.

【答案】软吟

【分析】对AZEL是以AE为腰的等腰三角形分类讨论，当4E=EC'时，设BE=X,可得到EC=4-，再

根据折叠可得到EC=EL=4-万，然后在RtAA8E中利用勾股定理列方程计算即可；当AE=AC，时，过A

作A4垂直于EC'于点"然后根据折叠可得到NC'EF=NFEC,在结合EFJ.4E,利用互余性质可得到48E4=

N4EH,然后证得4ABEgAAHE,进而得到BE="E,然后再利用等腰三角形三线合一性质得到EH=CH,

然后在根据数量关系得到BE=IBC=I

【详解】解：当AE=EC'时，设BE=X,则EC=4-x,

ECF沿EF翻折得△ECF,

：.EC=EC'=4-x,

在Rt∆ABE中由勾股定理可得：AE2=BE2+AB?即(4-x)2=x2+32,

解得：X=J;

当4E=4C'时，如图所示，过A作AH垂直于EC，于点”，

'JAHYEC',AE=AC',

：.EH=CH,

∖'EFLAE,

.'.∆C'EF+∆AEC'=90o,4BEA+NFEC=90°

,.∙ΔECF沿EF翻折得△ECF,

.∖∆C'EF=∆FEC,

J.∕,BEA=ΛAEH,

乙B=乙AHE

在^ABE和仆AHEψ∆AEB=^AEH,

AE=AE

：.AABE^∕∖AHE(AAS),

：.BE=HE,

：.BE=HE=HC',

：.BE=-EC'

2

9f

：EC=EC9

：.BE=-EC,

2

：.BE=LιBC=t4,

33

综上所述，BE=g或%

故答案为：W或1

【点睛】本题主要考查等腰三角形性质，勾股定理和折叠性质，解题的关键是分类讨论等腰三角形的腰，

然后结合勾股定理计算即可.

14.（2021.江苏南京.统考中考真题）如图，将团ABCo绕点A逆时针旋转到EL4B'C'D'的位置，使点夕落在8C

上，B'C'与CD交于点E,若AB=3,BC=4,BB'=1,则CE的长为.

【分析】过点C作CA"∕C'D'交B'C'于点M,证明4∕WB'Sa4。0，求得广。=|,根据AAS证明44B8'≈ΔB'CM

可求出CM=I,再由CM/∕C'D'证明△CMESΔDC'E,由相似三角形的性质查得结论.

【详解】解：过点C作CM/∕C'D'交B'C’于点M,

：平行四边形ABCD绕点Λ逆时针旋转得到平行四边形4夕广》

：.AB=AB',AD=AD',ZB=乙AB'C'=ND=ND',^BAD=/.B'AD'

.,.∆BAB'=∆DAD',NB=NO'

.∖ΔABB'SΔADD'

.BB,ABAB3

•∙7=———.

DD,ADBC4

♦：BB，=1

：.DD'=-

3

.∖C'D=CD'-DD'

=CD-DD'

=AB-DD'

4

=3^3

_5

ɪ3

•：∆AB'C=∆AB'C'+∆CB'M=∆ABC+乙BAB'

：.NCB'M=乙BAB'

∖'B'C=BC-BB'=4-1=3

：.B'C=AB

'：AB=AB'

：.ZABB'=∆AB'B=∆AB'C'

'JAB'∕∕C'D',CD'//CM

：.AB'//CM

：.ZAB'C'=乙B'MC

：.ZAB'B=∆B'MC

在A4B夕和4夕Me中，

∆BAB'=/.CB'M

∆AB'B=LB'MC

AB=B'C

.∖ΔABB'=ΔB,CM

：.BB'=CM=1

∖∙CM∕∕C,D

J.∕∖CMES∆DC'E

.CMCE13

.∙-----=—="J-=_

DCrDE-S

3

・CE3

.,—=—

CD8

：.CE=-3CD=3-AB=3-×3=9-

8888

故答案为：

【点睛】此题主要考查了旋转的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判

定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形和相似三角形是解答本题的关键.

