连续函数运算及初等函数连续性(new)

连续函数运算及初等函数连续性(new)目录连续函数的概念连续函数的运算初等函数的连续性函数的不连续点函数的不连续性的影响01连续函数的概念Part如果函数在某点的左右极限相等，且等于该点的函数值，则函数在该点连续。函数在某点连续的定义如果函数在区间内的每一点都连续，则称函数在该区间上连续。函数在区间上连续的定义连续函数的定义连续函数的性质连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为连续函数。复合函数在定义域内是连续的，只要其内部的函数和外部的函数都是连续的。反函数与原函数具有相同的连续性。STEP01STEP02STEP03连续函数的图像在直角坐标系中，连续函数的图像可以用光滑的曲线表示。在极坐标系中，连续函数的图像可以用光滑的曲线表示。连续函数的图像是连续不断的曲线。02连续函数的运算Part010203定义如果$f(x)$和$g(x)$在某点$x_0$处连续，则$f(x)+g(x)$也在$x_0$处连续。证明由于$f(x)$和$g(x)$在$x_0$处连续，所以$lim_{xtox_0}f(x)=f(x_0)$和$lim_{xtox_0}g(x)=g(x_0)$。因此，$lim_{xtox_0}(f(x)+g(x))=lim_{xtox_0}f(x)+lim_{xtox_0}g(x)=f(x_0)+g(x_0)$。应用例如，考虑函数$f(x)=x^2$和$g(x)=x+1$，它们的和$f(x)+g(x)=x^2+x+1$在$x=0$处连续。加法运算定义如果$f(x)$和$g(x)$在某点$x_0$处连续，则$f(x)-g(x)$也在$x_0$处连续。证明由于$f(x)$和$g(x)$在$x_0$处连续，所以$lim_{xtox_0}f(x)=f(x_0)$和$lim_{xtox_0}g(x)=g(x_0)$。因此，$lim_{xtox_0}(f(x)-g(x))=lim_{xtox_0}f(x)-lim_{xtox_0}g(x)=f(x_0)-g(x_0)$。应用例如，考虑函数$f(x)=x^2$和$g(x)=x+1$，它们的差$f(x)-g(x)=x^2-x-1$在$x=0$处连续。减法运算定义如果$f(x)$和$g(x)$在某点$x_0$处连续，则$f(x)cdotg(x)$也在$x_0$处连续。证明由于$f(x)$和$g(x)$在$x_0$处连续，所以$lim_{xtox_0}f(x)=f(x_0)$和$lim_{xtox_0}g(x)=g(x_0)$。因此，$lim_{xtox_0}(f(x)cdotg(x))=lim_{xtox_0}f(x)cdotlim_{xtox_0}g(x)=f(x_0)cdotg(x_0)$。应用例如，考虑函数$f(x)=x^2$和$g(x)=x+1$，它们的乘积$f(x)cdotg(x)=x^3+x^2$在$x=0$处连续。乘法运算除法运算定义如果$f(x)$和$g(x)$在某点$x_0$处连续且$g(x_0)neq0$，则$frac{f(x)}{g(x)}$也在$x_0$处连续。证明由于$f(x)$和$g(x)$在$x_0$处连续，所以$lim_{xtox_0}f(x)=f(x_0)$和$lim_{xtox_0}g(x)=g(x_0)$。由于$g(x_0)neq0$，所以$lim_{xtox_0}frac{f(x)}{g(x)}=frac{lim_{xtox_0}f(x)}{lim_{xtox_0}g(x)}=frac{f(x_0)}{g(x_0)}$。应用例如，考虑函数$f(x)=x03初等函数的连续性Part一次函数的连续性一次函数$f(x)=ax+b$在定义域内是连续的。一次函数在任意一点$x$处的极限等于该点的函数值，即$lim_{xtox_0}f(x)=f(x_0)$。一次函数在定义域内的任何点都满足连续函数的性质。二次函数在任意一点$x$处的极限等于该点的函数值，即$lim_{xtox_0}f(x)=f(x_0)$。二次函数在定义域内的任何点都满足连续函数的性质。二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$在定义域内是连续的。二次函数的连续性对数函数$f(x)=log_ax$在定义域$(0,+infty)$内是连续的。对数函数在任意一点$x$处的极限等于该点的函数值，即$lim_{xtox_0}f(x)=f(x_0)$。对数函数在定义域内的任何点都满足连续函数的性质。010203对数函数的连续性三角函数$f(x)=sinx,cosx$在定义域内是连续的。三角函数在任意一点$x$处的极限等于该点的函数值，即$lim_{xtox_0}f(x)=f(x_0)$。三角函数在定义域内的任何点都满足连续函数的性质。010203三角函数的连续性04函数的不连续点Part第一类不连续点跳跃不连续点函数在第一类不连续点处的值是确定的，但在该点附近无法通过有限次加减乘除运算来定义。函数值可预知第一类不连续点通常可以通过函数在其他点的值来预估，但由于其不连续性，无法通过数学运算精确求得。无穷大或无穷小当函数在某一点处的值趋于无穷大或无穷小时，该点即为第二类不连续点。函数值无法预测由于第二类不连续点处函数值的变化趋势不确定，因此无法通过其他点的函数值来预估该点的函数值。第二类不连续点第三类不连续点当函数在某一点处的值趋于无穷大或无穷小时，且该点的变化趋势是垂直的，则该点为第三类不连续点。垂直渐近线当函数在某一点处的值趋于一个常数，且该点的变化趋势是水平的，则该点为第三类不连续点。水平渐近线05函数的不连续性的影响Part对函数值的影响跳跃不连续性在跳跃不连续点处，函数值从一个值突然跳到另一个值，可能导致函数值无法预测。振荡不连续性在振荡不连续点处，函数值在很小的区间内反复变化，可能导致函数值不稳定。无穷大不连续性在无穷大不连续点处，函数值可能变得无穷大，导致函数值无法控制。STEP01STEP02STEP03对函数图像的影响图像断裂在振荡不连续点附近，函数图像可能产生剧烈的振荡，影响图像的视觉效果。图像振荡图像无限伸展在无穷大不连续点处，函数图像可能无限伸展，导致图像失真。不连续的函数图像可能在不连续点处断裂，使得图像无