高三数学三垂线定理1

关于高三数学三垂线定理1

复习回顾

基础应用三垂线定理及其逆定理（一）PCBA能力拓展课堂练习第2页,共18页，2024年2月25日，星期天一基本概念：三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。第3页,共18页，2024年2月25日，星期天1、三垂线定理包括5个要素：一面(垂面)；四线（斜线、垂线、射影和平面内的直线)。

顺口溜：一定平面，二定垂线，三找斜线，射影可见，直线随便。2、“三垂线”的含义：（1）垂线与平面垂直（2）射影与平面内的直线垂直（3）斜线与平面内的直线垂直定理内容分析：第4页,共18页，2024年2月25日，星期天二、基础性练习：1、若一条直线与平面的一条斜线在此平面上的射影垂直，则这条直线与斜线的位置关系是（）（A）垂直（B）异面（C）相交（D）不能确定2、如图四面体中，如果AB是直径，Ｃ为圆周上任意点且ＰＡ垂直于平面ＡＢＣ．那么该四面体最多有多少个直角三角形（）（A）有一个直角三角形（B）有两个直角三角形（C）都是直角三角形（D）一定都不是直角三角形DCPCBA第5页,共18页，2024年2月25日，星期天三、例题分析：例１、空间四边形ABCD中，AB垂直于CD，BC垂直于AD，求证：AC⊥BD。证明：如图，若AB是平面BCD的斜线，过A作AO⊥平面BCD于O，连结BO，∵AB⊥CD，∴CD⊥BO（三垂线逆定理）.同理可得BC⊥OD，则O为∆BCD的垂心，∴BD⊥OC，∵OC是AC的射影，∴BD⊥AC（三垂线定理）。OABCD第6页,共18页，2024年2月25日，星期天例2.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，连结BD1，AC，CB1，B1A，求证：BD1⊥平面AB1C∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD

又DD1⊥平面ABCD∴BD是斜线D1B在平面ABCD上的射影∵AC在平面AC内，∴BD1⊥ACA1D1C1B1ADCB而AB1，AC相交于点A且都在平面AB1C内∴BD1⊥平面AB1C证明：连结BD，

请同学思考：如何证明BD1⊥AB1

连结A1B第7页,共18页，2024年2月25日，星期天例3.如图所示,已知PA⊥平ABC,∠ACB=90°，AQ⊥PC，AR⊥PB，试证∆PBC、∆PQR为直角三角形。证明：∵PA⊥平面ABC，∠ACB=90°，

∴AC⊥BC，AC是斜线PC在平面ABC的射影，∴BC⊥PC（三垂线定理），

∴∆PBC是直角三角形；∴BC⊥平面PAC，AQ在平面PAC内，∴BC⊥AQ，又PC⊥AQ，∴AQ⊥平面PBC，∴QR是AR在平面PBC的射影，又AR⊥PB，∴QR⊥PB（三垂线逆定理），∴∆PQR是直角三角形。第8页,共18页，2024年2月25日，星期天√×⑴若a是平面α的斜线，直线b垂直于

a在平面α内的射影，则a⊥b（）⑷若a是平面α的斜线,b∥α,直线

b垂直于a在平面α内的射影，则a⊥b（）⑶若a是平面α的斜线，直线b

α

且b垂直于a在另一平面β内的射影则a⊥b（）⑵若a是平面α的斜线，平面β内的直线b垂直于a在平面α内的射影，则a⊥b（）四课堂练习1.判断下列命题的真假：面ABCD→面α直线A1C→斜线a直线B1B→垂线b××ADCBA1D1C1B1面ABCD→面α面B1BCC1→面β直线A1C→斜线a直线AB→垂线b面ABCD→面α直线A1C→斜线a直线B1B→垂线b第9页,共18页，2024年2月25日，星期天2.在正方体AC1中，求证：A1C⊥BC1

，A1C⊥B1D1

证明：∵在正方体AC1中

A1B1⊥面BCC1B1且BC1⊥B1C∴B1C是A1C在面BCC1B1上的射影由三垂线定理知A1C⊥BC1.同理可证，

A1C⊥B1D1CBA1B1C1ADD1CBA1B1C1ADD1第10页,共18页，2024年2月25日，星期天小结：运用三垂线定理及逆定理证明两条异面直线垂直,必然要涉及平面的斜线,平面的垂线，这是三垂线定理解题的关键.我们可以从以下三点加以理解:1°知识内容：三垂线定理及其逆定理；