15∙(2021∙江苏淮安•统考中考真题)如图(1),AABC和△4方。是两个边长不相等的等边三角形，点方、

C'、B、C都在直线/上，AABC固定不动，将△C在直线/上自左向右平移.开始时，点C与点B重合，

当点9移动到与点C重合时停止.设C移动的距离为X,两个三角形重叠部分的面积为y,y与X之间

的函数关系如图(2)所示，则AABC的边长是—.

【答案】5

【分析】在点8'到达8之前，重叠部分的面积在增大，当点B'到达B点以后，且点。到达C以前，重叠部

分的面积不变，之后在8'到达C之前，重叠部分的面积开始变小，由此可得出8'C的长度为α,8C的长度

为a+3,再根据AA8C的面积即可列出关于。的方程，求出“即可.

【详解】解：当点B移动到点8时，重叠部分的面积不再变化，

根据图象可知8'C=α,S.,b>c∙=√3,

过点W作A'”，®。，

则AH为AAbC的高，

：ZWSC是等边二角形,

/.NAE"=60°,

.A,H=-a,

∖2

,α,α,

∙'∙SΔA'BC'=^×y即，M=√5,

解得a--2（舍）或a—2,

当点C移动到点C时，重叠部分的面积开始变小，

根据图像可知BC="+3=2+3=5,

二Z∖A8C的边长是5,

故答案为5.

【点睛】本题主要考查动点问题的函数图象和三角函数，关键是要分析清楚移动过程可分为哪几个阶段，

每个阶段都是如何变化的，先是点8到达B之前是一个阶段，然后点。到达C是一个阶段，最后U到达C

又是一个阶段，分清楚阶段，根据图象信息列出方程即可.

16.（2020.江苏徐州.统考中考真题）如图,NMON=30。，在OM上截取CMl=6.过点公作J.OM,

交ON于点当，以点BI为圆心，BIO为半径画弧，交OM于点&；过点4作出B2JLOM,交ON于点殳，以点殳

为圆心，为半径画弧，交OM于点心；按此规律，所得线段42°B2O的长等于.

【答案】219

【分析】根据已知条件先求出的长，再根据外角，直角算出AB142B2是等边三角形，同理可得出其他

等边三角形，即可求出答案.

o

【详解】'-'A1B110M,∆M0N=30,OA1=√3

o

β10=V3÷cos30=2

OBI=BIyll

o

Λ∆B1A2O=30

φ

..Z-A2B1B2=60°

VΛ2B21OM

o

/.Z.B2A2Bi=60

，△当冬巳是等边三角形

•∙A2B2—2

.•"为公当是等边三角形

∙∖A3B3=2×2=4

940B20

同理可得ΔBl是等边三角形

,*,^20^20=219

【点睛】本题考查了直角三角形计算，等腰三角形性质等知识点，发现线段之间的规律是解题关键.

三、解答题

17.(2022•江苏泰州・统考中考真题)已知：AABC中，。为BC边上的一点.

(1)如图①，过点。作。E〃AB交AC边于点E,若A8=5,BQ=9,DC=6,求。E的长；

(2)在图②，用无刻度的直尺和圆规在AC边上作点F,使∕O∕¾=∕4(保留作图痕迹，不要求写作法)

(3)如图③，点尸在AC边上，连接8/、DF,若NOH=/4,△/BC的面积等于TCo∙4B,以尸。为半径作

ΘF,试判断直线BC与。F的位置关系，并说明理由.

【答案】⑴2

(2)图见详解

(3)直线BC与。尸相切，理由见详解

【分析】(1)由题意易得累=；,则有?=；，然后根据相似三角形的性质与判定可进行求解；

BD3CB5

(2)作DT〃AC交AB于点T,作/">F=NA3,射线。尸交AC于点儿则点尸即为所求：

(3)作8R〃CF交FD的延长线于点R,连接CR,证明四边形ABKF是等腰梯形，推出AB=FR,由CF//BR,

推出SACFB=SδCFR=IAB∙CD=TFR∙CD,推出CCO凡然后问题可求解.

【详解】(I),JDE//AB,

/.△CDE—△CBA»

.DE_CD

•・布—ci,

∙.∙A8=5,BD=9,DC=6,

・DE6

.∙-I",

56+9

J.DE=2；

(2)解：作DT"4C交AB于点T,作NT。F=NA7D,射线DF交AC于点F,则点F即为所求;

作8R〃CF交尸力的延长线于点R,连接C7?,如图,

'：ZDFA=AA,

二四边形ABRF是等腰梯形，

：.AB=FR,

：Z∖F3C的面积等于TCD∙AB,

SACFB=SACFR=&4B-CD=-FR-CD,

.".CDlDF,

•.•尸。是。尸的半径，

.∙.直线BC与。F相切.

【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定、平行线的性质与判定及切线的判定，熟练掌握相似三角

形的性质与判定、平行线的性质与判定及切线的判定是解题的关键.

18.(2022•江苏连云港•统考中考真题)【问题情境】在一次数学兴趣小组活动中，小昕同学将一大一小两个

三角板按照如图1所示的方式摆放.其中NACB=NOEB=90。，ZB=30o,BE=AC=3.

【问题探究】小昕同学将三角板OEB绕点B按顺时针方向旋转.

D

(1)如图2,当点E落在边4B上时，延长DE交BC于点F,求BF的长.

(2)若点C、E、。在同一条直线上，求点。到直线BC的距离.

(3)连接DC,取DC的中点G,三角板DEB由初始位置(图1),旋转到点C、B、。首次在同一条直线上(如图

3),求点G所经过的路径长.

(4)如图4,G为DC的中点，则在旋转过程中，点G到直线4B的距离的最大值是.

【答案】(1)2√5

(2)√6±1

,5√3

(o3χ)-TΓ

O

(4严

【分析】(1)在RSBEF中,根据余弦的定义求解即可；

(2)分点E在BC上方和下方两种情况讨论求解即可；

(3)取BC的中点0,连接G。，从而求出OG=K,得出点G在以。为圆心，百为半径的圆上，然后根据弧长

公式即可求解；

(4)由(3)知，点G在以。为圆心，百为半径的圆上，过。作0”_LA8于H,当G在。”的反向延长线上

时，GH最大,即点G到直线AB的距离的最大，在&A80H中求出。"进而可求GH.

【详解】(1)解：由题意得，4BEF=乙BED=9。°,

；在RtABEF中，∆ABC=30o,BE=3,cos∆ABC=—.

BF

：.BF=BE=-ɪ-=2√3.

CQSLABCCOS30O

(2)①当点E在BC上方时，

如图一，过点。作DHlBC,垂足为H,

图1

∙.∙在△?!Be中，"CB=90°,ZyIBC=30°,AC=3,

ΛtanzΛBC=—,

BC

BC=———=---=3>∕3.

tan∆ABCtan300

在ABDE中，WEB=90。，Z-DBE=∆ABC=30°,

DE

BE=3,tan∆DBE=—,

BE

：.DE=BE-tan30o=√3.

,:点C、E、D在同一直线上，且4CEB=90。，

."CEB=180o-Z.DEB=90°.

又：在ACBE中，∆CEB=90°,BC=3√3,BE=3,

CE=y∕BC2-BE2=3√2,

CD=CE+DE=3√Σ+√3.

；在ABCD中，SABCD=Q∙BE=±BC∙DH,

ΛDH=≡=√6.

BC+1

②当点E在BC下方时,

如图二,

A

图2

在ZkBCE中，VzCFB=90o,BE=3,BC=3√3,

/.CE=√βC2-BE2=3√2.

：.CD=CF-DF=3√2-√3.

过点。作。Ml8C,垂足为M.

在ABCC中，SABDC=∣δC-DM=ICD∙BE,

：.DM=√6-1.

综上，点。到直线BC的距离为乃±L

(3)解：如图三，取BC的中点。，连接G。，则Go=TBD=√T

图3

.∙.点G在以。为圆心，g为半径的圆上.