2°思想方法:转化的思想,转化的关键是:找平面的垂线3°应用步骤:分三个步骤-“一垂二射三证”

第11页,共18页，2024年2月25日，星期天

１．（1）求证：两条平行线和同一个平面所成的角相等。（2）从平面外一点D向平面引垂线段DA及斜线段DB、DC，DA=a，∠BDA=∠CDA=60°，∠BDC=90°，求BC的长。（3）如图，一块正方体木料的上底面上有一点E，要经过点E在上底面上画一条直线和C、E的连线垂直，应怎样画？

五.布置作业：ACBA1B1C1DD1E·第12页,共18页，2024年2月25日，星期天２．已知P在平面ABC内的射影是O，

若p到△ABC的三边的距离相等，则点O是△ABC的

。

若PA=PB=PC，则点O是△ABC的

。

若PA⊥BC，PB⊥AC，则点O是△ABC的

。

探索1、已知P在平面ABC内的射影是O，O是△ABC的垂心，求证PA⊥BC，PB⊥AC。

探索2、已知P在平面ABC内的射影是O，O是△ABC的垂心，求证B在平面PAC内的射影是O’是△PAC的垂心。

探索3、已知O是锐角△ABC的垂心，PO⊥平面ABC，∠BPC=９０°

．

求证：∠BPA=９０°

，∠APC=９０°

。第13页,共18页，2024年2月25日，星期天再见谢谢光临指导本节课到此结束第14页,共18页，2024年2月25日，星期天PAOaα三垂线定理包含三种垂直关系②线射垂直PAOaα①线面垂直③线斜垂直PAOaα直线和平面垂直平面内的直线和平面一条斜线的射影垂直平面内的直线和平面的一条斜线垂直第15页,共18页，2024年2月25日，星期天“一面四线”的不同情况第16页,共18页，2024年2月25日，星期天；/中医治疗肝硬化qtz53pts实实的轮椅。每当天气好的时候，家里人就将他扶到轮椅里推着到处走走看看。如果大家都要忙着干活儿去，就在走之前将他扶到轮椅里，并把轮椅推到院子里，让他自己用手转动着两边光滑的木轮子在院子里转悠着晒太阳。在这个规模不大的山镇上，李长善家拥有的土地算是多的了，但家里原本真正能干活儿的只有李长善一人，李妻和尚文、尚英虽然也都是一年忙到头的，但都只不过是打打下手，尽力干一些力所能及的活计而已。说起来，耿老爹救了李家小儿子尚武之后这糊里糊涂的三年多里，着实还将错就错地为李长善帮了不少的忙呢！如今李长善这一歇了，李家所有的重担就全部落在了耿老爹的身上。肯吃苦又善于动脑筋的耿老爹决定尽自己所能，把李家所有的大事小情都处理到最好，并且尽快培养大义子李尚文成长起来！在耿老爹的建议之下，李家先后添置了两挂骡拉大平车。这样一来，李家三十多亩土地的耕种、收获和所产粮食的外销，就从根本上实现了既快又好。耿老爹把自己多年来伺弄大牲口和赶车的所有经验和技能全部传授给了大义子尚文。后来，机灵的小尚武也早早地就掌握了全套的饲养技术和赶车技巧。与此同时，耿老爹还建议李家捎带着养了十几只羊、十来口猪和几十只鸡鸭。这样一来，不但满足了家里人自己日常的肉食和禽蛋需要，剩余部分又是一笔不小的收入。在土地耕作方面，耿老爹将他擅长的北方轮作技术成功地应用到了这个江南小镇的土地上，使李家的三十多亩水田坡地上连年获得前所未有的大丰收！耿老爹的失忆症完全康复一年后的腊月，为人憨厚且特别吃苦耐劳的李家长子尚文与本镇上的杨氏女儿成婚，次年秋后，就给李家添了一个大胖孙子，让病体不爽的李长善颇感欣慰。再次年的春天，李家女儿尚英也嫁给了从小青梅竹马，同住在一条街上的陈氏次子；同年腊月，尚英生了一个漂亮可爱的女娃儿。66第七十六回无边思念更添愁|（五载再无书信回，亲人挂念与日增；张老乡故里探消息，无边思念更添愁。）寒来暑去年复一年。在那个美丽的“三六九镇”上，张老乡带走书信迄今已经快满五年了。这期间，既不见耿家父子们归来，也没有任何有关他们的音讯。时光老人似乎并不知晓人世间的思念与惆怅，越是害怕过八月十五节，而这个八月十五节就越是紧着日子往前赶。自