当三角板。EB绕点8顺时针由初始位置旋转到点C、B、。首次在同一条直线上时，点G所经过的轨迹为150。

所对的圆弧，圆弧长为Wx2τrx√^="小

3606

.∙.点G所经过的路径长为尊m

(4)解：由(3)知，点G在以。为圆心，√5为半径的圆上,

如图四，过。作于-/7,

A

当G在O”的反向延长线上时，GH最大,即点G到直线48的距离的最大,

在RmBOH中，NBHo=90°,NOBH=30°,BO=NBC=随

.∙.°∕∕=B°∙siSH=e∙sin3(ΓT

：.GH=OG+OH=>/3+—=—

44

即点G到直线48的距离的最大值为乎.

【点睛】本题考查了勾股定理，旋转的性质，弧长公式，解直角三角形等知识，分点E在BC上方和下方是

解第（2）的关键，确定点G的运动轨迹是解第（3）（4）的关键.

19.（2021•江苏徐州・统考中考真题）如图1,正方形4BCC的边长为4,点P在边AD上（P不与4。重合），

连接PB,PC.将线段PB绕点P顺时针旋转90。得到PE,将线段PC绕点P逆时针旋转90。得到PF.连接

EF1EA1FD.

（1）求证：

①APDF的面积S=gP£）2；

②E4=FD；

（2）如图2,E4F。的延长线交于点M,取EF的中点N,连接MN,求MN的取值范围.

【答案】⑴①见详解；②见详解；⑵4≤MN<2√5

【分析】（1）①过点F作FGLAO交AD的延长线于点G,证明APFG三ACPD,即可得到结论；②过点E

作E”_LD4交D4的延长线于点从证明APEH三4BP4结合△PFG三△CPD,可得GO=EH,同理:FG=A〃，

从而得△4HE≡ΔFGD,进而即可得到结论：

（2）过点尸作尸G_LAO交的延长线于点G,过点E作E从ID4交DA的延长线于点”,可得NAMD=90。，

MNWEF,"G=2AD=8,EH+FG=AD=A,然后求出当点尸与点。重合时，EF最大值=4近，当点P与AD

的中点重合时，EF最小值="G=8,进而即可得到答案.

【详解】（1）①证明：过点F作FGLAn交Ao的延长线于点G,

图1

∙.∙ZFPG+ZPFG=90o,ZFPG+ZCPn=90°,

.,.NFPG=NCPD,

又VNPGF=ZCDP=90o,PC=PF,

：.∆PFG≡ΔCPD(AAS),

,FG=PD,

."POF的面积S=»6FG=”屏；

②过点E作EHlDA交DA的延长线于点H,

图1

∙.∙ZEPH+ZPEH=90°,ZEPH+ZB∕¾=90o,

：.ZPEH=ZBPAt

又*：NPHE=∕BAP=90°,PB=PE,

MPEH*BPA(AAS),

：.EH=PA,

由①得：FG=PD,

：.EH+FG=*PD=AD=CD,

由①得：APFG毛ACPD,

IPG=CD,

：.PD+GD=CD=EH+FG,

：.FG+GD=EH+FG,

：.GD=EH,

同理：FG=AH,

又TZAHE=ZFGDf

：.△AHE=AFGDf

：.EA=FD；

(2)过点尸作/G_LA。交AQ的延长线于点G,过点E作Ea_LD4交的延长线于点”,

图2

由(1)得：△AHE≡∆FGD,

工NHAE=NGFD,

∙//GFD+/GDF=9。。,

o

.∖ZHAE+ZGDF=90t

VZHAE=ZMAD1ZGDF=ZMDA1

：.NMA。+NMQA=90。，

JNAMZ>90。，

∙.∙点N是EF的中点,

.".MN=2-EF,

•：EH=DG=AP,AH=FG=PD,

：.HG=AH+DG+AD=PD+AP+AD=2AD=S,EH+FG=AP+PD=AD=4,

此时EF最大值=√42+82=4√5,

当点尸与AO的中点重合时，FG=2,EH=2,HG=S,

此时E尸最小值=HG=S,

.∙.MN的取值范围是：4<MΛ∕<2√5.

【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，添加辅助线，

构造直角全等的直角三角形，是解题的关键.

20.(2021•江苏宿迁•统考中考真题)已知正方形ABCO与正方形AEFG,正方形AEFG绕点A旋转一周.

(1)如图①，连接BG、CF,求票的值；

oG

(2)当正方形AWG旋转至图②位置时，连接CABE,分别取C尸、BE的中点M、N,连接试探究:

MN与8E的关系，并说明理由；

(3)连接BE、BF,分别取8£、BF的中点MQ,连接QV,AE=6,请直接写出线段QN扫过的面积.

【答案】（1）√Σ;（2）MN1BE;MN=^BEt（3）9π

【分析】（I）由旋转的性质联想到连接4尸、AC,证明∕C4Fs4B4G即可求解；

（2）由M、N分别是CE8E的中点，联想到中位线，故想到连接并延长使BW=M”,连接"/、EH,

则可证ZIBMC三ZlHM尸即可得到HF=BC=BA,再由四边形BEFC内角和为360。可得∕B4C=/.HFE,则可

证明4B4E三/HFE,即ZBHE是等腰直角三角形，最后利用中位线的性质即可求解；

（3）。、N两点因旋转位置发生改变，所以Q、N两点的轨迹是圆，又。、N两点分别是8尸、BE中点,所

以想到取AB的中点O,结合三角形中位线和圆环面积的求解即可解答.

【详解】解：（1）连接力F、AC

•••西边形ABCD和四边形AEFG是正方形

.∙.AB=BC,AG=FG/BAD=∆GAE=∆CBA=Z.AGF=90°

∙∙∙AF.AC分别平分NE4G,NB4D

Λ4BAC=∆GAF=45°

.∙.∆BAC+/.CAG=/.GAF+“AG即4B4G=/.CAF

且Λ4BC,ZL4GF都是等腰直角三角形

ACAF.

—=—=√r2

ABAG

■■■ΔCAFSΔBAG

CFAC.

——=—=√r2

BGAB

B

E

(2)连接并延长使3M=M”,连接/7/、EH

∙∙∙M是CT的中点

・•・CM=MF

又NCMB=乙FMH

.∙.ΔCMB≡ΔFMH

BC=HF，乙BCM=乙HFM

在四边形BEFe中

乙BCM+乙CBE+乙BEF+乙EFC=360°

又(CBA=∆AEF=90°

ʌ乙BCM+∆ABE+Z-AEB+乙EFC=360°-90°-90°=180°

BPzHFM+乙EFC+乙ABE+∆AEB=180°

即NHFE+∆ABE+∆AEB=180°

・・•∆BAE+Z.ABE+∆AEB=180°

・•・乙HFE=乙BAE

又四边形ABCD和四边形AEFG是正方形

BC=AB=FHtEA=EF

ʌΔBAE三ΔHFE

BE=HE.乙BEA=乙HEF

・・•乙HEF+乙HEA=∆AEF=90°

・・・乙BEA+Z.HEA=90°=(BEH

・・・三角形3E”是等腰直角三角形

-M.N分别是34、BE的中点

1

.∙.MN/∕HE,MN=-HE

1

・•・乙MNB=乙HEB=90。,MN=-BF

1

・・・MN1BE,MN=qBE

(3)取A3的中点0,连接。。、ON,连接A尸

在44BF中，。、Q分别是A8、BF的中点

1

ʌOQ=-AF

同理可得ON=TAE

∙.∙AF=丘AE=6√2

.∙.OQ=3√2,ON=3

所以QN扫过的面积是以。为圆心，3夜和3为半径的圆环的面积

二S=(3√2)27Γ—32τr=9τr.

【点睛】本题考查旋转的性质、三角形相似、三角形全等、正方形的性质、中位线的性质与应用和动点问

题，属于几何综合题，难度较大.解题的关键是通过相关图形的性质做出辅助线.

21.(2021•江苏连云港•统考中考真题)在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动.

(1)ZkABC是边长为3的等边三角形，E是边4?上的一点，且4E=1,小亮以BE为边作等边三角形BEF,

如图1,求CF的长；

图1图2

(2)△4BC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一个动点，小亮以BE为边作等边三角形8EF,如图2,

在点E从点C到点A的运动过程中，求点尸所经过的路径